第3课时命题的证明.ppt

2.2 命题与证明命题与证明第第3课时课时 命题的证明命题的证明做一做做一做 观察、操作、实验是人们认识事物的重要观察、操作、实验是人们认识事物的重要手段，而且人们可以从中猜测发现出一些结论手段，而且人们可以从中猜测发现出一些结论.采用剪拼或度量的方法，猜测采用剪拼或度量的方法，猜测“三角形的外角和三角形的外角和”等于多少度等于多少度. . 从剪拼或度量可以猜测三角形的三个外角之和等于从剪拼或度量可以猜测三角形的三个外角之和等于360360（如图），但是剪拼时难以真正拼成一个周角，只（如图），但是剪拼时难以真正拼成一个周角，只是接近周角；分别度量这三个角后再相加，结果可能接是接近周角；分别度量这三个角后再相加，结果可能接近近360360，但不能很准确地都得到，但不能很准确地都得到360360. . 另外，由于不同形状的三角形有无数个，我们也另外，由于不同形状的三角形有无数个，我们也不可能用剪拼或度量的方法来一一验证，因此，我们不可能用剪拼或度量的方法来一一验证，因此，我们只能猜测任何一个三角形的外角和都为只能猜测任何一个三角形的外角和都为360360. . 此时猜测出的命题仅仅是一种猜想，未必都是真此时猜测出的命题仅仅是一种猜想，未必都是真命题命题. .要确定这个命题是真命题，还需要要确定这个命题是真命题，还需要通过推理的方通过推理的方法加以证明法加以证明. . 数学上证明一个命题时，通常从数学上证明一个命题时，通常从命题的条件命题的条件出发，出发，运用运用定义、基本事实以及已经证明了的定理和推论定义、基本事实以及已经证明了的定理和推论，通过一步步的推理，最后证实这个命题的结论成立通过一步步的推理，最后证实这个命题的结论成立. .证明的每一步都证明的每一步都必须要有根据必须要有根据. .动脑筋动脑筋证明命题证明命题“三角形的外角和为三角形的外角和为360360”是真命题是真命题. 在分析出这一命题的条件和结论后，我们就可以按如下在分析出这一命题的条件和结论后，我们就可以按如下步骤进行：步骤进行： 已知：已知：如图，如图，BAF，CBD和和ACE分别是分别是ABC的三个外角的三个外角. . 求证：求证：BAF+ +CBD+ +ACE= =360. 证明：证明：如图，如图， BAF=22+33， CBD=11+33， ACE=11+22（三角形外角定理），（三角形外角定理）， BAF+CBD+ACE=2 2（11+22+33）（等式的性质）（等式的性质）. . 11+22+3=1803=180（三角形内角和定（三角形内角和定理），理）， BAF+CBD+ACE=2 2180180=360360. 通过分析，找出证明的途径根据题意 根据命题的条件和结论，结合图形证明与图形有关的命题时，一般有以下步骤：证明与图形有关的命题时，一般有以下步骤：第一步第二步第三步写出证明的过程写出已知、求证画出图形例例1 1 已知：如图，在已知：如图，在ABC中，中，B=C，点，点D在线段在线段BA的延长线上，射线的延长线上，射线AE平分平分DAC. . 求证：求证：AEBC. . 证明：证明：DAC=B+C( (三角形外角定理三角形外角定理) )， B=C（已知），（已知）， DAC=22B（等式的性质）（等式的性质）. . 又又AE平分平分DAC( (已知已知) )， DAC=22DAE（角平分线的定义）（角平分线的定义）. . DAE=B（等量代替）（等量代替）. . AEBC（同位角相等，两直线平行）（同位角相等，两直线平行）. . 例例2 已知：已知：A，B，C是是ABC的内角的内角. . 求证：求证：A，B，C中至少有一个角大于或等于中至少有一个角大于或等于6060. . 分析：分析：这个命题的结论是这个命题的结论是“至少有一个至少有一个”，也就是，也就是说可能出现说可能出现“有一个有一个”、“有两个有两个”、“有三个有三个”这三这三种情况种情况. .如果直接来证明，将很繁琐，因此，我们将从如果直接来证明，将很繁琐，因此，我们将从另外一个角度来证明另外一个角度来证明. . 证明：证明：假设假设A，B，C中没有一个角大于或中没有一个角大于或等于等于6060，即，即A6060，B6060，C6060， 则则A+B+C180180. 这与这与“三角形的内角和等于三角形的内角和等于180180”矛盾，矛盾， 所以假设不正确所以假设不正确. . 因此，因此，A，B，C中至少有一个角大于中至少有一个角大于或等于或等于6060. 像这样，当直接证明一个命题为真有困难时，像这样，当直接证明一个命题为真有困难时，我们可以我们可以先假设命题不成立先假设命题不成立，然后利用命题的条，然后利用命题的条件或有关的结论，件或有关的结论，通过推理导出矛盾通过推理导出矛盾，从而得出，从而得出假设不成立，即所证明的命题正确，这种证明方假设不成立，即所证明的命题正确，这种证明方法称为法称为反证法反证法. . 反证法是一种间接证明的方法，其基本的思反证法是一种间接证明的方法，其基本的思路可归结为路可归结为“否定结论，导出矛盾，肯定结论否定结论，导出矛盾，肯定结论”.”. 你能结合图形用几何语言表述命题的题设和结论吗？1.在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条.已知：bc， ab 求证：ac 请同学们思考如何利用已经学过的定义定理来证明这个结论呢？已知：bc，ab 求证：ac证明： ab（已知）， 又 bc（已知）， 1=2（两直线平行，同位角相等）. 2=1=90（等量代换） 1=90 （垂直的定义） ac（垂直的定义）2.填空已知：如图，1=2，3=4，求证：EGFH证明：1=2（已知） AEF=1 （ ），AEF=2 （ ）ABCD （ ）BEF=CFE （ ） 3=4（已知），BEF4=CFE3，即GEF=HFE （ ）EGFH （ ）对顶角相等 等量代换同位角相等，两直线平行 两直线平行，内错角相等等式的性质内错角相等，两直线平行谢谢！