5圆周角(第2课时).ppt
圆周角圆周角特征：特征： 角的顶点在圆上角的顶点在圆上. 角的两边都与圆相交角的两边都与圆相交.1、圆周角定义、圆周角定义: 顶点在圆上顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角并且两边都和圆相交的角叫圆周角叫圆周角. 如；如； ABC一、旧知回放一、旧知回放:OABC2、圆心角与所对的弧的关系、圆心角与所对的弧的关系3、圆周角与所对的弧的关系、圆周角与所对的弧的关系4、同弧所对的圆心角与圆周角的关系、同弧所对的圆心角与圆周角的关系一、旧知回放一、旧知回放:圆心角的度数等于它所对的弧的度数圆心角的度数等于它所对的弧的度数圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半定理：在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角等，等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等。所对的弧相等。圆周角定理圆周角定理v圆周角定理圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. .n老师提示老师提示:圆周角定理是承上启下的知识点圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视要予以重视.OABCOABCOABC即即 ABC = AOC.ABC = AOC.211、100的弧所对的圆心角等于的弧所对的圆心角等于_，所对的圆周角等于，所对的圆周角等于_。、一弦分圆周角成两部分，其中一部分是另一部分的。、一弦分圆周角成两部分，其中一部分是另一部分的4倍，则这弦所对的圆周角度数为倍，则这弦所对的圆周角度数为_。3、如图，在、如图，在O中，中，BAC=32，则，则BOC=_。4、如图，、如图，O中，中，ACB = 130，则，则AOB=_。5AOCBBAOC1005036或或14414464100Dv、下列命题中是真命题的是（、下列命题中是真命题的是（ ）v（A）顶点在圆周上的角叫做圆周角。）顶点在圆周上的角叫做圆周角。v（B）60的圆周角所对的弧的度数是的圆周角所对的弧的度数是30v（C）一弧所对的圆周角等于它所对的圆）一弧所对的圆周角等于它所对的圆心角。心角。v（D）120的弧所对的圆周角是的弧所对的圆周角是60D问题讨论问题讨论问题问题1、如图、如图1, ,在在O O中中,B,D,E,B,D,E的大小有什么关的大小有什么关系系? ?为什么为什么? ?图图1问题问题2、如图、如图2，AB是是O的直径，的直径，C是是O上任一点，上任一点，你能确定你能确定BCABCA的度数吗的度数吗? ?ACOB图图2问题问题3、如图、如图3，圆周角，圆周角BAC =90，弦，弦BC经过圆心经过圆心O吗？为什么？吗？为什么？B = D= EBCA=900OBACDEOBCA图图3问题解答问题解答1、圆周角定理的推论、圆周角定理的推论1：同圆或等圆中，同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等同弧或等弧所对的圆周角相等；2、圆周角定理的推论、圆周角定理的推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。的圆周角所对的弦是直径。用于找相等用于找相等的角的角用于找用于找相等的相等的弧弧用于判断某个用于判断某个圆周角是否是圆周角是否是直角直角用于判断某用于判断某条线是否过条线是否过圆心圆心同圆或等圆中，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等相等的圆周角所对的弧也相等。2 2、下列命题中，假命题的个数（、下列命题中，假命题的个数（ ）（1 1）顶点在圆上的角是圆周角）顶点在圆上的角是圆周角（2 2）等弧所对的圆周角相等）等弧所对的圆周角相等（3 3）同弦所对的圆周角相等）同弦所对的圆周角相等（2 2）平分弦的直径垂直于弦）平分弦的直径垂直于弦A A、1 1个个 B B、2 2个个 C C、3 3个个 D D、4 4个个 例例1、 选择题：选择题：1、下列命题是真命题的是（、下列命题是真命题的是（ ）A、相等的圆周角所对的弧相等、相等的圆周角所对的弧相等B、圆周角的度数等于圆心角度数的一半、圆周角的度数等于圆心角度数的一半C、90的圆周角所对的弦是直径的圆周角所对的弦是直径D、长度相等的弧所对的圆周角相等、长度相等的弧所对的圆周角相等CC例例 如图，如图， O直径直径AB为为10cm，弦，弦AC为为6cm，ACB的平的平分线交分线交 O于于D，求，求BC、AD、BD的长的长86102222ACABBC22105 2(cm)22ADBDAB又在又在RtABD中，中，AD2+BD2=AB2，解：解：AB是直径，是直径， ACB= ADB=90在在RtABC中，中，CD平分平分ACB，AD=BD.ACDBCD 例题例题OABCD3.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形（提示：作出以这条边为直径的圆三角形是直角三角形（提示：作出以这条边为直径的圆.）ABCO求证：求证： ABC 为直角三角形为直角三角形.证明：证明：以以AB为直径作为直径作 O，AO=BO，CO= 1/2 ABAO=BO=CO.点点C在在 O上上.又又AB为直径为直径,已知：已知：ABC 中，中，CO为为AB边上的中线，边上的中线，12且且CO= AB ABC 为直角三角形为直角三角形.课本练课本练 习习已知：如图，在已知：如图，在ABC中，中，AB=AC,以以AB为直径的圆交为直径的圆交BC于于D,交交AC于于E,求证：求证：BD=DE证明证明：连结：连结AD.AB是圆的直径，点是圆的直径，点D在圆上，在圆上，ADB=90，ADBC，AB=AC，AD平分顶角平分顶角BAC，即，即BAD=CAD， BD= DE（同圆或等圆中，相等的圆周角所对弧相等（同圆或等圆中，相等的圆周角所对弧相等）。）。ABCDE探究3、如图，、如图，AB是是 O的直径，的直径，BD是是 O的弦，延长的弦，延长BD到点到点C，使，使DC=BD，连接，连接AC交交 O于点于点F，点，点F不与点不与点A重合。重合。（1）AB与与AC的大小有什么关系？为什么？的大小有什么关系？为什么？（2）按角的大小分类，请你判断）按角的大小分类，请你判断ABC属于哪一类属于哪一类三角形，并说明理由。三角形，并说明理由。ACBDFOABC是锐角三角形是锐角三角形解：（解：（1）AB=AC。证明：连接证明：连接AD又又DC=BD，AB=AC。（2）ABC是锐角三角形。是锐角三角形。由（由（1）知，）知，B=C90 连接连接BF，则，则AFB=90 ，A90 AB是直径，是直径，ADB=90，练习：练习：如图，如图，P是是ABC的外接圆上的一点的外接圆上的一点APC=CPB=60。求证：。求证：ABC是等边三角形是等边三角形APBCO证明：证明：ABC和和APC 都是都是 所对的圆周角。所对的圆周角。 ACABC=APC=60(同弧所对的圆周角相等）同弧所对的圆周角相等）同理，同理，BAC和和CPB都是都是 所对的圆周角，所对的圆周角，BCBAC=CPB=60。ABC等边三角形。等边三角形。)1)2 例例8 8、已知：如图，、已知：如图，C C经过原点，并与两经过原点，并与两坐标轴相交于坐标轴相交于A A、D D两点，两点，OBA=30OBA=30，点，点D D的坐标为（的坐标为（0 0，2 2），），求点求点A A的坐标及圆心的坐标及圆心C C的坐标的坐标ODBAC（0，2）yx例例3 3、已知：如图，等腰、已知：如图，等腰ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，BAC=70BAC=70 ，以，以ABAB为直径的圆交为直径的圆交ACAC于点于点D D，交，交BCBC于点于点E E，求，求 ADAD弧、弧、DEDE弧、弧、BEBE弧的度数。弧的度数。OABEDC新课讲解：新课讲解： 若一个多边形若一个多边形各顶点都在同一个各顶点都在同一个圆上圆上，那么，这个多边形叫做圆内，那么，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆的外接圆。OBCDEFAOACDEBOOC CA AB BD D如图，四边形如图，四边形ABCDABCD为为OO的内接四边的内接四边形；形；OO为四边形为四边形ABCDABCD的外接圆。的外接圆。 OOCDBA如图：圆内接四边形如图：圆内接四边形ABCDABCD中，中，AA C C 180 同理同理B BD D180180圆的内接四边形的对角互补。圆的内接四边形的对角互补。 BAD+BCD=360 如果延长如果延长BCBC到到E E，那么，那么DCEDCEBCDBCD 180所以所以A ADCEDCE又又 A A BCDBCD 180180C COOD DB BA AE如果延长如果延长BCBC到到E E，那么，那么DCEDCEBCDBCD 180所以所以A ADCEDCE又又 A A BCDBCD 180180C COOD DB BA AE定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。一个外角都等于它的内对角。CBADOEFDB180AC180EABBCDFCBBAD对角外角内对角1、如图，四边形、如图，四边形ABCD内接于内接于 O,如果如果BOD=130,则则BCD的度数是（的度数是（ ） A、115 B、130 C、65 D、502、 如图，等边三角形如图，等边三角形ABC内内 接于接于 O，P是是AB上的上的 一点，则一点，则APB= 。ABDCOAPBC(1)四边形四边形ABCD内接于内接于 O，则，则A+C=_ B+ADC=_;若若B=80，则，则ADC= 100 _ CDE=_ 80 _(2)四边形四边形ABCD内接于内接于 O，AOC=100则则B=_D=_ (3)四边形四边形ABCD内接于内接于 O, A:C=1:3,则则A=_, 180 180 50 130 45 EDBAC80DBACO100小结与作业小结与作业1 1、本节课我们学习了哪些知识？、本节课我们学习了哪些知识？2 2、圆周角定理及其推论的用途你都知道、圆周角定理及其推论的用途你都知道了吗？了吗？3 3、证明题思路的寻找方法如何？、证明题思路的寻找方法如何？讨论与思考讨论与思考ABCDOE如图，如图，CD是是 O的直径，的直径，弦弦ABCD于于E，那么你，那么你能得到什么结论？能得到什么结论？结论结论：（1）AE = BE，AC = BC，AD = BD（2）AC = BC，CAB = ABC = D， ACE =BCE =DAB（3）BC2 = AC2 = CE CD，AD2 = DE DC BE2 = AE2 = DE CE
