2022年三年高考真题专家解读精编解析一专题-抛物线复习过程 .pdf

此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流1.【2017 课标 1，理 10】已知 F为抛物线 C：y2=4x 的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线 l1与 C交于 A、B 两点，直线l2与 C交于 D、E两点，则 | AB|+| DE| 的最小值为A16 B14 C12 D10 【答案】 A 【解析】试题分析：设11223344(,),(,),(,),(,)A xyB xyD xyExy，直线1l方程为1(1)ykx联立方程214(1)yxykx得2222111240k xk xxk21122124kxxk212124kk同理直线2l与抛物线的交点满足22342224kxxk由抛物线定义可知1234|2ABDExxxxp221222222212121224244416482816kkkkkkk k当且仅当121kk（或1）时，取得等号. 【考点】抛物线的简单性质2.【2016 年高考四川理数】设O 为坐标原点， P是以 F 为焦点的抛物线22(p0)ypx上任意一点， M 是线段 PF上的点，且PM=2MF,则直线 OM 的斜率的最大值为( ) （A）33（B）23（C）22（D）1 【答案】 C 【解析】名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流试题分析：设22,2,PptptMxy（不妨设0t） ，则22, 2.2pFPptptuu u r由已知得13FMFPuuu u ruu u r，22,2362,3pppxtpty，22,332,3ppxtpty，2211212121222OMtkttt，max22OMk，故选 C. 考点：抛物线的简单的几何性质，基本不等式的应用3.【2016 年高考四川理数】设O 为坐标原点， P是以 F 为焦点的抛物线22(p 0)ypx上任意一点， M 是线段 PF上的点，且PM=2MF,则直线 OM 的斜率的最大值为( ) （A）33（B）23（C）22（D）1 【答案】 C 【解析】试题分析：设22, 2,PptptMxy（不妨设0t） ，则22,2.2pFPptptuu u r由已知得13FMFPuuuu ruuu r，22,2362,3pppxtpty，22,332,3ppxtpty，2211212121222OMtkttt，max22OMk，故选 C. 考点：抛物线的简单的几何性质，基本不等式的应用【名师点睛】本题考查抛物线的性质，结合题意要求，利用抛物线的参数方程表示出抛物线上点P的坐标，利用向量法求出点M的坐标，是我们求点坐标的常用方法，由于要求最大值，因此我们把k斜率用参数t表示出后，可根据表达式形式选用函数，或不等式的知识求出最值，本题采用基本不等式求出最值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流4.【2016 高考新课标1 卷】以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于 A、B 两点,交 C的准线于 D、E两点 .已知| AB|=4 2,| DE|=25,则 C的焦点到准线的距离为(A)2 (B)4 (C)6 (D)8 【答案】 B 【解析】考点：抛物线的性质。【名师点睛】 本题主要考查抛物线的性质及运算,注意解析几何问题中最容易出现运算错误,所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因 . 5.【 2015 高 考 四 川 ， 理10 】 设 直 线l 与 抛 物 线24yx相 交 于A， B 两 点 ， 与 圆22250 xyrr相切于点 M，且 M 为线段 AB 的中点 .若这样的直线l 恰有 4 条，则 r的取值范围是（）（A）1 3，（B）1 4，（C）2 3，（D）2 4，【答案】 D 【解析】显然当直线l的斜率不存在时，必有两条直线满足题设.当直线l的斜率存在时，设斜率为k.设11221200(,),(,),(,)A xyBxyxxMxy，则21122244yxyx，相减得121212()()4()yyyyxx.由于12xx，所以12121222yyyyxx，即02ky.圆心为(5, 0)C，由CMAB得名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流000001,55ykkyxx，所以0025,3xx，即点 M 必在直线3x上.将3x代入24yx得2012,2 32 3yy.因为点 M 在圆22250 xyrr上，所以22222000(5),4 12 416xyrry.又2044y（由于斜率不存在，故00y，所以不取等号） ，所以2044 16, 24yr.选 D. xy12123456789123456123456ABCFOM利用这个范围即可得到r的取值范围。6. 【2015 高考浙江，理5】如图，设抛物线24yx的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则BCF与ACF的面积之比是（）A. 11BFAFB. 2211BFAFC. 11BFAFD. 2211BFAF【答案】 A. 【解析】11AFBFxxACBCSSABACFBCF，故选 A. 【考点定位】抛物线的标准方程及其性质【名师点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其性质，属于中档题，解题时，需结合平面几何中同高的三角形面积比等于底边比这一性质，结合抛物线的性质：抛物线上的点到准线的距离等于其到焦点的距离求解，在平面几何背景下考查圆锥曲线的标准方程及其性质，是高考名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流中小题的热点，在复习时不能遗漏相应平面几何知识的复习. 7.【2017 课标 II，理 16】已知F是抛物线C:28yx的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N。若M为FN的中点，则FN。【答案】 6 【解析】试题分析：点 A，【考点】抛物线的定义；梯形中位线在解析几何中的应用。【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化。如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题。因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化。8. 【2016 高考天津理数】设抛物线222xptypt， （t 为参数， p0）的焦点为F，准线为 l.过抛物线上一点A 作 l 的垂线，垂足为 B.设 C （72p,0） ， AF与 BC相交于点 E.若| CF|=2| AF| ， 且ACE的面积为 3 2 ，则 p 的值为 _.【答案】6名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流【解析】试题分析： 抛物线的普通方程为22ypx，(,0)2pF，7322pCFpp，又2CFAF，则32AFp，由抛物线的定义得32ABp，所以Axp，则|2Ayp，由/CFAB得EFCFEAAB，即2EFCFEAAF，所以26 2CEFCEASS，9 2ACFAECCFESSS，所以132922pp，6p考点：抛物线定义【名师点睛】 1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理2若 P(x0，y0)为抛物线 y22px(p0)上一点，由定义易得| PF| x0p2；若过焦点的弦AB的端点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为 | AB| x1x2p，x1x2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到9.【2016 高考浙江理数】若抛物线y2=4x 上的点 M 到焦点的距离为10，则 M 到 y 轴的距离是_【答案】9【解析】试题分析：1109MMxx考点：抛物线的定义【思路点睛】当题目中出现抛物线上的点到焦点的距离时，一般会想到转化为抛物线上的点到准线的距离解答本题时转化为抛物线上的点到准线的距离，进而可得点到y轴的距离10. 【2017 北京，理 18】已知抛物线C：y2=2px 过点 P（1，1）.过点（ 0，12）作直线 l 与抛物线 C交于不同的两点M，N，过点 M 作 x 轴的垂线分别与直线OP，ON 交于点 A，B，其中 O 为原点 . （）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（）求证： A 为线段 BM 的中点 . 【答案】（）方程为2yx，抛物线C 的焦点坐标为（14，0） ，准线方程为14x.（）详见解析 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流【解析】试题分析：（）代入点P求得抛物线的方程，根据方程表示焦点坐标和准线方程；（）设直线 l 的方程为12ykx（0k） ，与抛物线方程联立，得到根与系数的关系，直线ON 的方程为22yyxx，联立求得点B的坐标2112(,)y yxx，证明1211220y yyxx. 试题解析：解： （）由抛物线C：22ypx过点 P（1，1） ，得12p. 所以抛物线C 的方程为2yx. 抛物线 C的焦点坐标为（14，0） ，准线方程为14x. 21122112112222y yy yy yx xyxxx122112211()()222kxxkxxx xx122121(22)()2kx xxxx22211(22)42kkkkx0，所以211122y yyxx. 故 A 为线段 BM 的中点 . 【考点】 1.抛物线方程； 2.直线与抛物线的位置关系【名师点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了转换与化归能力，当看到题目中出现直线与圆锥曲线时，不需要特殊技巧，只要联立直线与圆锥曲线的方程，借助根与系数关系，找准题设条件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来，有时不一定要把结果及时求出来，可能需要整体代换到后面的计算中去，从而减少计算量.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流11.【2016 高考江苏卷】 （本小题满分10 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:20lxy，抛物线2: y2(0)Cpx p（1）若直线 l 过抛物线 C的焦点，求抛物线C的方程；（2）已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P和 Q. 求证：线段PQ 的中点坐标为(2,).pp；求 p 的取值范围 . 【答案】（1）xy82（2）详见解析，)34,0(【解析】值范围。（2）设1122(x , y ),(x , y )PQ，线段 PQ 的中点00(x,y )M因为点 P和 Q 关于直线l对称，所以直线l垂直平分线段PQ, 于是直线 PQ的斜率为1，则可设其方程为.yxb由22ypxyxb消去x得2220(*)ypypb因为 P 和 Q 是抛物线 C 上的相异两点，所以12,yy从而2(2)4(2)0ppb，化简得20pb. 方程（ *）的两根为21,22ypppb，从而120.2yyyp因为00(x, y )M在直线l上，所以02.xp名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流因此，线段PQ 的中点坐标为(2,).pp因为 M(2,).pp在直线 yxb 上所以(2)bpp，即22 .bp由知20pb，于是2(22 )0pp，所以4.3p因此p的取值范围为4(0,).3考点：直线与抛物线位置关系12.【2017 浙江，21】（本题满分15 分）如图，已知抛物线2xy，点 A1 1()2 4，39()24B，抛物线上的点)2321)(,(xyxP过点 B 作直线 AP的垂线，垂足为Q（）求直线AP斜率的取值范围；（）求|PQPA的最大值【答案】（）)1 , 1(；（）2716【解析】试题分析：（）由两点求斜率公式可得AP的斜率为21x，由1322x，得 AP斜率的取值范围；（）联立直线AP 与 BQ 的方程，得Q 的横坐标，进而表达| PA与| PQ的长度，通过函数3)1)(1()(kkkf求解|PQPA的最大值试题解析：（）设直线AP的斜率为k，则2121412xxxk，1322x，直线AP斜率的取值范围是) 1 , 1(（）联立直线AP与 BQ的方程名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流110,24930,42kxykxkyk解得点 Q 的横坐标是) 1(23422kkkxQ，因为 | PA |=211()2kx=)1(12kk| PQ|= 1) 1)(1()(1222kkkxxkQ，所以 | PA | PQ|=3)1)(1(kk令3)1)(1()(kkkf，因为2)1)(24()( kkkf，所以f(k)在区间)21, 1(上单调递增，)1 ,21(上单调递减，因此当k=12时，|PQPA取得最大值2716的最大值。13. 【2016 高考新课标3 理数】已知抛物线C：22yx的焦点为F， 平行于x轴的两条直线12, l l分别交C于,A B两点，交C的准线于PQ，两点（I ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明ARFQP；（II ）若PQF的面积是ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程. 【答案】（）见解析； （）21yx【解析】试题分析：（）设出与x轴垂直的两条直线，然后得出,A B P Q R的坐标，然后通过证明直线AR与直线FQ的斜率相等即可证明结果了；（）设直线l与x轴的交点坐标1(, 0)Dx，利用面积可求得1x，设出AB的中点( , )E x y，根据AB与x轴是否垂直分两种情况结合ABDEkk求解试题解析：由题设)0,21(F. 设bylayl:,:21，则0ab，且)2,21(),21(),21(),2(),0,2(22baRbQaPbbBaA. 记过BA,两点的直线为l，则l的方程为0)(2abybax. .3分（）由于F在线段AB上，故01ab. 记AR的斜率为1k，FQ的斜率为2k，则222111kbaabaababaabak，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流所以ARFQP. .5分（）设l与x轴的交点为)0,(1xD，则2,2121211baSxabFDabSPQFABF. 由题设可得221211baxab，所以01x（舍去），11x. 设满足条件的AB的中点为),(yxE. 当AB与x轴不垂直时，由DEABkk可得)1(12xxyba. 而yba2，所以) 1( 12xxy. 当AB与x轴垂直时，E与D重合，所以，所求轨迹方程为12xy. .12分考点： 1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法与从动点。14.【2015 高考新课标1，理 20】在直角坐标系xoy中，曲线C：y=24x与直线ykxa(a0)交与 M,N 两点，（）当 k=0时，分别求C在点 M 和 N 处的切线方程；（） y 轴上是否存在点P，使得当 k 变动时，总有OPM=OPN？说明理由 . 【答案】（）0axya或0axya（）存在【解析】试题分析：（）先求出M,N 的坐标，再利用导数求出M,N.（）先作出判定，再利用设而不求思想即将ykxa代入曲线C 的方程整理成关于x的一元二次方程，设出M,N 的坐标和P点坐标，利用设而不求思想，将直线PM，PN 的斜率之和用a表示出来，利用直线PM，PN 的斜率为 0,即可求出,a b关系，从而找出适合条件的P点坐标 . 试题解析：（）由题设可得(2, )Ma a，( 2 2,)Na，或( 2 2,)Ma，(2, )Na a. 12yx，故24xy在x=2 2a处的到数值为a，C在(22 , )a a处的切线方程为(2)yaa xa，即0axya. 故24xy在x=-2 2a处的到数值为 -a，C在( 2 2 , )a a处的切线方程为(2)yaa xa，即0axya. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流故所求切线方程为0axya或0axya. 5 分（）存在符合题意的点，证明如下：设 P（0，b）为复合题意得点，11(,)M xy，22(,)N xy，直线 PM，PN 的斜率分别为12,k k. 将ykxa代入 C得方程整理得2440 xkxa. 12124 ,4xxk x xa. 121212ybybkkxx=1212122()()kx xabxxx x=()k aba. 当ba时，有12kk=0，则直线 PM 的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故 OPM=OPN，所以(0,)Pa符合题意 . 12 分要细心和耐心。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - -