2022年二次函数面积和周长最值问题 .pdf

二次函数面积和周长最值问题15、淮南市洞山中学第四次质量检测，21,12 分（本题 12 分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象经过A（1，0） 、B（5，0） 、C（0，5）三点。（1）求这个二次函数的解析式；（2）过点 C 的直线 y=kx+b 与这个二次函数的图象相交于点E（4,m） ，请求出 CBE 的面积 S的值。16、 （2012 深圳市龙城中学质量检测）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(4，0)，B(0，一 4)，C(2，0)三点 . (1)求抛物线的解析式；(3 分) (2)若点 M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m， AMB 的面积为S.求 S 关于 m 的函数关系式，并求出 S的最大值； (4 分) (3)若点 P 是抛物线上的动点，点Q 是直线 y=x 上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、0 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标 .(3 分) 25 如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0）与双曲线ky=x相交于点A，B，且抛物线经过坐标原点，点A 的坐标为（2，2） ，点 B 在第四象限内，过点B 作直线 BCx 轴，点 C 为直线 BC 与抛物线的另一交点，已知直线BC 与 x 轴之间的距离是点B 到 y 轴的距离的4 倍，记抛物线顶点为E（1 ）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算ABC与ABE 的面积；（3）在抛物线上是否存在点D，使ABD的面积等于ABE的面积的8 倍？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由y x E C B A O F CBAOMxy名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - 12 （山东省临沂市）如图，抛物线经过A（4， 0） ，B（1，0） ， C（0，2）三点（1）求此抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点，过P 作 PMx 轴，垂足为M，是否存在P 点，使得以A、P、M 为顶点的三角形与OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线 AC 上方的抛物线上有一点D，使得 DCA 的面积最大，求出点D 的坐标2. 如图，在平面直角坐标系中，两个一次函数y=x，y=122x的图象相交于点A，动点 E 从 O 点出发，沿OA 方向以每秒1 个单位的速度运动，作EFy 轴与直线BC 交于点 F，以 EF 为一边向x 轴负方向作正方形EFMN ，设正方形 EFMN 与 AOC 的重叠部分的面积为S. （1）求点 A 的坐标；（2）求过 A、B、 O 三点的抛物线的顶点P的坐标；（3）当点 E 在线段 OA 上运动时，求出S 与运动时间t（秒）的函数表达式；（4）在（ 3）的条件下，t 为何值时， S 有最大值，最大值是多少？此时（2）中的抛物线的顶点P 是否在直线EF 上，请说明理由. 11.如图 12-2，抛物线顶点坐标为点C（1，4） ，交 x 轴于点 A（3，0） ，交 y 轴于点 B（1）求抛物线和直线AB 的解析式；（2） 求 CAB 的铅垂高 CD 及CABS；（3） 设点 P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使 SPAB=89SCAB，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由-2A C O B y x F E M N 图 12-2 x C O y A B D 1 1 B O C y A x 4 - 2 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - xyOCBA6.如图，抛物线2yaxbxc与 x 轴交于点 A、 B， 与 y 轴交于点 C，OA=4,AO=2OC ，且抛物线对称轴为直线3x(1)求该抛物线的函数表达式；(2)已知矩形DEFG 的一条边 DE 在线段 AB 上，顶点F、G 分别在 AC 、BC 上，设 OD=m ，矩形 DEFG 的面积为S，当矩形DEFG 的面积 S 取得最大值时，连接DF 并延长至点M，使25FMDF，求出此时点M 的坐标。(3)若点 Q 是抛物线上一点，且横坐标为4，点 P 是 y 轴上一点，是否存在这样的点P，使得BPQV是直角三角形，如果存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由。7. （一中）如图，在平面直角坐标系中，已知直线3xy交x轴于点 A，交y轴于点 B，抛物线32nxmxy经过点 A和点（ 2，3） ，与x轴的另一交点为C. （1）求此二次函数的表达式；（2）若点 P是x轴下方的抛物线上一点，且ACP的面积为10，求 P点坐标；（3）若点 D为抛物线上AB段上的一动点（点D 不与 A，B重合），过点 D作 DE x轴交x轴于 F，交线段AB于点 E.是否存在点D，使得四边形BDEO 为平行四边形？若存在，请求出满足条件的点D的坐标；若不存在，请通过计算说明理由 . 26 （12 分）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（ 1，3 ） ， AOB 的面积是3 .名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - y（1）求点 B 的坐标；（2）求过点A、O、B 的抛物线的解析式；（3）在（ 2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使 AOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）在（ 2）中 x 轴下方的抛物线上是否存在一点P，过点 P 作 x 轴的垂线，交直线AB 于点 D，线段 OD 把 AOB分成两个三角形使其中一个三角形面积与四边形BPOD 面积比为2 :3？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由8. （一中）如图，在Rt ABO中， OB=8,tan OBA=43. 若以 O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点C在x轴负半轴上，且OB 4OC.若抛物线cbxaxy2经过点 A、B、C . （1）求该抛物线的解析式；（2）设该二次函数的图象的顶点为P，求四边形OAPB 的面积；（3）有两动点M,N同时从点O出发，其中点M以每秒 2 个单位长度的速度沿折线OAB按 O AB的路线运动，点N以每秒 4 个单位长度的速度沿折线按OBA的路线运动，当M 、N两点相遇时，它们都停止运动. 设 M 、N同时从点O出发 t 秒时， OMN 的面积为 S . 请求出S关于 t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；判断在的过程中,t 为何值时，OMN 的面积最大？10. （一中）如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH ，点 H的坐标为（ 4，0） ，点 N的坐标为（ 3， 2）,直角梯形 OMNH 关于原点O的中心对称图形是直角梯形OABC ，（点 M的对应点为A， 点 N的对应点为B，点 H的对应点为C） ；（1）求出过A ，B，C三点的抛物线的表达式；（2）在直角梯形OABC 中，截取 BE=AF=OG=m(m0) ，且 E，F，G分别在线段BA ，AO ，OC上，求四边形 BEFG 的面积S与 m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S 是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；（3）在（ 2）的情况下，是否存在BG EF的情况，若存在，请求出相应m的值，若不存在，说明理由A y x O B A y x O B 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - A B C P y x 0 1 2 3 4 3 2 1 1211 （南开）如图，已知直线y 2x4 与 x 轴、 y 轴分别相交于A、C两点，抛物线y=-2x2+bx+c (a 0) 经过点 A、C. （1）求抛物线的解析式; （2）设抛物线的顶点为P，在抛物线上存在点Q，使 ABQ的面积等于 APC面积的 4 倍. 求出点 Q的坐标 ; （3）点 M是直线 y=-2x+4 上的动点，过点M作 ME垂直 x 轴于点 E，在 y 轴（原点除外）上是否存在点F，使 MEF为等腰直角三角形? 若存在 , 求出点 F 的坐标及对应的点M的坐标；若不存在，请说明理由. 12. （一中）矩形OABC 在直角坐标系中的位置如图所示, A 、C两点的坐标分别为A(6,0), C(0, 2), 直线12yx与 BC相交于 D. (1) 求点 D的坐标 ; (2) 若抛物线2yaxbx经过 D 、A两点 , 试确定此抛物线的解析式; (3) P为x轴上方 (2) 中抛物线上一点, 求POA面积的最大值 ; (4) 设(2) 中抛物线的对称轴与OD交于点 M, 点 Q为对称轴上一动点, 以 Q、O 、M为顶点的三角形与OCD相似 , 求符合条件的Q点的坐标 . (28 题图 ) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - 4、 （2009 年重庆市江津区）如图，抛物线cbxxy2与 x 轴交与 A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（ 1）中的抛物线交y 轴与 C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得 QAC的周长最小？若存在，求出 Q点的坐标；若不存在，请说明理由. （3）在（ 1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及PBC的面积最大值 . 若没有，请说明理由.14. （一中）如图，已知抛物线cxbxay2经过 O(0,0) ，A(4,0),B(3,3) 三点，连接AB ，过点 B作 BC x 轴交该抛物线于点C. （1） 求这条抛物线的函数关系式. （2） 两个动点 P、Q分别从 O 、A 同时出发 ,以每秒 1 个单位长度的速度运动. 其中，点P沿着线段0A 向 A点运动，点 Q沿着线段AB向 B 点运动 . 设这两个动点运动的时间为t（秒 ) (0t2) ， PQA的面积记为S. 求 S与t的函数关系式； 当t为何值时， S 有最大值，最大值是多少？并指出此时PQA 的形状；（3）是否存在这样的t值，使得 PQA是直角三角形?若存在，请直接写出此时 P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由. 26、已知二次函数2(1)4yx的图象如图所示. （1）求抛物线与x 轴交点 A、B 的坐标（点A 在点 B 的左侧），及与 y 轴的交点C 的坐标；（2）设抛物线的顶点为点D，求BCD的面积 S；（3）在抛物线上是否存在点E，使以 A、B、C、E 为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出点E 的坐标，并说明理由；若不存在，请说明理由。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - 2. （2010 年广州中考数学模拟试题(四)）关于 x 的二次函数y x2(k24)x2k2 以 y 轴为对称轴，且与y 轴的交点在 x 轴上方(1)求此抛物线的解析式，并在直角坐标系中画出函数的草图；(2)设 A 是 y 轴右侧抛物线上的一个动点，过点A 作 AB 垂直 x 轴于点 B，再过点 A 作 x 轴的平行线交抛物线于点 D，过 D 点作 DC 垂直 x 轴于点 C, 得到矩形ABCD 设矩形ABCD 的周长为l，点 A 的横坐标为x，试求 l 关于 x的函数关系式；(3)当点 A 在 y 轴右侧的抛物线上运动时，矩形ABCD 能否成 为 正 方形若能，请求出此时正方形的周长；若不能，请说第 2 题图A1A2B1B2C1D1C2D2x y 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - 25如图，抛物线212yxbxc与直线:lykxm交于(4,2),(0,1)AB两点。(1)求抛物线与直线的解析式；(2)若点 D 是直线，下方抛物线上的一动点，过点D 作 DE/y 轴交直线l 于点 E，求 DE 的最大值，并求出此时D 点的坐标；(3)在(2)的条件下， DE 取最大值时，点P在直线 AB 上，平面内是否存在点Q，使得以D、E、P、Q 为顶点的四边形为菱形?若存在直接写出Q 点坐标，若不存在说明理由25、如图，抛物线22yaxbx与x轴交于A、B两点，点A的坐标为1,0，抛物线的对称轴为直线1.5x，点M为线段AB上一点，过M作x轴的垂线交抛物线于P，交过点A的直线yxn于点C。（1）求直线AC及抛物线的解析式；（2）M位于线段AB的什么位置时，PC最长，并求出此时P点的坐标；（ 3） 若 在 （ 2） 的 条 件 下 ， 在x轴 上 方 的 抛 物 线 上 是 否 存 在 点Q， 使23ABQAPBSS，求点Q的坐标。26已知如图 1，抛物线343832xxy与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，点D的坐标是（ 0，-1） ，连接BC、AC. （1）求出直线AD的解析式；（2）如图 2，若在直线AC上方的抛物线上有一点F，当ADF的面积最大时，有一线段5MN（点M在点N的左侧）在直线BD上移动，首尾顺次连接点A、M、N、F构成四边形AMNF，请求出四边形AMNF的周长最小时点N的横坐标；（3）如图 3，将DBC绕点D逆时针旋转（1800） ，记旋转中的DBC为CBD，若直线CB与直线AC交于点P，直线CB与直线DC交于点Q，当CPQ是等腰三角形时，求CP的值 .名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - 25如图，在平面直角坐标系中，抛物线27922xx与直线12yxb交于 A、B 两点，其中点A 在 x 轴上，点 P是直线 AB 上方的抛物线上一动点(不与点 A、B 重合 )，连接 PA、PB。(1)求直线的解析式及A、B 两点的坐标；(2)过点 P 作 x 轴的垂线，交直线AB 于点 C，当线段PC 最大时，求此时点C 的坐标及 PC 的最大值：(3)当 PAB=90时，求此时点P 的坐标。25 如图，二次函数32bxaxy的图象与x轴交于 B、C 两点（点B 在点 C 的左侧），一次函数nmxy的图象经过点B 和二次函数图象上另一点A. 点 A 的坐标（ 4 ，3） ，21tanABC. （1）求二次函数函数和一次函数解析式；（2）若抛物线上的点P 在第四象限内，求ABP面积 S的最大值并求出此时点P 的坐标；（3）若点 M 在直线 AB 上，且与点A 的距离是到x轴距离的25倍，求点 M 的坐标 . 25.如图，抛物线y=ax2+ bx +2 与 z 轴交于 A、 B 两点，点 A 的坐标为（ -1,0） ，抛物线的对称轴为直线x=23，点 M 为线段 AB 上一点，过M 作 x 轴的垂线交抛物线于P，交过点 A 的直线 y= -x+n 于点 C(1)求直线 AC 及抛物线的解析式；(2)着 PM=3，求 PC 的长；(3)过 P作 PQX 轴交抛物线于点Q，过 Q 作 QN 垂直 x 轴子 N，若点 P 在 Q 左侧，矩形PMNQ 的周长记为d，求 d 的最大值yxyxACBOP名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - 26如图 l ，抛物线32bxaxy交 x 轴于 B 、C两点，且B的坐标为 (-2 ，0) ，直线nmxy过点 B和抛物线上另一点A(4，3) (1)求抛物线和直线的解析式； (2)若点 P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，过 P作 PQ x 轴。且 PQ=4(点 Q在点 P 右侧 ) ，以 PQ为一边作矩形PQEF ，且点 E在直线 AB上。求矩形PQEF周长的最大值，并求出此时点P的坐标； (3)如图 2，在 (2) 的结论下，连接AP 、BP ，设 QE交 x 轴于点 D ，现将矩形PQEF沿射线 DB 以每秒 1 个单位长度的速度平移，当点D到达点 B时停止。记平移时间为t ，平移后的矩形PQEF 为FEQP，且EQ分别交直线AB 、x轴于N、D，设矩形FEQP与ABP的重叠部分面积为s. 当85NDNA时，求s的值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - -