2022年全国二卷理科数学高考真题及详解 .pdf

2017 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共 23题，共 150分，共 4 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项 : 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题 5分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1i1i3Ai 21 Bi 21 C i2 Di22 设集合421 ，A，042mxxB，若1BA, 则BA31， B. 01 ， C 31 ， D51，3我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“ 远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？” 意思是：一座 7 层塔共挂了 381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2 倍，则塔的顶层共有灯 A1盏 B 3盏 C5盏 D 9 盏4如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为A90B63C42D365设yx、满足约束条件，0303320332yyxyx则yxz2的最小值是A15 B9 C 1 D96安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有A12 种 B18 种 C 24种 D36种理科数学试题第 1 页（共 4 页）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 7甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞猜的成绩. 老师说：你们四人中有 2 位优秀， 2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩 . 看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩. 根据以上信息，则 A乙可以知道四人的成绩 B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩 D乙、丁可以知道自己的成绩 8执行右面的程序框图，如果输入的1a，则输出的SA2 B3 C4 D5 9若双曲线)00( 1:2222babyaxC，的一条渐近线被圆4)2(22yx所截得的弦长为2，则C的离心率为A2 B 3 C 2 D33210已知直三棱柱111CBAABC中，120ABC, 2AB, 11CCBC, 则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A23 B515 C510 D3311若2x是函数12)1()(xeaxxxf的极值点，则)(xf的极小值为A1 B32e C 35e D112已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则)(PCPBPA的最小值是A2 B23 C 34 D1二、填空题：本题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13一批产品的二等品率为02.0，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到二等品件数，则DX . 14函数)20(43cos3sin)(2，xxxxf的最大值是 .15等差数列na的前n项和为nS ，33a，104S，则nkkS11 .16已知F是抛物线xyC8:2的焦点，M是C上一点， FM 的延长线交 y 轴于点N.若 M 为FN的中点，则FN .理科数学试题第 2 页（共 4 页）开始输出S否是K= K+ 1a= - aS=0 ， K=1S=S+a KK 6输入 a开始名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22/23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60 分。17.（12 分）ABC的内角CBA，的对边分别为cba，已知2sin8)sin(2BCA. (1)求Bcos；(2)若6ca，ABC的面积为 2 ，求b. 18.（12分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下：(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计 A的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到 0.01）. 附：)()()()(22dbcadcbabcadnK . 理科数学试题第 3 页（共 4 页）箱产量 50kg 箱产量 50kg 旧养殖法新养殖法箱产量/kg频率/ 组距0.0680.0460.0440.0200.01000.0080.0047065605550454035旧养殖法0.0340.0320.0240.0140.01225 30箱产量/kg频率/ 组距0.0400.02007065605550454035新养殖法名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - MEDCBAP19.（12分）如图，四棱锥ABCDP中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于地面ABCD，ADBCAB21，90ABCBAD, E是 PD的中点 . (1)证明：直线PABCE平面； (2)点 M 在棱PC上，且直线 BM 与底面ABCD所成角为45，求二面角DABM的余弦值 . 20.（12分）设O为坐标原点，动点M 在椭圆12:22yxC上，过 M 作x轴的垂线，垂足为N，点 P满足NMNP2. (1)求点 P的轨迹方程； (2)设点Q在直线3x上，且1PQOP. 证明：过点 P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点 F . 21.（12分）已知函数xxaxaxxfln)(2，且0)(xf. (1)求a； (2)证明：)(xf存在唯一的极大值点0 x ，且2022)(xfe. （二）选考题：共10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做则按所做的第一题计分。22. 选修44：坐标系与参数方程 （10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C的极坐标方程为4cos. (1) M 为曲线1C上的动点，点 P在线段OM上，且满足16OPOM，求点 P 的轨迹2C的直角坐标方程； (2)设点 A的极坐标为)32( ，点 B在曲线2C上，求OAB面积的最大值 . 23. 选修54：不等式选讲 （10分）已知20033baba，.证明：(1)4)(55baba； (2)2ba. 理科数学试题第 4页（共 4 页）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 2017 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 参考答案一、选择题1.D 2.C 3.B 4.B 5.A 6.D 7.D 8.B 9.A 10.C 11.A 12.B 二、填空题13. 1.96 14. 1 15. 12nn 16. 6 三、解答题17.（1）由BCA得2sin8sin2BB，即2sin42cosBB，412tanB，得158tan B，则有1715cos B. （2）由（ 1）可知178sin B，则2sin21BacSABC，得217ac，又417302)(cos22222acaccaBaccab，则2b. 18.（1）旧养殖法箱产量低于50kg 的频率为62.05)040.0034.0024.0014.0012.0(，新养殖法箱产量不低于50kg的频率为66.05)008.0010.0046.0068.0(，而两种箱产量相互独立，则4092.066.062.0)( AP. （2）由频率分布直方图可得列联表箱产量50kg 箱产量 50kg 旧养殖法62 38 新养殖法34 66 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 则635.6705.1510496100100)38346662(20022K，所以有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关. （3）新养殖法箱产量低于50kg的面积为5.034.05)044.0020.0004.0(，产量低于 55kg 的面积为5.068.05)068.0044.0020.0004.0(，所以新养殖法箱产量的中位数估计值为35.5250534.034.05 .0（kg）. 19.（1）取 PA中点 F ，连结BFEF、.因为 E为 PD中点，则ADEF21. 而由题可知ADBC21，则BCEF，即四边形BCEF为平行四边形，所以FBEC . 又PABFBPABEC面，面，故PABCE面. （2）因为ADAB，则以 A为坐标原点，ADAB、所在直线分别为yx、 轴建立空间直角坐标系xyzA，如图所示 . 取1AB，设)10(CPCM则得)011()001()000(，CBA，)310(，P，则)301(，CP，)30(，CM，可得点)311(，M，所以)31(，BM. 取底面ABCD的法向量为) 100(，n，则45sin313cos22nBM，解得22, 则)26122(，BM. 因为)001(，AB, 设面MAB的法向量为)(zyxm，由00BMmABm得026220zyxx，取2z得)260(，m，则510cosnmnmnm ，. 故二面角DABM的余弦值为510. 20.（1）设)(yxP，则)22(yxM，将点 M 代入C中得12222yx，所以点 P的轨迹方程为222yx. （2）由题可知)01(，F，设)()3(nmPtQ，则)1()3(nmPFtOQ，z yxF MEDCBAP名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - )3()(ntmPQnmOP，.由1OQOP得1322ntnmm，由（1）有222nm，则有033tnm，所以033tnmPFOQ，即过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点 F . 21.（1）)(xf的定义域为)0( ，则0)(xf等价于0ln xaax. 设xaaxxgln)(，则xaxg1)(.由题可知0a，则由0)(xg解得ax1，所以)(xg为)1(，a上的增函数，为)10(a，上的减函数 .则有)1()(minagxg0ln1aa，解得1a. （2）由（ 1）可知xxxxxfln)(2，则xxxfln22)(.设xxxhln22)(，则xxh12)(.由0)( xh解得21x，所以)(xh为)21(，上的增函数，为)210( ，上的减函数 .又因为0)1(012ln)21(hh，则)(xh在)210( ，上存在唯一零点0 x 使得0ln2200 xx，即00ln22xx, 且)(xf为)0(0 x，)1( ，上的增函数，为) 1(0，x上的减函数，则)(xf极大值为41)1 ()(000 xxxf. 而101)10(exe，所以210)()(eefxf.综上，2022)(xfe.22.（1）设 P极坐标为)0)( ， M 极坐标为)0)(11，.则 OP，cos41OM.由16OPOM得2C的极坐标方程为)0(cos4.所以2C的直角坐标方程为)0(4)2(22xyx. （2）设 B极标为)0)(22，由题可知cos422，OA，则有3223)32sin(2)3sin(212OASOAB.即当12时，OAB面积的最大值为32. 23.（1）655655)(bbaabababa)(2)(4433233baabbaba名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 222)(4baab4（2）因为3223333)(babbaaba)(32baab)(4)(322baba4)(323ba，所以8)(3ba，解得2ba. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -