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第一章 逻辑思维与数学文化许昌学院自然与科学技术类公共选修课程逻 辑 思 维 与 职 业 生 涯数学文化赏析讲义编著：宋永志许昌学院 数学与统计学院8年6月序言逻辑思维与职业生涯的课程性质是自然科学知识与社会学知识的综合，偏重于自然科学知识，是面向全校本科生开设的文化素质教育课程。本课程设置的教学目的是：一是能让本科生体会到用逻辑思维来探究自然与科学技术的奥秘是不可或缺的，从而更好地用逻辑思维的方式方法处理好自己与自然科学有关的工作学习生活等事情；二是能认识到逻辑思维在个人职业与生活等方面的重要性，从而指导自己最佳的处理自身在职场、社交、婚姻、家庭以及生活中纷繁复杂的问题。通过本课程的学习，使学生深入了解数学历史上重大科学事件和数学科学思想发展的历程，领悟到数学科学的真谛，提高大学生的逻辑思维能力，激发青年学生献身科学的精神。我们可以这样说，学习逻辑思维与职业生涯课程的宗旨，就是提高大学生的数学素养和逻辑思维能力。本课程讲义总体分两大部分，一部分是关于自然科学知识相关的内容，与逻辑思维紧密的学科即数学的相关度最高；另一部分是关于逻辑思维在个人工作、生活、社会等方面起到的很好地指导、把握人生大方向不可或缺的作用，主要体现在个人职业规划以及行政事业单位招聘考试方面的重要帮助。“逻辑思维与职业生涯”以数学史、数学思想方法及近代数学的发展，包括数学简史、数学思想与方法、数学经典问题、微积分知识简介、著名数学家的故事及近代数学学科特点及发展，逻辑思维知识的介绍、职业规划、行政企事业招考等内容，通过彼此独立的十个专题讲座，使学生对数学历史上重大科学事件及数学逻辑、职业生涯规划等有比较深入的了解，从而对科学来源于人类对自然和自身的不断探索，有着进一步的认识，并从中领悟到数学逻辑素养之真谛。本课程的一系列专题既贯彻一个主题，又具有相对独立性，每个专题都有深刻的思想内容支撑，虽然不是系统的数学科学知识，但这些经典片断更有利于学生在较短的时间内，正确地认识逻辑思维，全面地感受数学科学的魅力。 讲义著者 2013.5第一章 逻辑思维与数学文化看到逻辑思维与职业生涯这个课程的名字，有人会问：这门课程是学习什么内容呢？逻辑思维不就是数学思维吗？职业生涯不就是工作或生活吗？从本章开始，通过陆续的学习，我们将会一一地揭示这些问题的答案。 第一节 逻辑思维一、什么是逻辑思维逻辑思维（Logical thinking），是指人们在认识过程中借助于概念、判断、推理等思维形式能动地反映客观现实的理性认识过程，又称理论思维。逻辑思维与形象思维不同，是用科学的抽象概念、范畴揭示事物的本质，表达认识现实的结果。逻辑思维是一种确定的，而不是模棱两可的；前后一贯的，而不是自相矛盾的；有条理、有根据的思维。 只有经过逻辑思维，人们才能达到对具体对象本质规律的把握，进而认识客观世界。它是人的认识的高级阶段，即理性认识阶段。逻辑思维要遵循逻辑学中四个思维规律：同一律、（不）矛盾律、排中律和充足理由律（同一律是指“同一时空”里概念和判断的前后同一；矛盾律则是任一命题不能既真又不真，即任一事物不能同时既具有某属性又不具有某属性；排中律说的是在真与假上必须作出明确的选择，详见讲义附录1）；要遵循辩证逻辑的对立统一、质量互变、否定之否定等规律，违背这些规律，思维就会发生偷换概念，偷换论题、自相矛盾、形而上学等逻辑错误，认识就是混乱和错误的。如骗钱财与骗吃药，两个“骗”不同；“自相矛盾”的故事就是对同一个事物，同时作出两种截然相反的论断，不满足矛盾律；“书中自有黄金屋”这句话符合思维规律，而“脑袋大，脖子粗，不是老板是火夫” 这句话就违背充足理由律律，很容易被否定。逻辑思维是分析性的，按部就班，层层推进。做逻辑思维时，每一步必须准确无误，否则无法得出正确的结论。我们所说的逻辑思维主要指遵循传统形式逻辑规则的思维方式。常称它为“抽象思维”或“闭上眼睛的思维”。 逻辑思维是人脑的一种理性活动，思维主体把感性认识阶段获得的对于事物认识的信息材料抽象成概念，运用概念进行判断，并按一定逻辑关系进行推理，从而产生新的认识。所以说，逻辑思维是规范、严密、确定和可重复的。在逻辑思维中，是使用否定来堵死某些途径。比喻说，逻辑思维是在深挖一个洞，它就是为了把一个洞挖得更深的工具。比如俗话说的 “一哭二闹三上吊” 就是妻子想要丈夫听从安排的一种递进推理，有的女孩想要了解男子的家里是否有车、房，会间接地问“你家的车库是否好停车”，这里面就包含了很好的逻辑推理。又例如下面的“找次品”游戏：有5个外形相同的乒乓球，其中只有一个质量不标准（或轻或重）的次品球。再给你1个标准球；请你用一架不带砝码的天平找出上述次品乒乓球，如何找？若最多只使用两次天平，你能确保找出来吗？第一问用“穷举法”用五次天平可得。当然，也可以从5个外形同的球中取4个，第一次天平两边各放2个球，剩下1个；若天平平衡，这四个都是标准球，则剩下一个为次品；若不平衡，次品在4个中，再把天平一侧的2个球拿下来，另一侧的2个球第二次使用天平分别放在天平两边；若天平是平的，则次品在刚才拿下的两个中，若天平不平，则次品为天平上一侧的那个球，不管哪种情况，次品的范围就缩小到两个“怀疑球”中的一个了。再第三次使用天平，拿一个标准球与这两个“怀疑球”中的一个，分别放入天平两侧，若平衡，则剩下一个就是次品；若不平，则天平上的另一个为次品。这种方案，虽只使用3次天平，但不符合第二问要求。当然，此法如果巧妙利用上天平不平时，必有一边重（或轻）的信息，就可以不用标准球，三次称量出了。那么如何最多只使用两次天平，确保能找出来呢？为方便说明，我们给5个外形同的球分别标上15这5个数，标准球标上0数字。接下来这样考虑：把0号球和1号球放在天平的一侧，2、3号球放在天平另一侧，剩下4、5号球。则第一次使用天平时，可能有两种情形：（1）如果天平是平的，则1、2、3号球都是标准球，4、5号球有一个是次品，称其为“怀疑球”；第二次使用天平，再把一个标准球与这两个“怀疑球”中的一个分别放在天平两边，如果天平是平的，则另一个未放的“怀疑球”为次品；如果天平不平，则天平上的另一个 “怀疑球”为次品。（2）若天平不平，则4、5号球为标准球，1、2、3号球为“怀疑球”。不妨设2、3号球那侧较重，第二次使用天平，再把2、3号球分别放到天平两侧，如果天平是平的，则1号球为次品；如果天平不平，则1号球为标准球， “怀疑球”缩小在2号、3号中，再结合优化假设知道2、3号球那侧比0、1号球侧重，知道次品球比正品球重，那么对于最后天平上两侧的2、3号球，重的必为次品。如所知，社会实践是逻辑思维形成和发展的基础，社会实践的需要决定人们从哪个方面来把握事物的本质，确定逻辑思维的任务和方向。实践的发展对于感性经验的增加也使逻辑思维逐步深化和发展。也就是说，逻辑思维是人脑对客观事物间接概括的反映，它凭借科学的抽象揭示事物的本质，于是具有自觉性、过程性、间接性和必然性的特点。二、逻辑思维的基本形式1、逻辑思维形式的特征（1）概念的特征：内涵和外延。 （2）判断的特征：一是判断必须对事物有所断定；二是判断总有真假。 （3）推理的特征：演绎推理的逻辑特征是：如果前提真，那么结论一定真，是必然性推理；非演绎推理的逻辑特征是：虽然前提是真的，但不能保证结论是真的，是或然性推理。 2、概念的定义与划分方法（1）定义的方法 定义的方法是揭示概念内涵的逻辑方式。是用简洁的语词揭示概念反映的对象特有属性和本质属性。定义的基本方法是“种差”加最邻近的“属”概念。定义的规则：一是定义概念与被定义概念的外延相同；二是定义不能用否定形式；三是定义不能用比喻；四是不能循环定义。 （2）划分的方法 划分的方法是明确概念全部外延的逻辑方法，是将“属”概念按一定标准分为若干种概念。划分的逻辑规则，一是子项外延之和等于母项的外延；二是一个划分过程只能有一个标准；三是划分出的子项必须全部列出；四是划分必须按属种关系分层逐级进行，不可以越级。 三、逻辑思维方法和作用1、逻辑思维方法（1）分析与综合 分析是在思维中把对象分解为各个部分或因素，分别加以考察的逻辑方法。综合是在思维中把对象的各个部分或因素结合成为一个统一体加以考察的逻辑方法。 （2）分类与比较 根据事物的共同性与差异性就可以把事物分类，具有相同属性的事物归入一类。具有不同属性的事物归入不同的类。重要的是分类标准的选择，分类标准选择的好还可导致重要规律的发现。 比较就是比较两个或两类事物的共同点和差异点。通过比较就能更好地认识事物的本质。 （3）归纳与演绎 归纳是从个别性的前提推出一般性的结论，前提与结论之间的联系是或然性的。演绎是从一般性的前提推出个别性的结论，前提与结论之间的联系是必然性的。 （4）抽象与概括 抽象就是运用思维的力量，从对象中抽取它本质的属性，抛开其他非本质的东西。概括是在思维中从单独对象的属性推广到这一类事物的全体的思维方法。 抽象与概括和分析与综合一样，也是相互联系不可分割的。 抽象思维一般有经验型与理论型两种类型。 前者是在实践活动中的基础上，以实际经验为依据形成概念，进行判断和推理，如工人、农民运用生产经验解决生产中的问题，多属于这种类型。 后者是以理论为依据，运用科学的概念、原理、定律、公式等进行判断和推理。科学家和理论工作者的思维多属于这种类型。经验型的思维由于常常局限于狭隘的经验，因而其抽象水平较低。2、逻辑思维的作用一般作用1)有助于我们正确认识客观事物。 2)可以使我们通过揭露逻辑错误来发现和纠正谬误。 3)能帮助我们更好地去学习知识。 4)有助于我们准确地表达思想。 在创新中的作用1)逻辑思维在创新中的积极作用 发现问题；直接创新；筛选设想；评价成果；推广应用；总结提高。 2)逻辑思维在创新中的局限性 常规性； 严密性； 稳定性。 四、逻辑思维与创新思维的关系1、逻辑思维渗透于一切创造过程中逻辑思维的过程形式与创新、创造过程密切相关，一切创造活动都是以逻辑思维为基础的，运用逻辑思维对创造成果条理化、系统化、理论化。 2、逻辑思维与创新思维的区别1）思维形式的区别。逻辑思维的表现形式，是从概念出发，通过分析、比较、判断、推理等形式而得出合乎逻辑的结论。创新思维则不同，它一般没有固定的程序，其思维方式大多都是直观、联想和灵感等。心理学家认为，发散思维是创新思维的最主要的特点，是测定创造力的主要标志之一。日常学习生活中的“一题多解”、“一事多写”、“一物多用”等方式，是培养发散思维能力的常见方法。 2）思维方法的区别。逻辑思维的方法，主要是逻辑中的比较和分类、分析和综合、抽象和 概括、归纳和演绎，而创新思维的方法，主要是一种猜测、想象和顿悟。 3）思维方向的区别。逻辑思维一般是单向的思维，总是从概念到判断再到推理，最后得出结论。创新思维的思维方向则是很多的，结果也是多样性的。 4）思维基础的区别。逻辑思维是建立在现成的知识和经验基础上的，离开已有的知识和经验，逻辑思维便无法进行。创新思维则是从猜测、想象出发，没有固定的思维方式，虽然也需要知识和经验作为基础，但不完全依赖知识和经验。 5）思维结果的区别。逻辑思维严格按照逻辑进行，思维的结果是合理的，但可能没有创新性。创新思维活动既然不是按照常规的逻辑进行，其结果往往不合常理，但其中却有新颖性的结果。3、逻辑思维与创新思维在创新活动中的关系在创新活动中，两者主要有三种关系：衔接关系、互补关系与转化关系。 更为具体的来讲，“逻辑思维”具有多样性，包括：正向思维、逆向思维、横向思维、发散思维等。比如“司马光砸缸”的故事，有人落水，常规的正向思维模式是“救人离水”，而司马光面对紧急险情，运用了逆向思维，果断地用石头把缸砸破，“让水离人”，救了小伙伴性命。有这样的故事：两个妇女被带到所罗门（Soloman）王面前，她们都自称是一个婴儿的母亲。所罗门下令拟将那个婴儿切成两半，给两个妇女一人一半。所罗门的本意是要处以公正，将婴儿救下，但这条命令乍听起来显然与此背道而驰。然而最终的结果是发现了真正的母亲：她宁愿让另一个母亲占有自己的孩子也不愿让他死去。横向思维，是指突破问题的结构范围，从其他领域的事物、事实中得到启示而产生新设想的思维方式。如从空城计到唱筹量沙的故事。总而言之，对于我们主要谈及的逻辑思维，是人脑对客观事物间接概括的反映，它凭借科学的抽象揭示事物的本质，具有自觉性、过程性、间接性和必然性的特点。逻辑思维的基本形式是概念、判断、推理；逻辑思维方法主要有归纳和演绎、分析和综合、分类与比较抽象与概括以及等。五、逻辑思维训练1、帕台农神庙位于希腊首都雅典卫城坐落的古城堡中心，游客有时会从帕台农神庙的古老立柱上砍下一些碎片，雅典当局对此非常关心，虽然这种行为是违法的，但是这些游客仍旧把它作为纪念品带走。当局如何才能阻止这一行动呢？事实上，管理当局从原来维修帕台农神庙时所用的矿石场里收集了一些大理石碎片，每天把这些碎片散放在帕台农神庙的周围。游客以为他们捡起来的碎片是从古老的立柱上掉下来的，因此他们感到很满意。2、接下来是一个与员工包装事情有关的题目：有三个箱子，一个装着桔子，一个装着苹果，一个是混装的桔子和苹果，装完后封好。然后将标有“桔子”“苹果”“混装”的标签贴到三个箱子上，由于这个员工马虎，结果全都贴错了。你是否能想一个方法，只从一个箱子中只拿出一个水果（为降低拆包装损坏的成本），就能够纠正所有的标签？提示：打开混装箱子，取出一个水果即可。3、某药店收到10瓶药，每瓶中装有重100毫克的药丸1000粒。后被告知其中一瓶药发错了，错药的形状、颜色及包装均与其它9瓶药完全相同，只是每丸药重110毫克，你能用天平一次称出错药吗？ 解：如图，把瓶子编上号，然后从各瓶中拿出与编号相同数的药粒，如果都是正确的则应有5500毫克，其中第5瓶是错的则总重为5550毫克，如果第6瓶是错的则应重5560毫克。 编 号12345678910 药粒个数12345678910 正常重量毫克1002003004005506007008009001000 4、世界级的马拉松选手每天跑步不超过6公里。因此，如果一名选手每天跑步超过6公里，它就不是一名世界级马拉松选手。以下哪项与上文推理方法相同？（A）跳远运动员每天早晨跑步。如果早晨有人跑步，则他不是跳远运动员。（B）如果每日只睡4小时，对身体不利。研究表明，最有价值的睡眠都发生在入睡后第5小时。（C）家长和小孩做游戏时，小孩更高兴。因此，家长应该多做游戏。（D）如果某汽车早晨能起动，则晚上也可能起动。我们的车早晨通常能启动，同样，它晚上通常也能启动。（E）油漆三小时之内都不干。如果某涂料在三小时内干了，则不是油漆。选E，解释略去。5、有一天，某一珠宝店被盗走了一块贵重的钻石。经侦破，查明作案人肯定在甲、乙、丙、丁之中。于是，对这四个重大嫌疑犯进行审讯。审讯所得到的口供如下：甲：我不是作案的。乙：丁是罪犯。丙：乙是盗窃这块钻石的罪犯。丁：作案的不是我。经查实：这四个人的口供中只有一个是假的。那么，以下哪项才是正确的破案结果？（A）甲作案。（B）乙作案。（C）丙作案。（D）丁作案。（E）甲、乙、丙、丁共同作案。 选B，解释略去。习题1.11、什么是逻辑思维？逻辑思维的特点是 、 、 与 。 2、简单的说，逻辑思维的方法是 、 、 与 。3、你觉得“不上大学就没有出路”这句话对吗？若不对，违背了什么思维规律？4、在8个同样大小的杯中有7杯盛的是凉开水，1杯盛的是白糖水。你能否最多只尝3次，就找出盛白糖水的杯子来吗？5、一家位于纽约的商店叫做七只钟，然而在它的外面却挂着八只钟，这是为什么呢？分析与综合、 分类与比较 、归纳与演绎 、抽象与概括第二节 “数学文化”与“数学逻辑”一、数学及其特点与应用数学是概念的音乐，音乐是感觉的数学。 -波兰尼（英）这个世界可以由音乐的音符组成，也可由数学的公式组成。 -爱因斯坦(美)数学是科学的皇后。- 高斯(德)1、数学是什么数学是一种逻辑。这是常见的一种定义，意思是说数学推理依靠逻辑，“数学为其证明所具有的逻辑性而骄傲”。英国数学家罗素(B·Russell 18721970）就有这种“逻辑说”的名言：“逻辑是数学的青年时代，数学是逻辑的壮年时代。青年与壮年没有截然的分界线，故数学与逻辑亦然。”恩格斯的数学定义：“数学是研究现实世界中的数量关系与空间形式的一门科学”。1980年版辞海“数学”条目：“研究现实世界的空间形式和数量关系的科学。”1984年版新华词典“数学”条目：“研究现实世界的空间形式和数量关系的科学。”1988年版中国大百科全书“数学”条目：“数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的。简单地说，是研究数和形的科学。”当然还有数学的其它定义，这里仅再给出12种定义：（1）数学是计算（2）数学是证明（3）数学是直觉这种数学定义的代表人物： 荷兰数学家布劳威尔（L·E·J·Brouwer 18811966）。其代表性名言：“上帝创造了自然数，其他的都是人造的” （德国数学家克罗内克）。（4）数学是形式这种数学定义的代表人物：德国数学家希尔伯特（David Hilbert 18621943）。（5）数学是模式英国数学家怀特海（A·N·Whitehead 18611947）: “数学的本质特征就是，在从模式化的个体作抽象的过程中对模式进行研究。” “数学对于理解模式和分析模式之间的关系，是最强有力的技术。” 美国当代著名数学家斯蒂恩（L·Steen）：“数学是模式的科学。数学家们寻求存在于数量、空间、科学、计算机乃至想象之中的模式。模式提示了别的模式，并常常导致了模式的模式。正是以这种方式数学遵循着自身的逻辑：以源于科学的模式为出发点，并通过补充所有的由先前的模式导出的模式使这种图像更加完备。”（6）数学是结构这种定义的法国布尔巴基（Bourbaki）学派认为：数学是研究结构的科学。 数学的三种母结构：代数结构、序结构、拓扑结构。由它们构成的复合结构、多重结构、混合结构就形成了千恣百态的数学。（7）数学是关系（8）数学是语言 数学家C·戴尔曼：“数学也是一种语言，且是现存的结构与内容方面最完美的语言。可以说，自然用这种语言讲话；造世主已用它说过话，而世界的保护者继续用它说话。”数学家J·N·Kapur:“宇宙就是哲学的全书。这本书向着人们的好奇心敞开着，但是谁如果不先掌握好写这本书所用的语言和文字，他就不用想读懂它。这个语言就是数学，这些文字就是三角形、圆和其他图形。”美国科学基金会主任R·Colwell:“数学是决定性的相互交叉的学科，数学是取得全面进步的出发点。数学既是强有力的洞察工具，又是科学的共同语言。我们把它称为科学的世界语。 ” （9）数学是艺术艺术分类的两种常见方法：方法一：表演艺术（音乐、舞蹈）、造型艺术（绘画、雕塑）、语言艺术（文学）、综合艺术（戏剧、电影）方法二：时间艺术（音乐）、空间艺术（绘画、雕塑）、 综合艺术（戏剧、电影）。数学家罗素说：“数学，如果正确的看待它，不仅拥有真理，而且也具有至高的美。正象雕刻的美，是一种冷而严肃的美。这种美不是投合我们天性的微弱的方面，这种美没有绘画或者音乐那些华丽的装饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完满的境地。” 怀特海：“作为人类精神的创造，只有音乐堪与数学比美。” 法国数学家庞卡莱：“一个名符其实的科学家，尤其是数学家，他在他的工作中体验到和艺术家一样的印象，他的乐趣与艺术家的乐趣具有相同的性质，是同样伟大的东西。”“首先，内行们从数学中得到乐趣，就像人们从绘画和音乐中得到的一样。他们欣赏数和形的精美的和谐，他们惊奇地看到，新的发现向他们展示了意外的前景并因而给他们带来欢乐。尽管美学并未介入，但这难道没有美学特征吗？只有少数几个有特权的人可以说欣赏了它的全部美，但在最高尚的艺术中不也正是如此吗？” 英国数学家哈代：“如果数学有什么存在权利的话，那就是只是作为艺术而存在。”“我们的活动与艺术家的活动有许多共同之处：画家进行色彩与形态的组合，音乐家把乐音组合起来，诗人组词，而我们这是把一定类型的概念组合起来。” 美国数学家哈尔莫斯：“绘画来自物质现实，数学也是如此。在绘画与数学中，美有客观标准。画家讲究线条、结构、造型、肌理、而史学家则讲究真实、正确、新奇、普遍。”数学“是创造性的艺术，因为数学家创造了美好的概念；数学是创造性的艺术，因为数学家象艺术家一样地生活，一样地工作，一样地思索；数学是创造性的艺术，因为数学家这样对待它。” 美国数学家、数学史家M·克莱因：“音乐能激发和抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科技可以改善物质生活，但数学却能提供以上的一切。”他还认为：艺术、科学和哲学是支撑人类文明的三大篇章，数学则被视为这三大篇章的综合。（10）数学是科学中国古代六艺：礼、乐、射、御、书、数。古希腊七艺：算术、几何、音乐、天文、文法、修辞、逻辑。 现代科学的分类： 四分法：数学科学、自然科学、哲学、社会科学。 五分法（于光远）：哲学、社会科学、自然科学、思维科学、数学。 八分法（钱学森）：自然科学、社会科学、数学科学、系统科学、思维科学、人体科学、军事科学、文学艺术理论科学。三层次法（前苏联科学家茹科夫）：普遍科学：哲学、数学；总体科学：一般系统论、控制论；局部科学：物理、化学、生物等。（11）数学是技术 1981年美国国家委员会成立一个专门委员会，经过三年观察分析，于1984年提出：“进一步繁荣美国数学的报告” 。其中指出：“高科技的出现把我们的社会推进到数学工程技术的时代。”专门委员会主席、应用数学家E·David指出：“很少有人认识到被如此称颂的高技术本质上是一种数学技术。”“数学的思考方式具有根本的重要性。简言之，数学为组织和构造知识提供方法，以至当用于技术时就能使科学家和工程师们生产出系统的、能复制的、并且是可以传播的知识。” 美国科学院院士J·G·Glimm:“数学对经济竞争力至为重要。数学是一种关键的、普遍适用的、并授予人以能力的技术。”“数学的重要性的非自明性，作为一种技术的数学科学的作用未被认识到，数学科学作为技术变化以及工业竞争的推动力的作用的极端重要性也未被认识到。”我国数学家王梓坤：“时至今日，数学已兼有科学和技术两种品质，这是其他学科所难及的，不可不知。”（12）数学是文化 我国数学家、原武汉大学校长齐民友在数学与文化一书中指出：“数学作为文化的一部分，其最根本的特征是它表达了一种探索精神。” “数学作为文化的一部分，其永恒的主题是认识宇宙，也认识人类自己。在这个探索过程中，数学把理性思维的力量发挥得淋漓尽致，它提供了一种思维合理性的标准，给人类的思想解放打开了道路。” 齐民友通过对历史经济研究得到结论：“历史已经证明，而且将继续证明、一个没有相当发达的数学的文化是注定要衰落的；一个不掌握数学作为一种文化的民族也是注定要衰落的。没有现代的数学就不会有现代的文化，没有现代数学的文化是注定要衰落的。”2、数学的特点第一是抽象性，第二是精确性，第三是应用的广泛性。（1）抽象性从中学和大学数学的学习中我们已经体会到数学的抽象性了。直线、平面、空间都是抽象的概念， n 维空间以至无穷维空间更是抽象的概念。不过，抽象不是数学独有的特性，任何一门科学都具有这一特性。数学抽象的特点在于：第一，在数学的抽象中只保留量的关系和空间形式而舍弃了其他一切；第二，数学的抽象是一级一级逐步提高的，它们所达到的抽象程度大大超过了其它学科中的抽象；第三，数学本身几乎全在处理抽象概念和它们的相互关系。（2）精确性数学的精确性表现在数学推理的逻辑严格性和数学结论的确定无疑性。数学的精确性不同于物理、化学等其它大多数学科。汉克尔说：“在大多数科学里，一代人要推倒另一代人所修筑的东西，只有数学，每一代人都能在旧建筑上增添一层楼。”举两个例子： 地心说日心说开普勒三定律 高温超导的上界（朱棣文）30º90º120ºK（3）应用的广泛性华罗庚（1910-1985）先生说过：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在。例子：哈雷彗星的发现；海王星的发现；电磁波的发现。 3、数学的语言及数学的应用（1）数学的语言自然语言是具体的语言，数学语言是形式化的语言。中国人说汉语，美国人讲英语，或河南人说河南话，这些都是自然语言。数学语言是一种由数学符号、数学术语和经过改造的自然语言构成的科学语言。可以说，数学语言是人类文明、宇宙文明的共同语言。当你写下，不同的民族虽然有不同的自然语言，但对此数学语言描述的内容，不同的人种都能明白。20世纪70年代，为与外星人取得联系，美国曾发射过一艘宇宙飞船。飞船上带去了地球人类最具代表性的物件，其中包括一件用黄金制作的体现勾股定理的图案。数学语言有四个特点：明晰；严谨；简洁；规范。（2）数学的应用德国大数学家、号称“数学王子”的高斯有句名言：“数学是科学的皇后”这句话几乎可以说家喻户晓，但许多人可能不知道，高斯跟这句话一起说了一段话，高斯这段原话的意思可以概括为两句话，“数学是科学的皇后，数学也是科学的女仆。”我理解，前一句话突出数学是精密思维的典范，后一句则强调数学为其它科学服务，是其它科学的工具.非常形象和恰当地反映了数学的价值和作用。高斯是数学家, 我们再看看一些非数学家的观点。德国哲学家康德曾经这样说道：“我坚决认为，任何一门自然科学，只有当它数学化之后，才能称得上是真正的科学。”无产阶级革命家马克思也说过：“一种科学只有在成功地运用数学时，才算达到了真正完善的地步。”在20世纪初相对论的创立过程中，数学就建有奇功。1907年，德国数学家闵可夫斯基（H. Minkowski,18641909）提出“闵可夫斯基空间”，为爱因斯坦狭义相对论提供了合适的数学模型。有了闵可夫斯基时空模型后，爱因斯坦又进一步研究引力场理论以建立广义相对论。1912年夏爱因斯坦已经概括出新的引力理论的基本物理原理，但为了实现广义相对论的目标，还必须寻求理论的数学结构，一个很重要的要求是使引力定律在一定的坐标变换下保持不变(即所谓协变)。爱因斯坦为此徘徊徬徨了3年时间，最后在他的大学同学数学家格罗斯曼（M. Grossman）介绍下学习掌握了意大利数学家勒维-奇维塔等在黎曼几何基础上发展起来的绝对微分学，亦即爱因斯坦后来所称的张量分析，并很快发现这正是建立广义相对论引力理论的合适的数学工具。在1915年11月25日发表的一篇论文中，爱因斯坦终于导出广义协变的引力方程爱因斯坦指出，“由于这组方程，广义相对论作为一种逻辑结构终于大功告成。”广义相对论这幢大厦现在可以盖上金顶了, 而这个金顶依靠的恰恰是数学。 后来，在回顾这段历史时，爱因斯坦坦率地承认了他过去轻视数学是一个极大的错误，他反省道：“在几年独立的科学研究之后，我才逐渐明白了在科学探索的过程中，通向更深入的道路是同最精密的数学方法联系在一起的。”这是爱因斯坦自己的话，是作为一个科学家的深切体会。再说个简单的例子。上世纪80年代，美国华裔学者陈炳藻，使用数理统计学方法，探究了红楼梦前后用字的规律。发现红楼梦前八十回与后四十回所用的词汇正相关程度达到78.57%，由此推断得出前八十回与后四十回的作者均为曹雪芹一人的结论。中国数学家李贤平在美国威斯康星大学，运用计算机技术的模式识别法和统计学家使用的探索性数据分析法，又提出了一个红楼梦成书过程的观点：红楼梦各回所写内容具有不同的风格，各部分实际上是由不同作者在不同时期里完成的。 二、 “数学文化”与“数学素养”从数学的公众形象谈起.大家可能已听说教育部在课程改革过程中做过的一项调查,这项调查涉及中学生对各门课程的态度.调查结果显示,中学生对数学课的态度概而言之是:又爱又恨,意思是又喜欢又讨厌,或者是有的喜欢,有的讨厌.中央电视台在配合2002年国际数学家大会而制作数学传播节目时所作的公众问答也反映,数学在大多数公众的心目中是一堆数字和公式,抽象、深奥甚至神秘,对数学的应用价值也不甚了解。数学的这种公众形象从发展现代教育与科学的角度看是堪忧的.数学是一门基础学科,数学教育是基础教育.对于现代化社会而言,数学素质应该是公民所必须具备的一种基本素质.为了切实地将我国的教育提高到现代的先进的水准,使人们树立起正确的数学价值观,具有十分重要的意义. 当前正在推进的基础教育改革十分重视这一点,采取了一系列措施,其中包括加强数学史和数学文化的教育。中华人民共和国教育部2003年制订颁布的普通高中数学课程标准(实验)(简称标准)前言部分“二.课程的基本理念”第8条就是“体现数学的文化价值”,其中指出：数学是人类文化的重要组成部分。数学课程应适当反映数学的历史、应用和发展趋势，数学对推动社会发展的作用，数学的社会需求，社会发展对数学发展的推动作用，数学科学的思想体系，数学的美学价值，数学家的创新精神。标准在二级标题中使用“数学文化”一词，这表明“数学文化”一词已在官方文件中正式使用。“数学文化”一词的内涵，简单说，是指数学的思想、精神、方法、观点，以及它们的形成和发展；广泛地说，除上述内涵外，还包括数学（家）故事、数学史、数学游戏、数学美、数学教育、数学发展中的人文成分、数学与社会的联系、数学与各种文化的关系，等等。关于何谓数学素养（也叫数学素质），先介绍两句耐人寻味的话：一个人不识字可以生活，但是若不识数，就很难生活了。一个国家科学的进步，可以用它消耗的数学来度量。“数学素养”的通俗说法是：把所学的数学知识都排除或忘掉后，剩下的东西。例如，从数学角度出发看问题，有条理严密地思考、求证；简洁、清晰、准确的表达；在解决问题时、总结工作时，逻辑推理的意识和能力；对所从事的工作，合理地量化和简化，周到地运筹帷幄。关于“数学素养”的专业说法，摘自教育部高等学校“数学与统计学教学指导委员会”的项目结题报告“数学学科专业发展战略研究报告”，分五点论述，具体可“参考书目1”。需要指出，它是针对数学学科专业的学生，其他专业学生仅作参考。就像大家常说的“1+12”问题实际上是“任意一个足够大的偶数都是两个素数的和”，它是“哥德巴赫猜想”问题之一。我们只需了解这个问题，而无需知道其证明。三、“数学逻辑”我们已经知道，数学与逻辑的关系是：逻辑是遵循思维规律，运用科学的概念、原理、定律等进行判断和推理的；数学是以数与形为研究对象，要求有条理严密地思考、求证，简明、准确的表达。逻辑与数学是密不可分的，逻辑包含数学；只不过数学主要是用数学概念、定理、公式等进行逻辑推理的。大家试想一下，我们的工作生活中应用逻辑思维的例子不胜枚举，并且绝大部分或多或少的与数学有联系，但又不需要多么艰深晦涩的数学知识，只需要我们有一定的数学素养，会进行正确的逻辑推理就可以了；因此我们这个讲义所涉及的逻辑思维推理，只需具备初等数学基础就可以了。可以这样讲，以初等数学的概念、公式、定理、结论等为基础进行有条理的思考、判断和推理，然后将结果简明、准确的表达出来，就叫做“常量数学逻辑”，简称为“数学逻辑”。 以后本讲义中谈到的“数学逻辑”，都是指的这种定义，并且谈到“逻辑思维”，只要不特别说明，基本上所指的就是 “常量数学逻辑”。下面介绍几个工作生活里“数学逻辑”重要性的例子。华东师大的张奠宙教授讲过一个例子：一位中学毕业生在上海和平饭店做电工，从空调机制冷效果不同，他发现地下室到十楼的三根电线中的一根与其它不同，现需要测量其电阻。然而都没有足够长的测量工具，在别人因为距离长而感到困难的时候，他想到了对地下室到十楼的三根电线统一处理。最后，用了简单的解三元一次方程组的知识，解决了问题。当然，他得到了上司的赏识，后来做得很好。接着看一个简单数字推理问题：下边图中有10个不同的字母，代表（09）10个不同的数码，已知D=5，求其余字母各代表什么数码？（图中进位点数省略） 分析：因D=5 T=0 有一个很特殊的式子Q+E=Q 显然，E=0才能满足，但T=0，E不能重复等于0，E+1=10有进位。E=9，A+A=E，A不能是分数，又有进位。A=4 2L+1-10=R=5+G+1，R是个位数，又是奇数，且RD=5，E=9， R只能等于7。再由D+G+1=7，2L+1-10=R，得 L=8 ，G=1 .还剩下2、3、6，N+R=B10，由于T=0,R=7，而左边的Q+E上有进位，故N+R>10，N=6，又N+R=13，B=3，则Q=2。最后这里运用的是逻辑思维的综合分析的方法。最后讲个微软公司（一说是IBM公司）招考员工的一道面试题：一个屋子里有50个人，每个人有一条狗，而这些狗中已知有一部分是病狗。假定满足以下条件：（1）狗的病不会传染，也不会不治而愈；（2）狗的主人不能直接看自己的狗是否有病，只能靠看别人的狗来推理自己的狗是否有病；（3）一旦主人正确推理出自己的狗是一只病狗，就会在当天开枪打死它；（4）一个人即使看到别人的病狗，他既不能开枪也不能告诉病狗主人，病狗只能由他的主人开枪打死。如果他们在一起，第一天没有枪声，第二天也没有枪声，第十天响起了一片枪声，问有几条狗被打死？数学逻辑推理如下：（1） 只有一只狗有病时，显然，第一天就会听到枪响；（2） 假设有k条狗患病时，第k-1天听不到枪声，第k天才会听到枪声，那么当有k+1条狗患病时，显然，前k天不会出现枪声，而任一个患病的狗的主人，他看到有k条狗有病，但是前k天没有枪声，所以他知道患病的狗不止k条，故他会在k+1天使开枪打死自己的狗。由以上内容的介绍学习，我们可以这样说，学习“逻辑思维与职业生涯概述”课程的宗旨，就是提高大学生工作生活里不可或缺的逻辑思维能力，培养大家的“常量数学逻辑”素养，使得在将来的职业生涯中，帮助你起到“四两拨千斤”的作用。习题1.21、请你说出两种不同的数学定义。 2、简单的说，数学的特点是 、 与 。数学语