2022年初中三角函数公式及其定理 .pdf

初中三角函数公式及其定理第十一次授课1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。222cba2、如下图，在RtABC中， C为直角，则 A的锐角三角函数为( A可换成 B)：定义表达式取值范围关系正弦斜边的对边AAsincaAsin1sin0A( A为锐角 ) BAcossinBAsincos1cossin22AA余弦斜边的邻边AAcoscbAcos1cos0A( A为锐角 ) 正切的邻边的对边AtanAAbaAtan0tanA( A为锐角 ) BAcottanBAtancotAAcot1tan( 倒数)1cottanAA余切的对边的邻边AAAcotabAcot0cot A( A为锐角 )3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。5、0、30、45、 60、 90特殊角的三角函数值(重要 )三角函数030456090sin02122231 cos12322210tan0 331 3-cot-31 330 6、正弦、余弦的增减性：当 090时， sin随的增大而增大， cos随的增大而减小。)90cot(tanAA)90tan(cotAABAcottanBAtancot)90cos(sinAA)90sin(cosAABAcossinBAsincosA90B90得由BA对边邻边斜边A C B bacA90B90得由BA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - 7、正切、余切的增减性：当 090时， tan随的增大而增大， cot随的增大而减小。1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）所有未知的边和角。依据：边的关系：222cba；角的关系： A+B=90 ；边角关系： 三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法) 2、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。仰角铅垂线水平线视线视线俯角(2)坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做 坡度 (坡比 )。用字母i表示，即hil。坡度一般写成1: m的形式，如1:5i等。把坡面与水平面的夹角记作(叫做 坡角 )，那么tanhil。3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。 如图 3，OA、OB、OC、OD 的方向角分别是：45、 135、 225。4、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90的水平角，叫做方向角。如图4,OA、OB、OC、OD 的方向角分别是：北偏东30（东北方向），南偏东 45（东南方向） ，南偏西 60（西南方向） ，北偏西 60（西北方向） 。典型例题例题 1(2009 安徽中考 ) 长为 4m的梯子搭在墙上与地面成45 角， 作业时调整为60 角 （如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了m练习1(2008 庆阳中考) 如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC=3 米，:ihlhl名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - 3cos4BAC，则梯子长AB = 米. 例题 2（2007 湖州中考）小明发现在教学楼走廊上有一拖把以15 的倾斜角斜靠在栏杆上，严重影响了同学们的行走安全。他自觉地将拖把挪动位置，使其的倾斜角为75 ，如果拖把的总长为 1.80m，则小明拓宽了行路通道_m （结果保留三个有效数字，参考数据：sin15 26，cos15 0.97）练习 2 （2009 庆阳中考） 如图（1） ，一扇窗户打开后用窗钩AB 可将其固定 如图（2）是如图（1）中窗子开到一定位置时的平面图，若AOB=45 ， OAB=30 ，OA=60cm，求点 B 到 OA 边的距离（31.7，结果精确到整数）例题 3（2009 郴州中考）如图，数学活动小组来到校园内的一盏路灯下测量路灯的高度，测角仪AB 的高度为 1.5 米，测得仰角为30，点 B 到电灯杆底端N 的距离 BN 为 10 米，求路灯的高度 MN 是多少米？（取2=1.414，3=1.732，结果保留两位小数）练习 3（2009 眉山中考）海船以5 海里 /小时的速度向正东方向行驶，在A 处看见灯塔B 在海船名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - 的北偏东60 方向， 2 小时后船行驶到C 处，发现此时灯塔B 在海船的北偏西45 方向，求此时灯塔 B 到 C 处的距离。例题 4（2009 常德中考）如图，某人在D 处测得山顶C 的仰角为30o，向前走200 米来到山脚A处，测得山坡AC 的坡度为 i=10.5，求山的高度（不计测角仪的高度，31.73，结果保留整数）练习 4（2008 广安中考）如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由45o降为 30o ，已知原滑滑板AB 的长为 5 米，点 D、B、C 在同一水平地面上（1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）（2）若滑滑板的正前方能有3 米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6 米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由。(参考数据：21.414,31.732,62.449) 家庭作业名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - 10.(2008庆 阳 中 考 ) 如 图 ， 一 架 梯 子 斜 靠 在 墙 上 ， 若 梯 子 底 端 到 墙 的 距 离AC=3 米 ，3cos4BAC，则梯子长AB = 米. 答案： 4 11.（2007湖州中考）小明发现在教学楼走廊上有一拖把以15 的倾斜角斜靠在栏杆上，严重影响了同学们的行走安全。他自觉地将拖把挪动位置，使其的倾斜角为75 ，如果拖把的总长为1.80m，则小明拓宽了行路通道_m （结果保留三个有效数字，参考数据：sin15 26，cos15 0.97）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - 答案： 1.28 三、解答题12.（2009 庆阳中考）如图（1） ，一扇窗户打开后用窗钩AB 可将其固定如图（2）是如图（ 1）中窗子开到一定位置时的平面图，若AOB=45 ， OAB=30 ，OA=60cm，求点 B 到 OA 边的距离（31.7，结果精确到整数）【解析】 如图，过点B 作 BCOA 于点 C AOB=45 ， CBO=45 ，BC=OC设 BC=OC=x， OAB=30 ， AC=BC tan60 =3 xOC+CA=OA， x+3 x=60，x=316022 （cm） 即点 B 到 OA 边的距离是22 cm13.（2009 郴州中考）如图，数学活动小组来到校园内的一盏路灯下测量路灯的高度，测角仪AB的高度为1.5 米，测得仰角为30，点 B 到电灯杆底端N 的距离 BN 为 10 米，求路灯的高度 MN 是多少米？（取2=1.414，3=1.732，结果保留两位小数）【解析】 在直角三角形MPA中，30，10AP =米名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - - MP=10 tan300 =10335.773 米因为1.5AB=米所以 MN=1.5+5.77=7.27 米答：路灯的高度为7.27 米14.（2009眉山中考）海船以5 海里 /小时的速度向正东方向行驶，在A 处看见灯塔B 在海船的北偏东 60 方向， 2 小时后船行驶到C 处，发现此时灯塔B 在海船的北偏西45 方向，求此时灯塔 B 到 C 处的距离。【解析】 如图，过 B 点作 BDAC 于 D DAB 90 60 30 ， DCB90 45 45设 BD x，在 RtABD 中，AD xtan30 3x在 RtBDC 中，BD DCx BC2x又 AC 5 210 310 xx，得5(31)x，2 5(31)5(62)BC（海里）答：灯塔 B 距 C 处5(62)海里15.（2009常德中考）如图，某人在D 处测得山顶C 的仰角为30o，向前走200 米来到山脚A 处，测得山坡AC 的坡度为 i=10.5，求山的高度（不计测角仪的高度，31.73，结果保留整数） 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - - 【解析】 设山高 BC =x，则 AB=12x，tan3012002BCxBDxo，得(231)400 x，解得400400(2 31)162112 31x米16.（2008广安中考）如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由45o降为30o ，已知原滑滑板AB 的长为 5 米，点 D、B、C 在同一水平地面上（1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）（2）若滑滑板的正前方能有3 米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6 米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由。(参考数据：21.414,31.732,62.449) 【解析】（1）在RtABC中，5sin 452(m)2ACABog5cos452(m)2BCABogRtADC中5 2(m)sin30ACADo56(m)tan302ACCDo名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - 2.07(m)ADAB 改善后的滑滑板会加长2.07m（2）这样改造能行因为2.59(m)CDBC ，而632.59名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - -