2022年北京市高考试题立体几何汇编 .pdf

2011-2017 北京市高考试题立体几何汇编1、(2011 文 5)某四棱锥的三视图如右图所示，该四棱锥的表面积是（）.A32 B16+16 2C48 D16+32 22、(2011 理 7)某四面体的三视图如右图所示，该四面体四个面的面积中最大的是（）A. 8 B.6 2 D. 8 23、 (2012 理 7， 文 7)某三棱锥的三视图如右图所示， 该三棱锥的表面积是（） . A 286 5 B. 306 5C. 5612 5 D. 6012 54、(2013，文 8)如右图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，P为对角线 BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有( )A3 个 B4 个 C5 个 D6个5、(2013，文 10)某四棱锥的三视图如下图所示，该四棱锥的体积为 _6、(2013，理 14)如右图，在棱长为2 的正方体1111ABCDABC D中，E为BC的中名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - 点，点P在线段1D E上，点P到直线1CC的距离的最小值为7、(2014 ，理 7)在空间直角坐标系Oxyz中，已知(2,0,0)A，(2,2,0)B，(0,2,0)C，2(1,1,)D，若1S，2S，3S分别表示三棱锥DABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则（A）123SSS（B）12SS且13SS（C）13SS且23SS（D）23SS且13SS8、(2014，文 11)某三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为 .9、(2015 理 5)某三棱锥的三视图如下图所示，则该三棱锥的表面积是A 25 B 45 C 225 D510、 （2015文 7）某四棱锥的三视图如右图所示，该四棱锥最长棱的棱长为(A)1 （B）（B） (D)211、 （2016理 6）某三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥的体积为（）A B C D1 12、（2016文 11）某四棱柱的三视图如右图所示，则该四棱柱的体积为_. 正（主）视图左（侧）视图俯视图名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - 13、 （2017 理 7）如右图，某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）（A）32（B）23（C）22（D）214、（2017 文 6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）（A）60 （B）30（C）20 （D）10（1） 15、 （2017 理 16）如下图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，平面PAD 平面ABCD ，点M在线段PB上，PD6ABCDPPCABCDACDC DCPACABPPAC E ABPB FPACEF（2） 求证：平面 MOC 平面 EAB.（3） 求三棱锥 E-ABC的体积。20、 （2015理 17）如图，在四棱锥AEFCB中，AEF为等边三角形， 平面AEF平面EFCB，EFBC，4BC，2EFa，60EBCFCB，O为EF的中点() 求证：AOBE；() 求二面角FAEB的余弦值；() 若BE平面AOC，求a的值21、(2014 文 17) 如图，在三棱柱111ABCA B C中，侧棱垂直于底面， ABBC ，12AAAC，E、F分别为11AC、 BC 的中点 .（1）求证：平面ABE平面11B BCC；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - （2）求证：1/C F平面ABE；（3）求三棱锥 EABC 的体积 .22、(2014 理 17)如图，正方形AMDE的边长为2，B、C分别为AM、MD的中点，在五棱锥PABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD、PC分别交于点G、H.（）求证：ABFG；（）若PA平面ABCDE，且PAAE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长.23、 (2013 理 17)如图，在三棱柱111ABCAB C中，11AA C C是边长为 4 的正方形平面ABC平面11AAC C，3AB，5BC（）求证：1AA平面ABC；（）求证二面角111ABCB的余弦值；（）证明：在线段1BC上存在点D，使得1ADA B，并求1BDBC的值.24、(2013 文 17)如图，在四棱锥 PABCD 中，AB CD ，AB AD ，CD 2AB ，平面PAD 平面 ABCD ，PA 和 F分别是 CD和 PC的中点求证：(1) PA 底面 ABCD ；(2) BE 平面 PAD ；(3) 平面 BEF 平面 PCD .25、(2012，文 16)如图 1，在 RtABC 中， C=90 ，D ，E分别为 AC ，AB的中点，点 F 为线段 CD上的一点，将 ADE沿 DE折起到 A1DE的位置，使 A1FCD ，如图 2。(I) 求证： DE 平面 A1CB ；(II)求证： A1FBE ；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - (III)线段 A1B上是否存在点 Q ，使 A1C平面 DEQ ？说明理由。26、(2012 理 16)如图1，在Rt ABC 中，90C，3BC，6AC，D、E分别为 AC 、AB上的点，且DE BC2DEADE DE1A DE1ACCD21ACBCDE M1A DCM1A BEBC P1A DP1A BEPABCD PAABCD ABCD2,60ABBADBDPACPAAB PBAC PBC PDCPA（）求证： DE 平面BCP ； （）求证：四边形 DEFG 为矩形；（）是否存在点Q ，到四面体 PABC 六条棱的中点的距离相等？说明理由.答案： 1 、B 2 、C 3 、B 4 、B 5 、3 6 、2 55 7 、D ABCDP名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - 8、 2 2 9 、C 10 、C 11 、A 12 、32 13 、B 14、D15、（I ）设交点为，连接.因为平面，平面平面，所以.因为是正方形，所以为的中点，所以为的中点.（II ）取的中点，连接，.因为，所以 .又因为平面平面，且平面，所以平面.因为平面，所以.因为是正方形，所以.如图建立空间直角坐标系，则， ，.由题知二面角为锐角，所以它的大小为.（III）由题意知， ，.设直线与平面所成角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.16、解： （I ）因为PAAB，PABC，所以PA平面ABC，又因为BD平面ABC，所以PABD.（II ）因为ABBC，D为AC中点，所以BDAC，由（ I ）知，PABD，所以BD平面PAC.所以平面BDE平面PAC.（III）因为PA平面BDE，平面PACI平面BDEDE，所以PADE.因为D为AC的中点，所以112DEPA，2BDDC.由（ I ）知，PA平面ABC，所以DE平面PAC.所以三棱锥EBCD的体积1163VBD DCDE.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - 17、 （）证明：平面PAD 平面 ABCD ，且平面 PAD 平面 ABCD=AD，且 AB AD ，AB ? 平面 ABCD ，AB 平面 PAD ，PD ? 平面 PAD ，AB PD ，又 PD PA ，且 PA AB=A ，PD 平面 PAB ；（）解：取 AD中点为 O ，连接 CO ，PO ，CD=AC= ，CO AD ，又PA=PD ，PO AD 以 O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：则 P（0，0，1） ，B（1，1，0） ，D（0，1，0） ，C （2，0，0） ，则， ，设为平面 PCD 的法向量，则由，得，则设 PB与平面 PCD 的夹角为，则 =；（）解：假设存在M点使得 BM 平面 PCD ，设， M （0，y1，z1） ，由（）知， A（0，1，0） ，P（0，0，1） ， ，B（1，1，0） ， ，则有，可得 M （0，1，），BM 平面 PCD ，为平面 PCD 的法向量，即，解得综上，存在点 M ，即当时， M点即为所求18、证明：( ) 因为PC平面ABCD，所以DCPC，又因为ACDC ，所以，DC平面PAC( ) 因为AB/DC，ACDC ，所以ACAB，又因为PC平面ABCD，所以PCAB ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - 所以AB平面PAC由?AB平面PAB， 所以平面PAB平面PAC（）棱PB上存在点F，使得PA平面CEF，理由如下：取PB的中点F，连结CFCE,EF,因为点E为AB的中点，所以EF/PA又因为PA不在平面CEF内，所以/PA平面CEF19、解： （I ）因为 O,M分别为 AB ，的中点，所以又因为平面 MOC ，所以 VB （II ）因为，为AB的中点，所以 OCAB.又因为平面VAB平面ABC，且OC平面ABC，所以OC平面VAB所以平面MOC平面VAB（III）在等腰直角三角形ACB中，2ACBC，所以2AB，1OC所以等边三角形VAB的面积3VABS又因为OC平面VAB，所以三棱锥CVAB的体积等于1333VABOC S又因为三棱锥VABC的体积与三棱锥CVAB的体积相等，所以三棱锥VABC的体积为3320、解： （I ）因为 AEF是等边三角形，O为 EF的中点，所以 AO EF.又因为平面AEF 平面 EFCB ，AO平面 AEF ，所以 AO 平面 EFCB.所以 AO BE. （）取BC中点 G，连接 OG.由题设知 EFCB 是等腰梯形，所以 OG EF. 由（I ）知 AO 平面 EFCB又 OG平面 EFCB ，所以 OA OG.如图建立空间直角坐标系O-xyz，则 E（a,0,0 ） ， A（0，0，3a） ， B（ 2，3（2-a ） ，0） ，EAuu u r=（-a ，0，3a） ，BEuu u r=（a-2 ，3（a-2 ）,0 ）.设平面 ABE的法向量为n=（x,y,z ）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - 则：n0?n0?EABEu uu ru uu r即30?(2)3(2)0axazaxay令 z=1，则 x=3，y=-1. 于是 n=（3，-1,1 ）平面 AEF是法向量为p=（0,1,0 ）所以 cos（n，p）=n pn p=55.由题知二维角F-AE-B 为钝角，所以它的余弦值为55（）因为BE 平面 AOC ，所以 BE OC ，即0BE OCuu u r u uu r.因为BEu uu r=（a-2 ，3（a-2 ） ，0） ，OCu uu r=（-2，3（2-a ） ，0） ，所以BE OCuuu r uu u r=-2 （a-2 ）-32(2)a.由0BE OCuuu r uuu r及 0a0 ） ，则，设平面 PBC的法向量 , 则，所以令则所以同理，平面PDC的法向量，因为平面PCB 平面 PDC,所以 =0，即，解得，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - 所以 PA= 28、解：（）因为D，E分别为 AP ，AC的中点，所以 DE21分别取 PC ，AB的中点 M ，N ，连接 ME ，EN，NG ，MG ，MN 。与（）同理，可证四边形MENG 为矩形，其对角线点为EG的中点 Q，且 QM=QN=21EG ， 所以 Q为满足条件的点.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - -