2022年向量法求空间各种角分享 .pdf

一、直线与平面的夹角（1）定义法求线面角例 1：如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC. 求BD与平面PAB所成的角 : 练：如图，在四棱锥PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱PD底面 ABCD ，PDDC，E 是 PC 的中点(1)证明： PA平面 EDB；(2)求 EB 与底面 ABCD 所成的角的正切值（2）向量法求线面角例 2已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为 4，点 E、F、G、H 分别在棱CC1、DD1、 BB1、 BC 上，且 CE12CC1，DF BG14DD1， BH12BC.求 AH 与平面 AFEG 的夹角练习： 1、在如图所示的几何体中，EA平面ABC，DB平面ABC，ACBC，且ACBCBD2AE，M是AB的中点(1) 求证：CMEM.(2) 求CM与平面CDE所成的角名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 2、(2010 湖南理， 18) 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1 中，E是棱DD1 的中点(1) 求直线BE和平面ABB1A1 所成的角的正弦值；(2) 在棱C1D1 上是否存在一点F，使B1F平面A1BE？证明你的结论3、如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a，侧棱长为2a.求 AC1与侧面 ABB1A 所成的角二、二面角二面角求法： （1）几何法：（2）向量法：（1）定义法求面面角如图： ABCD 是正方形， V 是平面 ABCD 外一点，且VAVBVCAB，求二面角AVB C 的大小 说明 (1) 所谓定义法，(2) 求二面角的步骤：练： 1、三棱柱 SABC 中， SAB SAC ACB 90 ，AC2，BC13，SB29，求侧面SBC 与底面 ABC 所成二面角的大小名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 2、如图，四棱锥PABCD 中， PA底面 ABCD.底面 ABCD 为边长是1 的正方形， PA1，求平面PCD 与平面 PAB 夹角的大小3、 正三角形ABC的边长为 4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将ABC沿CD翻折成直二面角ADCB( 如图 ) 在图中求平面ABD与平面EFD所成二面角巩固练习：1、正方形ABCD所在平面外一点P，PA平面ABCD，若PAAB，则平面PAB与平面PCD所成的角的度数为() A30B45 C 60 D 902、如图正方体ABCDA1B1C1D1 中，E、F分别是BB1 和DD1 的中点，则平面ECF与平面ABCD的夹角的余弦值为() 3正方体AC1 中平面 ABCD 与平面 A1BCD 1 的夹角为 _4、在正三棱柱ABC A1B1C1 中，各棱长都相等，E 为 BB1 的中点，则平面AEC 与平面 ABC 的夹角为 _5、在正方体ABCDA1B1C1D1 中，求平面A1BC1 与底面 ABCD 所成角的余弦值6、已知点P 是正三角形ABC 所在平面外一点，P APBPC23，AB1，则 PC 和平面 ABC 所成的角是7、平面的一条斜线和这个平面所成的角的范围是( ) A0180 B0 90 C 090 D0908、直线l与平面 成 45角，若直线l在内的射影与 内的直线m成 45角，则l与m所成的角是( ) A30B45C60D90 9、若AB与平面 成 30角，且A，则AB与内不过点A的所有直线所成角中的最大角_10、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PD平面ABCD.PDDC，E是PC的中点求EB与平面ABCD夹角的余弦值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 三、直线成角例 1：在正方体ABCDA1B1C1D1 中，求（ 1）异面直线A1B与AC所成的角（2）向量 BC1与AC的夹角的大小练习： 1、如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中， ACB90 ， BAC30 ，BC 1，AA16，M 为 CC1的中点，求直线 AB1与 A1M 所成的角2、直三棱柱ABCA1B1C1，底面ABC中，CACB1，BCA 90，棱AA12，M、N分别是A1B1、A1A的中点(1) 求BN的长； (2) 求异面直线BA1 与CB1 所成角的余弦值3、正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB.则异面直线A1B与 AD1所成角的余弦值为() A.15B.25C.35D.454、如图，已知F 是正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱 C1D1 的中点，试求异面直线A1C1 与 DF 所成角的余弦值变式：在本例给出的正方体中，E 为棱 AA1 的中点，求异面直线BE 与 AC 所成角的大小名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 四、共线或共面问题1.已知不共线向量a，b，且 ABa2b，BC 5a6b，CD7a2b，则一定共线的三点是() AA、B、DBA、B、CCB、C、DDA、C、D2.已知 a3m 2n4p0，b(x1)m8n2yp，且 m，n，p 不共面，若ab，则 x _，y_. 3.下列命题中正确的是() A若 a 与 b 共线， b与 c 共线，则 a 与 c 共线B向量 a、b、c 共面即它们所在的直线共面C零向量没有确定的方向D若 ab，则存在惟一的实数，使 ab4、若 e1，e2 是同一个平面内的两个向量，则() A平面 内任一向量a，都有 ae1e2(，R) B若存在实数 1，2，使 1e12e20，则 120 C若 e1，e2 不共线，则空间任一向量a，都有 ae1e2(，R) D若 e1，e2 不共线，则平面内任一向量a，都有 ae1e2(，R) 5、下列条件使M 与 A、B、C 一定共面的是 ( ) A.OM 2OAOB OCB.OM OA OBOC0 C.DM13OA13OB13OCD.MAMBMC0 6、6、已知空间四边形OABC 如图所示， M 是 AB 的中点， N 是 CM 的中点，用基底a，b，c表示 ON，则 ON_. 练习：1设 a，b 是不共线的两个向量， ， R 且 a b0，则 () Aab0B 0 C 0，b0 D 0，a0 2对于空间中任意三个向量a，b,2ab，它们一定是 () A共面向量B共线向量C不共面向量D既不共线也不共面向量3若 a 与 b 不共线，且mab，nab， p2a，则（) Am、n、 p共线Bm 与 p 共线Cn 与 p 共线Dm、n、p 共面4已知 A、B、C 三点共线， O 为空间任意一点，如果OC xOA16OB，则 x 的值为A.16B.56C56D165如图所示，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中， M 为 AC 与 BD 的交点，若 A1B1a，A1D1b，A1Ac，则下列向量中与 B1M相等的向量是 ( )A12a12b c B.12c12bc C.12a12b c D12a12bc 6对空间任一点O 和不共线三点A，B，C，能得到 P，A，B，C 四点共面的是 ( ) A.OPOAOBOCB.OP13OA13OB13OCC.OP OA12OB12OC7给出下列两个命题：如果向量a，b 与任何向量不能构成空间的一个基底，那么a，b 的关系是不共线；O，A，B，C 为空间四点，且向量OA，OB，OC不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C 一定共面其中正确的命题是()A仅B仅 CD都不正确8、8如果 a、b、c 共面， b、c、 d也共面，则下列说法正确的是() A若 b 与 c 不共线，则a、b、c、d 共面B若 b 与 c 共线，则a、b、c、d 共面C当且仅当c0 时， a、b、c、d 共面D若 b与 c 不共线，则a、b、 c、d 不共面名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 9若 ae1e23e3，be1e2 2e3，ce13e22e3，d 4e16e28e3，d a b c，则 ， ，的值分别为 () A.185，910，12B185，910，12C.185，910，12D185，910，1210 已知 A、 B、 C 三点不共线， 点 O 是平面 ABC 外一点，则在下列各条件中，能得到点M 与 A、B、C 一定共面的是 () A.OM12OA12OB12OCB.OM13OA13OBOCC.OM OAOBOCD.OM2OAOBOC11给出下列几个命题：a“从上海往正北平移9 km ”， b“从北京往正北平移3 km”，那么a3b；(ab) c (ad)b(1 )a (cd)；有直线l，且 la，在 l 上有点 B，若 ABCA2a，则 Cl. 其中正确的命题是_12在以下三个命题中，真命题的序号为_三个非零向量a、b、c 不能构成空间的一个基底，则a、b、c 共面；若两个非零向量a、b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a、b 共线；若 a、b 是两个不共线的向量，而c a b( 、 R 且 0)，则 a，b，c 构成空间的一个基底13已知 O 是空间任一点，A，B，C， D 四点满足任三点均不共线，但四点共面，且OA2xBO3yCO4zDO，则 2x3y4z_. 14在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，若 AC1xAB2y BC 3z C1C，则 xyz等于 _五、数量积的运算例题 1、向量a、b之间的夹角为30，且 |a| 3，|b| 4，求ab，a2，b2，(a2b) (ab) 2、设 ab，3，6，且 |a|1，|b|2，|c|3，求向量 abc 的模3、已知平行六面体ABCDA1B1C1D1 中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且两两夹角为60，则AC1 的长是多少？4、如图，在平行四边形ABCD 中，ABAC1，ACD 90，将它沿对角线AC 折起，使 AB 与 CD 成 60角，求 B、D 间的距离名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 练习：1若 a，b 均为非零向量，则“a b|a|b|”是“ a 与 b 共线”的 () A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2下列结论中正确的是() A(a b) c (b c) a Ba b |a|b|，则 ab Ca，b，c 为非零向量， a cb c，则 ab Da ab b，则 ab3已知非零向量a，b 不共线，且其模相等，则ab与 ab的关系是 () A垂直B共线C不垂直D以上都可能4下列结论正确的是() Aa eacos Bab? a b0 C |a|2|a| aD(ab)3a33a2b3ab2b35如图，空间四边形的各边和对角线长均相等，E 是 BC 的中点，那么() A.AE BCAE CDD.AE BC与AE CD不能比较大小6已知 a， b均为单位向量，它们的夹角为60 ，那么 |a 3b|() A.7B. 10 C. 13 D4 7已知正方体ABCDABCD的棱长为a，设AB a，ADb，AAc，则 () A30B60C90D1208若 |a|b|4，60 ，则 |ab|等于 () A4B8C37D13 9已知四面体ABCD 中，AB、AC、AD 两两互相垂直，则下列结论中不成立的是() A|ABACAD|ABACAD| B |ABACAD|2|AB|2|AC|2|AD|2C (AB ACAD) BC0 D.AB CDAC BDAD BC10已知空间四边形每条边和对角线的长等于a，点 E、F、 G 分别是 AB、AD 、DC 的中点，则a2等于() A2BAB2AD BDC2FG CAD2EF CB11已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中，以顶点 A 为端点的三条棱长都等于2，且两两夹角都是60 ，则对角线 AC1的长是 _12已知 |a|22，|b|22，a b2，则 _. 13|a|1， |b|2， |c|3，a bb c ca0，则|abc| _. 14 如图所示， ABACBD1， AB? 面 ， AC面 ，BD AB， BD 与面 成 30 ，则点 C 与 D 之间的距离为 _名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 1已知平面内的角 APB60 ，射线 PC 与 PA、PB 所成角均为135 ，则 PC 与平面 所成角的余弦值是() A63B.63C.33D332三棱锥 PABC 的底面是以AC 为斜边的直角三角形，顶点P 在底面的射影恰好是ABC 的外心， PAAB1，BC2，则 PB 与底面 ABC 所成角为 ()A60B30C45 D903正方体ABCD A1B1C1D1中，直线 BC1与平面 A1BD 所成角的正弦值是()A.24B.23C.63D.324在三棱锥PABC 中， ABBC，ABBC12PA，点 O、D 分别是 AC、PC 的中点， OP底面 ABC，则直线OD 与平面 PBC 所成角的正弦值为() A.216B.833C.21060 D.210305若直线l 与平面 所成角为3，直线 a 在平面 内，且与直线l 异面，则直线l 与直线 a 所成角的取值范围是() A. 0，23B.3，23C.2，23D.3，26如果平面的一条斜线段长是它在这个平面上的射影长的3 倍，那么斜线段与平面所成角的余弦值为() A.13B.2 23C.22D.23名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -