二次型的正定性及其应用(20页).doc

-毕业论文 题 目： 二次型的正定性及其应用 学生姓名： 孙云云 学生学号： 0805010236 系 别： 数学与计算科学系 专 业： 数学与应用数学 届 别： 2012 届 指导教师： 李远华 -第 18 页-目 录摘 要(1)前言(1)1 二次型的概念(2)1.1 二次型的矩阵形式(2)1.2 正定二次型与正定矩阵的概念(2)2 二次型的正定性一些判别方法及其性质(3)3 二次型的应用(8)3.1 多元函数极值(8)3.2 线性最小二乘法(12)3.3 证明不等式(14)3.4 二次曲线(16)结论(17)致谢(17)参考文献(17) 二次型的正定性及其应用学生：孙云云指导老师：李远华淮南师范学院数学与计算科学系摘 要：二次型与其矩阵具有一一对应关系，本文主要通过研究矩阵的正定性来研究二次型的正定性及其应用。通过研究二次型的性质并利用正（负）定矩阵判断多元函数的极值、证明不等式，由矩阵的特征值求多元函数的最值，再借助于非退化线性替换判断二次曲线的形状。 关键词：二次型；矩阵；正定性；应用The second type of positive definite matrix and its applicationsStudent: Sun YunYunInstructor: Li YuanHuaDepartment of mathematics and Computational Science, Huainan Normal UniversityAbstract:Quadratic and its matrix is exactly corresponding relation, Quadratic and its matrix is exactly corresponding relation, this paper mainly through the study of the matrix is qualitative to study the second type is qualitative and its application. Through the study of the nature of the second type and use the positive (negative) set judgment matrix function of many extreme value, to testify inequality, the characteristic value of the matrix for the most value of a function of many, then the degradation by linear replace judgment of the shape of the quadratic curves. Quadratic and its matrix is exactly corresponding relation,Quadratic and its matrix is exactly corresponding relation,Key words: Quadratic; Quadratic matrix; Qualitative; Application 前言 二次型常常出现在许多实际应用和理论研究中，有很大的实际使用价值。它不仅在数学的许多分支中用到，而且在物理学中也会经常用到，其中实二次型中的正定二次型占用特殊的位置. 二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别，因此，对正定矩阵的讨论有重要的意义.1 二次型的概念 定义1.1 设P是一个数域，p,n个文字, 的二次齐次多项式称为数域p上的一个n元二次型，简称二次型.当为实数时，f称为实二次型.当 为复数时,称 f为复二次型.如果二次型中只含有文字的平方项，即=称f为标准型.1.1 二次型的矩阵形式 二次型可唯一表示成=，其中，为对称矩阵，称上式为二次型的矩阵形式，称A为二次型的矩阵（必是对称矩阵），称A的秩为二次型f的秩.1.2 正定二次型与正定矩阵的概念 定义1.2 设=是n元实二次型（A为实对称矩阵），如果对任意不全为零的实数都有，则称f为正定二次型,称A为正定矩阵；如果，则称f为半正定二次型，称A为半正定矩阵;如果，则称f为负定二次型，称A为负定矩阵;如果，称f 为半负定二次型，称A为半负定矩阵；既不是正定又不是负定的实二次型称为不定的二次型，称A为不定矩阵. 定义1.2 另一种定义 具有对称矩阵的二次型(1) 如果对任何非零向量, 都有 （或）成立，则称为正定（负定）二次型，矩阵称为正定矩阵（负定矩阵）.(2) 如果对任何非零向量, 都有 （或）成立，且有非零向量，使，则称为半正定（半负定）二次型，矩阵称为半正定矩阵（半负定矩阵）. 注:二次型的正定(负定)、半正定(半负定)统称为二次型及其矩阵的有定性.不具备有定性的二次型及其矩阵称为不定的.二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别.2 二次型的正定性一些判别方法及其性质 定理2.1 设为正定矩阵,若,则也是正定矩阵. 定理2.2 对角矩阵正定的充分必要条件是. 定理2.3 对称矩阵为正定的充分必要条件是A的特征值全大于零. 定理2.4 为正定矩阵的充分必要条件的正惯性指数 定理2.5 矩阵为正定矩阵的充分必要条件矩阵是：存在非奇异矩阵,使.即合同. 推论2.1 若为正定矩阵,则. 定理2.6 秩为的元实二次型, 设其规范形为则：(1)负定的充分必要条件是且(即负定二次型,其规范形为)(2)半正定的充分必要条件是(即半正定二次型的规范形为)(3)半负定的充分必要条件是 (即)(4)不定的充分必要条件是 (即) 定义2.1 阶矩阵的个行标和列标相同的子式称为的一个阶主子式.而子式称为的阶顺序主子式. 定理2.7 阶矩阵为正定矩阵的充分必要条件是的所有顺序主子式.证明：必要性 设二次型是正定的对于每个k，1£k£n，令，则对于任意一组不全为零的实数，有因此是正定的由推论5.4.1，的矩阵的行列式故矩阵A的顺序主子式全大于零充分性 对n作数学归纳法当n=1时，由条件，显然有是正定的假设充分性的论断对于n-1元二次型已经成立，那么对n元情形，令，则矩阵A分块为由A的顺序主子式全大于零知道的顺序主子式也全大于零因此，由归纳假定，是正定矩阵，即有n-1阶可逆矩阵G,使取，则再取，则,令C=C1C2，a=ann-a¢GG¢a则有两边取行列式，得由于|A|>0，因此a>0显然这就是说，矩阵A与单位矩阵合同所以A是正定矩阵，故二次型正定注：(1)若是负定矩阵，则为正定矩阵. (2)是负定矩阵的充要条件是：其中是的阶顺序主子式.(3)对半正定（半负定）矩阵可证明以下三个结论等价:a.对称矩阵是半正定（半负定）的;b.的所有主子式大于（小于）或等于零；c.的全部特征值大于（小于）或等于零. 例2.1 设M是n阶实对称矩阵, 则必存在正实数t, 使得tI+M为正定阵，其中I是单位矩阵.证明：矩阵正定的充要条件:对任意x不等于0向量,有，在所有的X中选一个X,使的值最小,其中MAX>0，而这时对应的的值为K,且K肯定大于0.又K,MAX都是常数,则必存在常数T,使TK-MAX>0，即>0故TI+M正定. 例 2.2 考虑二次型,问为何值时，f为正定二次型.解:利用顺序主子式来判别,二次型f的矩阵为，A的顺序主子式为； ；.于是，二次型f正定的充要条件是：，有，可知，；由,可得, 所以，当时,f正定. 例2.3 已知A-E是n阶正定矩阵，证明为正定矩阵.分析：只要证明的特征值全大于零即可证明:由正定知A是实对称矩阵，从而， 即也是实对称矩阵.设A的特征值为（k=1,2,n）,则A-E的特征值为（k=1,2,n）,而的特征值为（k=1，2，,n）,因为是正定矩阵，所以,(k=1,2,n),从而，故，（k=1,2,n）即，的特征值全大于零，故，为正定矩阵.3 二次型的应用3.1 多元函数极值 在实际问题中经常要遇到求三元以上函数的极值问题，对此可由二次型的正定性加以解决 定义3.1.1 设元函数在的某个邻域内有一阶、二阶连续偏导数.记, 称为函数在点处的梯度. 定义3.1.2 满足的点称为函数的驻点. 定义3.1.3 称为函数在点处的黑塞矩阵.显然是由的个二阶偏导数构成的阶实对称矩阵. 定理3.1.1 (极值存在的必要条件) 设函数在点处存在一阶偏导数，且为该函数的极值点，则. 定理3.1.2 (极值的充分条件) 设函数在点的某个邻域内具有一阶、二阶连续偏导数，且则:(1) 当为正定矩阵时，为的极小值; (2) 当为负定矩阵时，为的极大值; (3) 当为不定矩阵时，不是的极值.应注意的问题： 利用二次型的正定性来判断多元函数的极值虽然是一个很好的方法,但也有一定的局限性,因为充分条件对正定和负定的要求是很严格的,若条件不满足,那结论就不一定成立. 例3.1.1 求三元函数的极值.解:先求驻点，由 得所以驻点为.再求(Hessian)黑塞矩阵因为,所以，可知是正定的，所以在点取得极小值：.当然，此题也可用初等方法求得极小值，结果一样. 定理3.1.3 设n元实函数在点P0的一个邻域中连续，且有足够高阶的连续偏导数，则函数在点P0近旁有性质：1）若正定，则P0为极小点；2）若负定，则P0为极大点；3）若不定，则P0非极大点或极小点；4）其余情形时，在点P0性质有待研究余项R的性质来确定.特别当是二次函数时，R=0，只要半正（负）定，则P0为极小（大）点. 例3.1.2 求函数的极值.解：解方程组，易得，于是，经计算得 正定； 负定；不定.故在点，点，Z不取极值；在点，Z取极小值，；在点，Z取极大值，. 下面利用二次型的矩阵的特征值求多元函数的最值.设元二次型 ，则在条件下的最大（小）值恰为矩阵的最大（小）特征值. 例3.1.3 求函数在的最小值. 解：先对二次型将其化为标准形式,然后在条件下讨论函数的最小值.该二次型的实对称矩阵为，它的特征多项式.对于特征值，求得两个线性无关的特征向量；再用正交化方法，得两个单位正交的特征向量取正交矩阵 则有.对二次型做正交变换，得 相应地，条件化为. 于是原题意化为对式的三元二次其次函数在满足条件时求其最小值.此时，显然有又当时，所以满足条件的最小值，而且它仅在和处取得最小值.回到变元，则在和处取得最小值. 最后再介绍一个有用的定理： 定理3.1.3 设A为n阶正定矩阵与实向量，为实数，则实函数当时取得最小值.证明:，由A正定，存在（对称）而，其中，正定，故，所以取得最小值.3.2 线性最小二乘法 众所周知，线性方程组可能无解.即任何一组都可能使得不等于0，我们设法找到，使得最小，这样称为方程组的最小二乘解.这种问题就叫最小二乘法问题.若记A为上述方程组的系数矩阵，.于是，使得值最小的X一定是方程组的解，而其系数矩阵是一个正定矩阵，它的惯性指数等于n，因此这个线性方程组总是有解的，这个解就是最小二乘解. 例3.2.1 已知某种材料在生产过程中的废品率y某种化学成分x有关,下列表中记载了某工厂生产中y与相应的x的几次数值x1.000.90.90.810.600.560.35y3.63.73.83.94.04.14.2我们想找出y对x的一个近似公式.解:把表中数值画出图来看,发现它的变化趋势近于一条直线,因此我们决定选取x的一次式ax+b来表达,当然最好能选到适当的a,b使得下面的等式3.6a+b-1.00=03.7a+b-0.9=03.8a+b-0.9=03.9a+b-0.81=04.0a+b-0.60=04.1a+b-0.56=04.2a+b-0.35=0都成立,实际上是不可能的.任何a,b代入上面各式都发生些误差,于是想找到a,b使得上面各式的误差的平方和最小,即找a,b使(3.6a+b-1.00)+(3.7a+b-0.9)+(3.8a+b-0.9)+(3.9a+b-0.81)+(4.0a+b-0.60)+(4.1a+b-0.56)+(4.2a+b-0.35)最小,这里讨论的是误差的平方即二乘方,故称为最小二乘法,用最小二乘法解.易知A=,B=.最小二乘解a,b所满足的方程就是AA-AB=0.即为解得 a=-1.05,b=4.81.(取三位有效数字) 3.3 证明不等式其证明思路是:首先构造二次型, 然后利用二次型正（半）定性的定义或等价条件,判断该二次型（矩阵）为正（半）定矩阵,从而得到不等式. 例3.3.1求证：（其中是不全为零的实数）.证明：设二次型，则f的矩阵是，因为，的各阶顺序主子式为：；，所以，正定，从而（因为是不全为零的实数），即.（其中是不全为零的实数）,结论得证. 例3.3.2（不等式）设为任意实数,则.证明:记，因为对于任意,都有, 故关于的二次型是半正定的.因而定理2.7的注意知,该二次型矩阵的行列式大于或等于0,即，故得. 例3.3.3 证明：证明：记,其中,将矩阵的第2,3,列分别加到第一列,再将第2,3, 行减去第1行,得, 于是的特征值为0,由定理可知, 为半正定矩阵, 即二次型是半正定的,从而得,即,结论得证. 例3.3.4 设是一个三角形的三个内角, 证明对任意实数,都有.证明：记，其中.对做初等行变换得:,于是的特征值为0,1,从而得二次型是半正定的,即对于任意实数,得证. 例3.3.5 设为阶半正定矩阵,且,证明.证明：设的全部特征值为,则的全部特征值为.因为为实对称矩阵,所以存在正交矩阵,使得,由于为半正定矩阵，且，则是半正定的，且其中至少有一个，同时至少有一个等于0.故，结论得证.以上是根据不等式的要求证明该二次型为半正定二次型,从而证明不等式.使用这种方法简单方便.3.4 二次曲线事实上，化简二次曲线并判断曲线的类型所用的坐标变换就是二次型中的非退化线性替换，因此可以利用二次型判断二次曲线的形状.例3.5.1 判断二次曲线的形状.解：设，令，则.对实施非退化线性替换：,即则，从而.即，故曲线表示椭圆.结论 二次型的研究起源于解析几何中二次曲线和二次曲面的理论，二次型的理论在数学和物理的许多分支都有着广泛的应用。用二次型来解决初等数学、微积分中的一些问题，有时会起到意想不到的效果。本文通过研究二次型的性质，借助例子说明二次型在求多元函数的的极值、最值、证明不等式、及判断二次曲线的形状等方面的应用。将多元元函数求极值问题化为一个二次型问题。在三元及三元以上多元函数求极值时，这个方法比一般工科高等数学教材中介绍的求极值方法好用，而且能够确定是极大值还是极小值。致谢 值此本科学位论文完成之际，首先要感谢我的导师李远华老师。李老师从一开始的论文方向的选定，到最后的整篇文论的完成，都非常耐心的对我的论文进行指导。给我提供了大量数据资料和建议，告诉我应该注意的细节问题，细心的给我指出错误，修改论文。李老师诲人不倦的工作作风，一丝不苟的工作态度，严肃认真的治学风格给我留下深刻的影响，值得我永远学习。在此，谨向导师李远华老师致以崇高的敬意和衷心的感谢！这次毕业论文能够得以顺利完成，并非我一人之功劳，是所有指导过我的老师，帮助过我的同学和一直关心支持着我的家人对我的教诲、帮助和鼓励的结果。我要在这里对他们表示深深的谢意！参考文献：1 王萼方，石生明.高等代数（第三版）M.北京:高等教育出版社，2008.2 陈公宁.矩阵理论与应用M.北京:高等教育出版社,1990.3 孟道骥.M.科学出版社,2001.4 李宏伟，等.M.科学出版社,2009.5 徐仲，陆全，吕全义，等.高等代数M.西北工业大学出版社，2006.6 钱吉林.高等代数题解精粹M.中央民族大学出版社，2007.7 岳贵鑫.正定矩阵及其应用J.辽宁省交通高等专科学校报，2008，10（5）:45-48.8 曹璞.正定矩阵的判定与性质J.南都学坛（自然科学专号）,1994,14(3):76-79.9 薛蓉华.二次型性质的若干应用J.福建工程学院学报，2011，9（3）:15-18.10 钱志祥，林文生.浅谈正定二次型的实际应用J.科学创新导报，2009，9(5):68-70.11 杨家骥.高等代数在初等数学中的应用M.济南：山东教育出版社，1992.