三角形三心共线的证明(3页).doc

-三角形三心共线的证明题 求证：任意三角形的垂心H，重心G和外心O三点共线这道题乍一看较为棘手，一般的学生不知如何下手，若把命题改为“ABC内接于圆O，H为垂心求证H到该三角形任意顶点的距离等于O到这个顶点所对的边距离的两倍”证起来就轻松多了下面先简单证明这个命题证明：如图1(仅以锐角三角形为例)，O是ABC的外心，H是垂心，OMBC于M，即证AH=2OM，连BO且延长交圆O于D，则DC=2OM BD是直径即 AH=2OM这就为我们证明前者奠定了基础，于是就有三角形三心共线的第一种证法证法1 在图2中，H、O分别为ABC的垂心和外心，中线AM交HO于G， AHOM，且AH=2OM AG=2GM，即G就是重心G，故H、G、O三心共线证法2 如图3，作OMBC，OFAB，垂足分别为M、F，则M是BC的中点，F是AB的中点， FMAC，且AC=2FM OF、CE均垂直于AB，且FMAC 1=2，同理3=4，从而有OMFHAC AC2FM， AH=2MO AM与OH的交点必为重心G，故H、G、O三心共线证法3 在图4中，ABC的两条高AD、BE相交于H(垂心)，边AC和边CB上的中垂线ON、OM相交于O(外心)，M、N分别在CB、AC上，则AM与ON于X，AD交ON于Q，连OG和HG，可证XOGYHG NXGBYGOXG=HYG(两线平行，内错角相等)由、知XOGYHG得OGX=HGY，可得H、G、O三点在一条直线即任意三角形的垂心、重心、外心共线在上述三种证法中，证法1和证法2的思路清晰、敏捷；证法3是融代数、几何于一体，可培养我们综合运用能力-第 3 页-