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    高中数学知识点精讲——极限和导数.doc

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    高中数学知识点精讲——极限和导数.doc

    如有侵权,请联系网站删除,仅供学习与交流高中数学知识点精讲极限和导数【精品文档】第 7 页第十二章 极限和导数第十四章 极限与导数一、 基础知识1极限定义:(1)若数列un满足,对任意给定的正数,总存在正数m,当n>m且nN时,恒有|un-A|<成立(A为常数),则称A为数列un当n趋向于无穷大时的极限,记为,另外=A表示x大于x0且趋向于x0时f(x)极限为A,称右极限。类似地表示x小于x0且趋向于x0时f(x)的左极限。2 极限的四则运算:如果f(x)=a, g(x)=b,那么f(x)±g(x)=a±b, f(x)g(x)=ab, 3.连续:如果函数f(x)在x=x0处有定义,且f(x)存在,并且f(x)=f(x0),则称f(x)在x=x0处连续。4最大值最小值定理:如果f(x)是闭区间a,b上的连续函数,那么f(x)在a,b上有最大值和最小值。5导数:若函数f(x)在x0附近有定义,当自变量x在x0处取得一个增量x时(x充分小),因变量y也随之取得增量y(y=f(x0+x)-f(x0).若存在,则称f(x)在x0处可导,此极限值称为f(x)在点x0处的导数(或变化率),记作(x0)或或,即。由定义知f(x)在点x0连续是f(x)在x0可导的必要条件。若f(x)在区间I上有定义,且在每一点可导,则称它在此敬意上可导。导数的几何意义是:f(x)在点x0处导数(x0)等于曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处切线的斜率。6几个常用函数的导数:(1)=0(c为常数);(2)(a为任意常数);(3)(4);(5);(6);(7);(8)7导数的运算法则:若u(x),v(x)在x处可导,且u(x)0,则(1);(2);(3)(c为常数);(4);(5)。8复合函数求导法:设函数y=f(u),u=(x),已知(x)在x处可导,f(u)在对应的点u(u=(x)处可导,则复合函数y=f(x)在点x处可导,且(f(x)=.9.导数与函数的性质:(1)若f(x)在区间I上可导,则f(x)在I上连续;(2)若对一切x(a,b)有,则f(x)在(a,b)单调递增;(3)若对一切x(a,b)有,则f(x)在(a,b)单调递减。10极值的必要条件:若函数f(x)在x0处可导,且在x0处取得极值,则11.极值的第一充分条件:设f(x)在x0处连续,在x0邻域(x0-,x0+)内可导,(1)若当x(x-,x0)时,当x(x0,x0+)时,则f(x)在x0处取得极小值;(2)若当x(x0-,x0)时,当x(x0,x0+)时,则f(x)在x0处取得极大值。12极值的第二充分条件:设f(x)在x0的某领域(x0-,x0+)内一阶可导,在x=x0处二阶可导,且。(1)若,则f(x)在x0处取得极小值;(2)若,则f(x)在x0处取得极大值。13罗尔中值定理:若函数f(x)在a,b上连续,在(a,b)上可导,且f(a)=f(b),则存在(a,b),使证明 若当x(a,b),f(x)f(a),则对任意x(a,b),.若当x(a,b)时,f(x)f(a),因为f(x)在a,b上连续,所以f(x)在a,b上有最大值和最小值,必有一个不等于f(a),不妨设最大值m>f(a)且f(c)=m,则c(a,b),且f(c)为最大值,故,综上得证。14Lagrange中值定理:若f(x)在a,b上连续,在(a,b)上可导,则存在(a,b),使证明 令F(x)=f(x)-,则F(x)在a,b上连续,在(a,b)上可导,且F(a)=F(b),所以由13知存在(a,b)使=0,即15曲线凸性的充分条件:设函数f(x)在开区间I内具有二阶导数,(1)如果对任意xI,则曲线y=f(x)在I内是下凸的;(2)如果对任意xI,则y=f(x)在I内是上凸的。通常称上凸函数为凸函数,下凸函数为凹函数。16琴生不等式:设1,2,nR+,1+2+n=1。(1)若f(x)是a,b上的凸函数,则x1,x2,xna,b有f(a1x1+a2x2+anxn)a1f(x1)+a2f(x2)+anf(xn).二、极限1、数列极限:(1)公式:(C为常数);(p>0);.(2)运算法则:若数列和的极限都存在,则和的和、差、积、商的极限等于和的极限的和、差、积、商.例题: 将直线、(,)围成的三角形面积记为,则 . 已知和是两个不相等的正整数,且,则 习题: . 设0<a<b,则=_ _. 若,则 等于 数列的前n项和为Sn,则_. 已知数列的首项,其前项的和为,且,则= .2、函数极限:(1)公式: (C为常数); (p>0);(2)运算法则:若函数和的极限都存在,则函数和的和、差、积、商的极限等于和的极限的和、差、积、商.习题: ; . 已知,且,则 .3、函数的连续性:函数在处连续的充要条件是.习题: 已知函数在x=0处连续,则 . 已知,下面结论正确的是 ( )(A)在处连续 (B) (C) (D) 若,则常数的值分别为 .三、导数1、导数的概念:(1)导数的定义:函数在处的导数.(2)导数的几何意义:曲线上点处的切线的斜率为.因此曲线在点()处的切线方程为.(3)导数的物理意义:若质点运动的位移函数为S=s(t),则时质点运动的瞬时速度是.例题: 若,则等于 . 若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18,则 . 如图,一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面,记t时刻露出水面部分的图形面积为,则导函数的图像大致为 已知曲线.(1) 求曲线在点处的切线方程; (2) 求曲线过点的切线方程. 求抛物线上的点到直线距离的最小值.习题: 若,则等于 . 运动曲线方程为,则t=3时的速度是 . 已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图,那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是 曲线在点(1,1)处的切线方程是 . 已知点P在曲线y=上,为曲线在点P处的切线的倾斜角,则的取值范围是 .2、导数的运算: (1)常见函数的导数:(2)导数的四则运算法则: (3)复合函数的求导法则:首先,选定中间变量,分解复合关系,说明函数关系y=f(),=f(x);然后将已知函数对中间变量求导,中间变量对自变量求导;最后求,并将中间变量代回为自变量的函数习题: 若满足,则 . 等比数列中,则 . 求下列函数的导数:(1) (2). 3、导数的应用:(1)求函数的单调性:用导数求函数单调区间的一般步骤为:求;>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间;<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间.例题: 函数的单调递增区间为 . 已知函数,求()的单调区间. 若函数在区间(1,4)内为减函数,在区间(6,+)上为增函数,试求实数a的取值范围.已知函数在上是增函数,求的取值范围.习题: 函数的单调减区间为 . 若恰有三个单调区间,则的取值范围是 . 已知a>0,函数f(x)=x3ax在1,+)上是单调增函数,则a的最大值是 . 求函数()的单调性. 是否存在这样的k值,使函数在(1,2)上递减,在(2,+)上递增(2)求函数的极值:求导数;求方程=0的根;用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格,检查在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号即都为正或都为负,则在这个根处无极值.例题: 已知函数f(x)=ax3+bx23x在x=±1处取得极值,求f(x)的极大值和极小值. 函数f(x)=x36bx+3b在(0,1)内有极小值,则b的取值范围为 . 已知函数在处取得极大值,在处取得极小值,且(1)证明;(2)若z=a+2b,求z的取值范围.习题: 已知函数=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10,则=_ 设为实数,函数,求的极值. 设函数,求函数的极值.(3)求函数的最值:利用导数求函数的最值步骤:求在内的极值;将的各极值与、比较得出函数在上的最值.例题: 函数在区间上的最大值是 . 求抛物线上与点距离最近的点. 设函数,其中常数.(1)讨论的单调性;(2)若当时,恒成立,求的取值范围.

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