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-专题五 数列不等式专题【命题趋向】在历年高考中，往往把数列当作重要的内容来考查在以考查等差数列和等比数列的定义、数列的通项公式、数列求和等基础知识为主的试题中，关注概念辨析以及等差、等比数列的“基本量法”；在考查数列的综合问题时，对能力有较高的要求，试题有一定的难度和综合性，常与单调性、最值、不等式、导数、数学归纳法等知识交织在一起，涉及化归与转化、分类与整合等数学思想在考查相关知识内容的基础上，高考把对数列的考查重点放在对数学思想方法、推理论证能力以及应用意识和创新意识的考查上使用选择题、填空题形式考查数列的试题，往往突出考查函数与方程、数形结合、特殊与一般、有限与无限等数学思想方法使用解答题形式考查数列的试题，其内容往往是一般数列的内容，其方法是研究数列通项及前项和的一般方法，并且往往不单一考查数列知识，而是与其他内容相结合，体现对解决综合问题的考查力度数列综合题有一定的难度，对能力有较高的要求，对合理区分出较高能力的考生起到重要作用在高考试卷中一般有一个小题有针对性地考查数列的知识和方法，有一道综合解答题重点对数列、数列和函数导数、不等式进行综合考查考查 由于新课标的考试大纲在必考部分删除了不等式的证明方法，分式不等式、带绝对值的不等式的解法，绝对值三角不等式等内容，高考对不等式的考查主要体现在其和其他知识的交汇考查上，重点是不等式和导数的结合、不等式和数列的结合、不等式和实际问题的结合，不等式与线性规划高考试卷中一般有1-2个小题考查基本不等式的运用、简单的线性规划，在解答题中与其他知识交汇考查【考点透析】数列的主要考点有：数列的概念及其表示，等差数列、等比数列的概念、通项公式和前项和公式，数列的简单应用等不等式的主要考点有：不等关系与不等式，一元二次不等式的解法，简单的线性规划，基本不等式及其应用【例题解析】题型1 数列的一般问题例1(2009江苏泰州期末6)若数列的前项和，则数列中数值最小的项是第 项分析：根据数列中与的关系求出后解决解析：当时，；当时，可以统一为，故，该关于的二次函数的对称轴是，考虑到为正整数，且对称轴离较近，故数列中数值最小的项是第项答案点评：数列问题中其通项公式、前项和公式都是关于正整数的函数，要善于从函数的观点认识和理解数列问题数列的一般问题中通项与前项和的关系是重点，要注意把和分开讨论，再看能不能统一例2（江苏扬州市2008-2009学年度第一学期期未调研测试第13题）数列的前项和是，若数列的各项按如下规则排列：，若存在整数，使，则 分析：数列的构成规律是分母为的一项，分母为的两项，分母为的三项等，故这个数列的和可以分段求解解析：，下面的和为，这样，而，故答案点评：本题中数列的前的和是可以求出来的，但本题的目的不是这个本题主要的考查目的就是观察、归纳和运算求解，在其中找到一项恰好满足某个限制条件，是一个设计很优秀的题目题型2 等差数列与等比数列的基本问题例3（2008高考四川理16）设等差数列的前项和为，若，则的最大值为_分析：根据已知的不等关系，可以建立关于的不等式组，通过这个不等式组探究解决的方法解析：等差数列的前项和为，且， ， 即 ， ， ， 故的最大值为点评：本题考查等差数列的通项公式、前项和公式的灵活运用，解题的关键是基本量思想，即在不等式组中，通过不等式建立起的关于的不等关系，再通过这个不等关系求出的范围使问题获得解决的 例4（中山市高三级20082009学年度第一学期期末统一考试理科第4题）已知在等差数列中,若，则的最小值为A B C D分析：根据和的关系，根据求和公式列出不等式解决解析：根据分析，即，即，即答案B点评：本题把等差数列的求和与一元二次不等式交汇，体现了在知识网络的交汇处设计试题的原则题型3 等差数列、等比数列综合题例5（中山市高三级20082009学年度第一学期期末统一考试理科第16题）已知数列是首项为，公比的等比数列，设，数列满足（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和分析：（1）直接计算：（2）根据等比数列的性质数列为等差数列，这样数列就是一个等差数列与一个等比数列对应项的乘积构成的数列，用“错位相减法”解决【解析】（1）由题意知， ，又，故 （2）由（1）知， 于是，两式相减，得 点评：“错位相减法”是最重要的数列求和方法之一，要熟练掌握例6（江苏扬州市2008-2009学年度第一学期期未调研测试第20题）已知等差数列 的首项为，公差为，等比数列的首项为，公比为(其中均为正整数)(1) 若，求数列、的通项公式；(2)在(1)的条件下，若成等比数列，求数列的通项公式；(3) 若，且至少存在三个不同的值使得等式成立，试求、的值分析：（1）根据基本量方法，列出方程求出的值；（2）就是在一个等差数列中挑出一个等比数列的子数列，根据数列中的项既是等差数列中的项又是等比数列中的项列方程解决；（3）根据给出的不等式和的条件采用不等式限制的方法确定应满足的条件，根据这些条件探究问题的答案解析：（1）由得：，解得：或， ，从而 (2)由(1)得，构成以为首项，为公比的等比数列，即： ，又，故， () 由得：，由得：；由得：，而，即：，从而得：，当时，不合题意，故舍去，所以满足条件的 又，故，即： 若，则，不合题意； 若，则，由于可取到一切整数值，且，故要至少存在三个使得成立，必须整数至少有三个大于或等于的不等的因数，故满足条件的最小整数为，所以的最小值为，此时或或点评：本题的难点在第三问，解答这个问题的基本思想是根据不等关系确定相等关系，即从不等式入手，根据为正整数且首先确定了的值（这是解答这个题目的关键），然后采取分离的方法把用正整数和自然数表达出来，再结合问题的要求确定问题的答案题型3 递推数列例7（2008高考陕西文20）已知数列的首项，（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的前项和分析：（1）根据递推式和等比数列的定义；（2）结合通项的具体特点和数列求和的常用方法，采用适当的方法解决解析：（1） ， ， ，又，数列是以为首项，为公比的等比数列（2）由（）知，即，设， 则，由得，又数列的前项和 点评：本题主要考查等比数列的概念和“错位相减”求和法解题的关键是求出数列 的通项公式，由于有第一问为引导，这个问题对大多数考生困难不大本题容易把看成数列的首项求错数列的通项公式，“错位相减”求和时“漏项”或“添项”，计算出错等题型4 数列的应用例8（北京卷理14）某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第棵树种植在点处，其中，当时，表示非负实数的整数部分，例如，按此方案，第棵树种植点的坐标应为 ；第棵树种植点的坐标应为 分析：通过简单计算就知道个项组成一个周期为的数列，数列和也是有规律的，归纳的方法解决解析：(1,2) (3, 402) T组成的数列为1,0,0,0,0,1, 0,0,0,0,1, 0,0,0,0,1(k=1,2,3,4)一一带入计算得：数列为1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5；数列为1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4因此，第6棵树种在 (1,2)，第2008棵树种在(3, 402)点评：对于新定义型的试题，首先要把握好新定义的含义，这是解决问题的前提，把新定义弄清楚了，问题就是常规的了，在递推数列问题中，往往数列的前几项能给我带来归纳问题一般结论的启示，所以在解答这类问题时，要小心计算数列的前面几项，千万不要出错，不然数列的一般规律就被个别的错误数字所掩盖了题型5 数列与其他知识的交汇性的综合性解答题1数列与不等式的交汇例9（安徽省皖南八校2009届高三第二次联考理科数学第20题）已知等差数列的前项和为，公差，且成等比数列（1）求数列的前项和公式； （2）设，数列的前项和为，求证：分析：（1）利用基本量方法，通过方程求出等差数列的公差；（2）数列满足，这是一个等差数列的前项和与一个关于的一次函数之比，数列极可能也是一个等差数列，求出其和后，根据不等式的有关知识解决解析：（1）成等比数列，即又，（2） 是首项为，公差为的等差数列， （当且仅当时取“”） 当且仅当即时取“” 又中等号不可能同时取到， 点评：本题以等差数列与等比数列的基础知识入手设计，除了考查数列的基础知识外，重在考查对不等式的理解深度、证明不等式的基本方法，解题的不同思维走向决定了解题的“简繁”程度，如本题要是选择证明，不进行仔细分析，走证明的路子，问题虽然也能解决，但复杂程度可想而知2数列与函数、不等式的交汇例10（广东省潮州市20082009学年度第一学期高三级期末质量检测理科第题）已知是的图象上任意两点，设点，且，若，其中，且（1）求的值； （2）求；（3）数列中，当时，设数列的前项和为，求的取值范围使对一切都成立分析：（1）向量试说明是的中点，根据中点坐标公式求解的值；（2）根据经验和第一问的结果，这是一个倒序相加求和的问题；（3）解析：（1）由 ，得点是的中点，则， 故， 所以 （2）由（1）知当时， 又， ， （，且）（3），故当时，故由得，即，只要，故当时，；当是，由得，而故当时可以对一切不等式都成立20090318点评：数列是以正整数为自变量的函数，从函数入手设计数列试题是自然的本题从函数图象的对称性出发构造了一个函数值的数列，再从这些已经解决的问题入手构造了一个裂项求和问题和一个不等式恒成立问题，试题设计逐步深入解答数列求和时要注意起首项是不是可以融入整体，实际上本题得到的对也成立3数列与导数、不等式的交汇例11（浙江省五校2009届高三第一次联考理科第21题）已知函数，数列满足：（1）求证：；（2）求数列的通项公式；（3）求证不等式：分析：（1）构造函数、利用函数的单调性证明；（2）根据函数关系把数列的递推关系找出来，利用变换的方法将递推关系转化为等差数列或等比数列的关系解决；（3）根据（1）（2）的结果分析探究解析：（1）， ，当时，即是单调递增函数；当时，即是单调递减函数 所以，即是极大值点，也是最大值点 ，当时取到等号 （2）由得， ，即数列是等差数列，首项为，公差为，（3） 又时，有，令，则 点评：本题第一问的不等式及其类似的不等式是一类很重要的不等式，在各地的高考试题中已经出现过多次，对其在解决数列问题中的应用要多加体会和总结；第二问中的递推数列是形如之类的递推数列的一个深化；第三问中的问题实际上就是和式的估计问题，这也是一个经常用来命题试题的地方题型6 不等关系与不等式、基本不等式及其应用例12（2009年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科第3题）下列不等式不一定成立的是A BC D分析：根据基本不等式和不等式证明的基本方法逐个作出判断解析：根据重要不等式A中不等式成立；由于，B中的不等式恒成立；根据，选项D中的不等式恒成立；只有选项C中的不等式当时不成立答案C点评：注意例13（2008高考江苏卷11） 设为正实数，满足，则的最小值是 分析：根据所给定等式可以把“三元”问题转化为“二元”问题，根据基本不等式解决解析： ，故，当且仅当时取等号答案点评：本题在一个新的环境下考查利用基本不等式求最值，解题的关键是根据已知条件消掉目标式中的，通过对目标式的变形，转化为考生所熟悉的使用基本不等式求最值的情景题型7 一元二次不等式例14（2008年海南宁夏卷理6）已知，则使得 都成立的取值范围是A B C D 分析：三个不等式都能成立的第值必须同时满足三个不等式，三个不等式结构形式完全一样，解出一个后，其余的类比解析： 即，即，由于，这个不等式可以化为，即，若对每个应最小，即应最大，也即是答案A点评：本题考查一元二次不等式的解法本质上是一个不等式组的解集题型8 简单的线性规划例15(2008高考山东卷理12)设二元一次不等式组所表示的平面区域为，使函数的图象过区域的的取值范围是ABCD分析：画出不等式组所表示的平面区域后，根据函数图象与性质作出定量的解答解析：区域是一个三角形区域，三个顶点的坐标是，结合图形检验可知当时，符合题目要求答案C点评：本题考查二元一次不等式组所表示的平面区域、指数函数的图象等基础知识，数形结合的数学思想，分析问题解决问题的能力，是一道在知识网络的交汇处设计的能力型试题解题的关键是利用数形结合的思想，通过对指数函数图象的变化趋势找到的取值范围例16（浙江省2009年高考省教研室第一次抽样测试理科第17题）在直角坐标系中，若不等式组表示一个三角形区域，则实数的取值范围是 分析：区域边界两“静”一“动”，画出区域数形结合解决解析： 对于如图所示，对于直线过点为的直线当过原点为界和垂直时的范围内可构成三角形区域，因此的取值范围是点评：本题看似简单，实际上在考试中真正做对并不容易，两条定直线构成一个角形区域，但那条动直线当斜率为正和为负时，是很容易弄错的【专题训练与高考预测】一、选择题1在数列中，如果存在非零的常数，使得对于任意正整数均成立，那么就称数列为周期数列，其中叫做数列的周期 已知数列满足，若，当数列的周期为时，则数列的前项的和为（ ）AB CD2已知等比数列中，则其前项的和的取值范围是（ ）A BC D3数列满足，则的整数部分是（ ） A B C D 4使不等式成立的必要不充分条件是（ ）A BCD或5已知，则有（ ）A B C D 6设 , 则对任意正整数 , 都成立的是（ ）A B C D 二、填空题7已知数列、都是等差数列，分别是它们的前项和，并且，则 8已知点与点在直线的两侧，则下列说法 （1） （2）时，有最小值，无最大值 （3），使恒成立 （4）, 则的取值范围为其中正确的是 （把你认为所有正确的命题的序号都填上）9已知实数满足则的最小值是 三、解答题10已知数列的前n项和为，且 （1）求数列通项公式； （2）若，求证数列是等比数列，并求数列的前项和11数列中，（是不为零的常数，），且成等比数列 （1）求的值； （2）求的通项公式； （3）求数列的前项之和12数列中，（且）是函数的一个极值点 （1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）记，当时，数列的前项和为，求使的的最小值； （3）当时，是否存在指数函数，使得对于任意的正整数有成立？若存在，求出满足条件的一个；若不存在，请说明理由【参考答案】1解析：D 由已知，由于周期为，故，故，这个数列是，由于，故2解析：D 等比数列中 当公比时，；当公比时， 故选D3解析：B 由已知可得，故有，故，又，故，又，故当时，故，故，故的整数部分是4解析：B 由，解得，要找的是的必要不充分条件5解析：D 由，得，又，故6解析： C 故应选C 7解析： 8解析：（3）（4） 点在直线两侧，则故（1）不正确；点所在的区域如图中的阴影部分，显然当点在轴两侧靠近轴时，可以无限大，也可以无限小，故（2）不正确；根据几何意义，对区域内的任意一点，都有，故只要即可，故（3）正确；如图根据几何意义，的斜率大于直线的斜率，小于的斜率，点，故（4）正确9解析： 如图，区域的三个顶点时，逐个代入检验知最小值是10解析：（1）时， 时，适合上式， （2）， 即数列是首项为、公比为的等比数列 ， 11解析： （1），因为，成等比数列，所以， 解得或 ， （2）当时，由于，所以 又，故当时，上式也成立，所以 （3）令 - 1分 -得： 12解析：（1）由题意，即，且，数列是以为首项，为公比的等比数列，以上各式两边分别相加得，当时，上式也成立， （2）当时，由，得，当时，当时，因此的最小值为（3）令，则有：则，即存在函数满足条件-第 19 页-