二项式“杨辉三角”与二项式系数的性质导学案(4页).doc

- “杨辉三角”与二项式系数的性质导学案学习目标：1.了解“杨辉三角”的特征，让学生偿试并发现二项式系数规律； 2.通过探究，掌握二项式系数的性质，并能用它计算和证明一些简单的问题；学习重点：二项式系数的性质及其应用；学习难点：杨辉三角的基本性质的探索和发现。学习过程：学习提纲：杨辉三角的来历及规律（阅读课本，回答问题）问题1：根据 （n=1，2，3，4，5，6）展开式的二项式系数表，你能发现什么规律？问题2：杨辉三角揭示了二项展开式的二项式系数的变化情况，那么杨辉三角有何特点？或者说二项式系数有何性质呢？对于展开式的二项式系数，从函数角度看，可看成是以r为自变量的函数f(r)，其定义域是0，1，2，n，令f(r)= ，定义域为0，1，2，n问题3：当n=6时，作出函数f（r）的图象，并结合图象分析二项式系数的性质。二项式系数的重要性质1、对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。即=分析：2、增减性与最大值：二项式系数先增大后减小，中间取最大。 提示：（1）讨论与的大小关系。 （2）讨论与1的大小关系。3、各项二项式系数的和：的展开式中的各个二项式系数的和为2n分析：赋值法的应用。链接:若一个集合有元素，则它的子集有个典型例题（性质4）试证：在（a+b）n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。分析：奇数项的二项式系数的和为+，偶数项的二项式系数的和为+，由于中的可以取任意实数，因此我们可以通过对适当赋值来得到上述两个系数和。当堂检测1、已知=a，=b，那么=_；2、（a+b）n的各二项式系数的最大值是_；3、+=_；4、_；5、证明：+ =2n-1 (n是偶数) ；作业：课本第3题，组7、8题，组1、2题 补充作业1、在（a+b）20的展开式中，与第五项二项式系数相同的项是（ ）（A）第15项 (B) 第16项 (C) 第17项 (D) 第18项2、（1x）13的展开式中系数最小的项是（ ）（A）第6项 (B) 第7项 (C) 第8项 (D) 第9项3、若与同时取得最大值，则m=_4、已知（12x）7=a0+a1x+a2x2+a7x7则a1+a2+a7=_ a1+a3+ a5+a7=_ a0+a2+ a4+a6=_5、已知()n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，求展开式中二项式系数最大的项的系数6、在（a+b）10的展开式中，系数最大的项是（ ）（A）第6项 (B) 第7项 (C) 第6项和第7项 (D) 第5项和第7项7、在（ab）10的展开式中，系数最大的项是（ ）（A）第6项 (B) 第7项 (C) 第6项和第7项 (D) 第5项和第7项8、在（a+b）11的展开式中，系数最大的项是（ ）（A）第6项 (B) 第7项 (C) 第6项和第7项 (D) 第5项和第7项9、在（ab）11的展开式中，系数最大的项是（ ）（A）第6项 (B) 第7项 (C) 第6项和第7项 (D) 第5项和第7项参考答案1：杨辉三角揭示了二项展开式的二项式系数的变化情况，那么杨辉三角有何特点？或者说二项式系数有何性质呢？蕴含规律：1、同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；2、相邻两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和。3、设表中任一不为1的数为C，那么它肩上的两个数分别为C及C，即C= C+C，对于( a+b) n展开式的二项式系数，从函数角度看，可看成是以r为自变量的函数f(r)，其定义域是0，1，2，n，令f(r)= ，定义域为0，1，2，2：当n=6时，作出函数f（r）的图象，并结合图象分析二项式系数的性质。三、二项式系数的重要性质1、对称性： 二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。即=2、增减性与最大值由于所以相对于增减情况由决定，由>1 可知，当时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值。当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项和相等，且同时取得最大值。3、各项二项式系数的和( 1+x) n =+x+x2+xr+xn,思考： +=？由于x为任意实数，上式中令x=1，则得：2n=+也就是说，( a+b) n的展开式中的各个二项式系数的和为2n说明：这种方法是赋值法，是解决二项展开系数有关问题的重要手段。【目标检测】（A级）练习：(1)、在（a+b）10的展开式中，系数最大的项是（ A ）（A）第6项 (B) 第7项 (C) 第6项和第7项 (D) 第5项和第7项(2)、在（ab）10的展开式中，系数最大的项是（ D ）（A）第6项 (B) 第7项 (C) 第6项和第7项 (D) 第5项和第7项(3)、在（a+b）11的展开式中，系数最大的项是（ C ）来源:学#科#网（A）第6项 (B) 第7项 (C) 第6项和第7项 (D) 第5项和第7项(4)、在（ab）11的展开式中，系数最大的项是（ B ）（A）第6项 (B) 第7项 (C) 第6项和第7项 (D) 第5项和第7项（B级）1、已知=a，=b，那么=_ a+b _；2、（a+b）n的各二项式系数的最大值是当n是偶数时，最大值是；当n是奇数时，和相等且最大。来源:学科网3、+=_1024；4、；来源:Zxxk.Com5、证明：+ =2n-1 (n是偶数) ；来源:Zxxk.Com-第 4 页-