1.1.1集合的含义与表示.docx

1.1.1集合的含义与表示集合的含义与表示(二) §1集合的含义与表示(二) 自主学习1驾驭集合的表示方法，能在详细问题中选择适当的方法表示集合2通过实例和阅读自学体会用列举法和描述法表示集合的方法和特点，培育自主探究意识和自学实力1集合的常用表示法有列举法和描述法2列举法：把集合中的元素一一列举出来写在大括号内的方法.3描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法4不含有任何元素的集合叫做空集，记作.5集合的分类1有限集；2无限集；3空集.对点讲练用列举法表示集合 【例1】用列举法表示下列集合：(1)已知集合MxN|61xZ，求M；(2)方程组xy2xy0的解集；(3)由|a|ab|b|(a，bR)所确定的实数集合点拨解答本题可先弄清集合元素的性质特点，然后再按要求改写解(1)xN，且61xZ，1x1,2,3,6，x0,1,2,5，M0,1,2,5(2)由xy2xy0，得x1y1，故方程组的解集为(1,1)(3)要分a0且b0，a0且b0，a0且b0，a0且b0四种状况考虑，故用列举法表示为2,0,2规律方法(1)列举法表示集合，元素不重复、不计次序、不遗漏，且元素与元素之间用“，”隔开(2)列举法适合表示有限集，当集合中元素的个数较少时，用列举法表示集合较为便利，而且一目了然变式迁移1用列举法表示下列集合：(1)Ax|x|2，xZ；(2)Bx|(x1)2(x2)0；(3)M(x，y)|xy4，xN*，yN*；(4)已知集合C61xZ|xN，求C.解(1)|x|2，xZ，2x2，xZ，x2，1,0,1,2.A2，1,0,1,2(2)1和2是方程(x1)2(x2)0的根，B1,2(3)xy4，xN*，yN*，x1，y3，或x2，y2，或x3，y1.M(1,3)，(2,2)，(3,1)(4)结合例1(1)知，61x6,3,2,1，C6,3,2,1 用描述法表示集合 【例2】用描述法表示下列集合：(1)全部正偶数组成的集合；(2)方程x220的解的集合；(3)不等式4x65的解集；(4)函数y2x3的图像上的点集解(1)文字描述法：x|x是正偶数符号描述法：x|x2n，nN*(2)x|x220，xR(3)x|4x65，xR(4)(x，y)|y2x3，xR，yR规律方法用描述法表示集合时，要留意代表元素是什么？同时要留意代表元素所具有的性质变式迁移2用描述法表示下列集合：(1)函数yax2bxc(a0)的图像上全部点的集合；(2)一次函数yx3与y2x6的图像的交点组成的集合；(3)不等式x32的解集解(1)(x，y)|yax2bxc，xR，a0(2)x，y|yx3y2x6x，y|x1y4.(3)xR|x32 列举法和描述法的敏捷运用 【例3】用适当的方法表示下列集合：(1)比5大3的数；(2)方程x2y24x6y130的解集；(3)二次函数yx210图像上的全部点组成的集合点拨对于(1)，比5大3的数就是8，宜用列举法；对于(2)，方程为二元二次方程，可将方程左边因式分解后求解，宜用列举法；对于(3)，所给二次函数图像上的点有多数个，宜采纳描述法解(1)比5大3的数明显是8，故可表示为8(2)方程x2y24x6y130可化为(x2)2(y3)20，x2y3，方程的解集为(2，3)(3)“二次函数yx210的图像上的点”用描述法表示为(x，y)|yx210规律方法用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满意的条件；三要依据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合变式迁移3用适当的方法表示下列集合：(1)由全部小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合；(2)由全部周长等于10cm的三角形组成的集合；(3)从1,2,3这三个数字中抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数的集合；(4)二元二次方程组yxyx2的解集解(1)列举法：3,5,7(2)描述法：周长为10cm的三角形(3)列举法：1,2,3,12,13,21,31,23,32,123,132,213,231,312,321(4)列举法：(0,0)，(1,1)1在用列举法表示集合时应留意以下四点：(1)元素间用“，”分隔；(2)元素不重复；(3)不考虑元素依次；4)对于含有较多元素的集合，假如构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，必需把元素间的规律显示清晰后方能用省略号2运用描述法时应留意以下四点：(1)写清晰该集合中元素的代号(字母或用字母表示的元素符号)；(2)说明该集合中元素的特征；(3)不能出现未被说明的字母；(4)用于描述的语句力求简明、准确 课时作业 一、选择题1集合1,3,5,7,9用描述法表示应是()Ax|x是不大于9的非负奇数Bx|x9，xNCx|1x9，xNDx|0x9，xZ答案A2在直角坐标系内，坐标轴上的点的集合可表示为()A(x，y)|x0，y0B(x，y)|x0，y0C(x，y)|xy0D(x，y)|x0，y0答案C3下列语句：0与0表示同一个集合；由1,2,3组成的集合可表示为1,2,3或3,2,1；方程(x1)2(x2)20的全部解的集合可表示为1,1,2；集合x|4x5可以用列举法表示正确的是()A只有和B只有和C只有D以上语句都不对答案C4已知集合Aa65aN，则A为()A2,3B1,2,3,4C1,2,3,6D1,2,3,4答案D解析由65a可知，5a为6的正因数，所以5a可以等于1,2,3,6，相应的a分别等于4,3,2，1，即A1,2,3,45下列集合中表示同一集合的是()AM(3,2)，N(2,3)BM3,2，N2,3CM(x，y)|xy1，Ny|xy1DM1,2，N(1,2)答案B二、填空题6下列可以作为方程组xy3xy1的解集的是_(填序号)x1，y2；1,2；(1,2)；(x，y)|x1或y2；(x，y)|x1且y2；(x，y)|(x1)2(y2)20答案(3)(5)(6)7已知aZ，A(x，y)|axy3且(2,1)A，(1，4)A，则满意条件的a的值为_答案0,1,2解析(2,1)A且(1，4)A，2a13且a43，1a2，又aZ，a的取值为0,1,2.8已知集合MxN|8xN，则M中的元素最多有_个答案9三、解答题9用另一种方法表示下列集合(1)肯定值不大于2的整数；(2)能被3整除，且小于10的正数；(3)x|x|x|，x5且xZ；(4)(x，y)|xy6，xN*，yN*；(5)3，1,1,3,5解(1)2，1,0,1,2(2)3,6,9(3)x|x|，x0，又xZ且x5，x0或1或2或3或4.集合可以表示为0,1,2,3,4(4)(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)(5)x|x2k1，1k3，kZ10用描述法表示图中阴影部分(含边界)的点的坐标的集合解用描述法表示为(即用符号语言表示)：x，y|1x32，12y1，且xy0.探究驿站11对于a，bN，现规定：a*baba与b的奇偶性相同a×ba与b的奇偶性不同.集合M(a，b)|a*b36，a，bN(1)用列举法表示a，b奇偶性不同时的集合M；(2)当a与b的奇偶性相同时集合M中共有多少个元素？解(1)当a，b奇偶性不同时，a*ba×b36，则满意条件的(a，b)有(1,36)，(3,12)，(4,9)，(9,4)，(12,3)，(36,1)，故集合M可表示为：M(1,36)，(3,12)，(4,9)，(9,4)，(12,3)，(36,1)(2)当a与b的奇偶性相同时a*bab36，由于两奇数之和为偶数，两偶数之和仍为偶数，故36135234333171918181917351，所以当a，b奇偶性相同时这样的元素共有35个 集合的含义与表示教学设计教学设计1.1.1集合的含义与表示整体设计教学分析集合语言是现代数学的基本语言，同时也是一种抽象的数学语言教材将集合的初步学问作为初、中学数学课程的连接，既体现出集合在中学数学课程中举足轻重的作用，又体现出集合在数学中的奠基性地位课本除了从学生熟识的集合(自然数的集合、有理数的集合等)动身，结合实例给出元素、集合的含义、性质、表示方法之外，还特殊留意渗透了“概括”与“类比”这两种常用的逻辑思索方法因此，建议教学时，应引导学生从大量的实例中概括出集合的含义；多创设让学生运用集合语言进行表达和沟通的情境和机会，以便学生在实际应用中渐渐熟识自然语言、集合语言和图形语言各自的特点和表示方法，能进行相互转换并且敏捷应用，充分驾驭集合语言与此同时，本小节作为高一数学教学的第一节新授课，学问体系中的新概念、新符号较多，建议教学时先引导学生阅读课本，然后进行沟通、探讨，让学生在阅读与沟通中理解概念并熟识新符号的运用这样，既能够培育学生自我阅读、共同探究的实力，又能提高学生主动学习、合作沟通的精神三维目标1了解集合的含义；理解元素与集合的“属于”关系；熟记常用数集专用符号2深刻理解集合元素的确定性、互异性、无序性；能够用其解决有关问题3能选择不同的形式表示详细问题中的集合重点难点教学重点：集合的基本概念与表示方法教学难点：选择适当的方法表示详细问题中的集合课时支配1课时教学过程导入新课思路1集合对我们来说可谓是“最熟识的生疏人”说它熟识，是因为我们在现实生活中经常用到“集合”这个名词；比如说，军训的时候，教官是不是常常喊：“高一(4)班的同学，集合啦！”那么说它生疏，是因为我们还未从数学的角度理解集合，从数学的层面挖掘集合的内涵那么，在数学的领域中，集合原委是什么呢？集合又有着怎样的含义呢？就让我们通过今日这堂课的学习，一起揭开“集合”神奇的面纱思路2你常常会谈论你的家庭，你的班级其实在讲到你的家庭、班级的时候，你必定在联想构成家庭、班级的成员，例如：家庭成员就是被你称为父亲、母亲、哥哥、姐姐、妹妹、弟弟的人；班级成员就是与你在同一个教室里一起上课、一起学习的人；一些具有特定属性的人构成的群体，在数学上就是一个集合那么，在数学中，一些对象的总体怎样才可以构成集合、集合中的元素有哪些特性？集合又有哪些表示方法呢？这就是本节课我们所要学习的内容思路3“同学们，在小学和初中的学习过程中，我们已经接触过一些集合的例子，比如说：有理数集合，到一个定点的距离等于定长的点的集合(圆)，那么大家是否能够举出更多关于集合的例子呢？”(通过两个简洁的例子，引导大家进行类比，运用发散性思维思索说出更多的关于集合的实例，然后老师予以点评)“那么，集合的含义原委是什么？它又该如何表示呢？这就是我们今日要探讨的课题”推动新课新知探究提出问题中国有很多传统的佳节，那么这些传统的节日是否能构成一个集合？假如能，这个集合由什么组成？全体自然数能否构成一个集合？假如能，这个集合由什么组成？方程x23x20的全部实数根能否构成一个集合？假如能，这个集合由什么组成？你能否依据上述几个问题总结出集合的含义？探讨结果：能这个集合由春节、元宵节、端午节等有限个种类的节日组成，称为有限集能这个集合由0,1,2,3，等无限个元素组成，称为无限集能这个集合由1,2两个数组成我们把探讨对象统称为“元素”，把一些元素组成的总体叫做“集合”提出问题通过以上的学习我们已经知道集合是由一些元素组成的总体，那么是否全部的元素都能构成集合呢？请看下面几个问题.近视超过300度的同学能否构成一个集合？“眼神很差”的同学能否构成一个集合？比较问题，说明集合中的元素具有什么性质？我们知道冬虫夏草既是一种植物，又是一种动物.那么在全部动植物构成的集合中，冬虫夏草出现的次数是一次呢还是两次？组成英文单词every的字母构成的集合含有几个元素？分别是什么？问题说明集合中的元素具有什么性质？在玩斗地主的时候，我们都知道3，4，5，6，7是一个顺子，那比如说老师出牌的时候把这五张牌的依次摆成了5，3，6，7，4，那么这还是一个顺子么？类比集合中的元素，一个集合中的元素是3，4，5，6，7，另外一个集合中的元素是5，3，6，7，4，这两个集合中的元素相同么？集合相同吗？这体现了集合中的元素的什么性质？探讨结果：能不能确定性问题对“眼神很差”的同学没有一个确定的标准，究竟怎样才算眼神差，是近视300度？400度？还是说“眼神很差”只是寓意？我们不得而知因此通过问题我们了解到，对于给定的集合，它的元素必需是确定的，即任何一个元素要么在这个集合中，要么不在这个集合中，这就是集合中元素的确定性一次4个元素e，v，r，y这四个字母互异性一个集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素不能重复出现是元素相同集合相同体现集合中元素的无序性，即集合中的元素的排列是没有依次的只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的提出问题假如用A表示全部的自然数构成的集合，B表示全部的有理数构成的集合，a1.58，那么元素a和集合A，B分别有着怎样的关系？大家能否从问题中总结出元素与集合的关系？A表示“120内的全部质数”组成的集合，那么3_A，4_A.探讨结果：a是集合B中的元素，a不是集合A中的元素a是集合B中的元素，就说a属于集合B，记作aB；a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作aA.因此元素与集合的关系有两种，即属于和不属于3A,4A.提出问题从这堂课的起先到现在，你们留意到我用了几种方法表示集合吗？字母表示法中有哪些专用符号？除了自然语言法和字母表示法之外，课本还为我们供应了几种集合的表示方法？分别是什么？列举法的含义是什么？你能否运用列举法表示一些集合？请举例！能用列举法把下列集合表示出来吗？小于10的质数；不等式x25的解集.描述法的含义是什么？你能否运用描述法表示一些集合？请举例！集合的表示方法共有几种？探讨结果：两种，自然语言法和字母表示法非负整数集(或自然数集)，记作N；除0的非负整数集，也称正整数集，记作N*或N；整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R.两种，列举法与描述法把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法例如“地球上的四大洋”组成的集合可以用列举法表示为太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋，方程x23x20的全部实数根组成的集合可以用列举法表示为1,2“小于10的质数”可以用列举法表示出来；“不等式x25的解集”不能够用列举法表示出来，因为这个集合是一个无限集因此，当集合是无限集或者其元素数量较多而不便于无一遗漏地列举出来的时候，假如我们再用列举法来表示集合就显得不够简洁明白用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法详细方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或改变)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征例如，不等式x25的解集可以表示为xR|x7；全部的正方形的集合可以表示为x|x是正方形，也可写成正方形自然语言法、字母表示法、列举法、描述法应用示例例1下列所给对象不能构成集合的是_(1)高一数学课本中全部的难题；(2)某一班级16岁以下的学生；(3)某中学的大个子；(4)某学校身超群过1.80米的学生活动探究：老师首先引导学生通过读题、审题，了解本题考查的基本学问点集合中元素的确定性；然后指导学生对4个选项进行逐一推断；推断所给元素是否能构成集合，关键是看是否满意集合元素的确定性解析：(1)不能构成集合“难题”的概念是模糊的，不确定的，无明确的标准，对于一道数学题是否是“难题”无法客观地推断事实上一道数学题是“难者不会，会者不难”，因而“高一数学课本中全部的难题”不能构成集合(2)能构成集合，其中的元素是某班级16岁以下的学生(3)因为未规定大个子的标准，所以(3)不能组成集合(4)由于(4)中的对象具备确定性，因此，能构成集合答案：(1)(3)变式训练1下列几组对象可以构成集合的是()A充分接近的实数的全体B和善的人C某校高一全部聪慧的同学D某单位全部身高在1.7m以上的人答案：D2已知集合S的三个元素a，b，c是ABC的三边长，那么ABC肯定不是()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等腰三角形答案：D3由a2,2a,4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是()A1B2C6D2答案：C点评：本题主要考查集合元素的性质当所描述的对象明确的时候就能构成集合，若元素不明确就不能构成集合，称为元素的确定性；同时，一个集合中的元素是互不相同的，称为元素的互异性；此外还要留意元素的无序性.例2用列举法表示下列集合：(1)小于10的全部自然数组成的集合；(2)方程x2x的全部实数根组成的集合；(3)由120以内的全部质数组成的集合活动探究：讲解例2的过程中，可以设计如下问题引导学生：针对例2(1)：自然数中是否含有0？小于10的自然数有哪些？如何用列举法表示小于10的全部自然数组成的集合？针对例2(2)：解一元二次方程的方法有哪些？分别是什么？方程x2x的解是什么？如何用列举法表示方程x2x的全部实数根组成的集合？针对例2(3)：如何推断一个数是否为质数(即质数的定义是什么)？120以内的质数有哪些？如何用列举法表示由120以内的全部质数组成的集合？在用列举法表示集合的过程中，应让学生先明确集合中的元素，再把元素写入“”内，并用逗号隔开解：(1)小于10的自然数有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，设小于10的全部自然数组成的集合为A，那么A0,1,2,3,4,5,6,7,8,9；(2)方程x2x的两个实根为x10，x21，设方程x2x的全部实数根组成的集合为B，那么B0,1；(3)120以内的质数有2,3,5,7,11,13,17,19，设由120以内的全部质数组成的集合为C，那么C2,3,5,7,11,13,17,19点评：本题主要考查了集合表示法中的列举法，通过本题的教学可以体会利用集合表示教学内容的严谨性和简洁性.变式训练1用列举法表示下列集合：(1)一年之中的四个季节组成的集合；(2)满意不等式112x19的素数组成的集合答案：(1)春季，夏季，秋季，冬季；(2)2,3,5,72已知集合AxN86xN，试用列举法表示集合A.解：由题意可知6x是8的正约数，当6x1时，x5；当6x2时，x4；当6x4时，x2；当6x8时，x2；而x0，x2,4,5，即A2,4,5点评：变式训练1主要对列举法进行了考查；变式训练2考查了两个方面的学问点，一是元素与集合的关系，二是列举法的应用，体现了对学问综合应用的实力.例3试分别用列举法和描述法表示下列集合：(1)方程x220的全部实数根组成的集合；(2)由大于10小于20的全部整数组成的集合活动探究：讲解例3的过程中，可以设计如下问题引导学生：针对例3(1)列举法方程x220的解是什么？如何用列举法表示方程x220的全部实数根组成的集合？针对例3(1)描述法描述法的定义是什么？所求集合中元素有几个共同特征？分别是什么？如何用描述法表示所求集合？针对例3(2)列举法大于10小于20的全部整数有哪些？由大于10小于20的全部整数组成的集合用列举法如何表示？针对例3(2)描述法所求集合中元素有几个共同特征？分别是什么？如何用描述法表示所求集合？解：(1)设方程x220的实数根为x，并且满意x220，因此，用描述法表示为AxR|x220；方程x220的两个实根为x12，x22，因此，用列举法表示为A2，2(2)设大于10小于20的整数为x，它满意条件xZ且10x20，因此，用描述法表示为BxZ|10x20；大于10小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17,18,19，因此，用列举法表示为11,12,13,14,15,16,17,18,19点评：例2和例3是通过“问题引导”的方式，使学生逐步靠近答案的过程在此过程中，既帮助学生理清了解答问题的基本思路，又使得列举法和描述法在实例中得到进一步的巩固.变式训练用适当的方法表示下列集合：(1)Welcome中的全部字母组成的集合；(2)由全部小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集合；(3)由全部非负偶数组成的集合；(4)直角坐标系内第三象限的点组成的集合；(5)不等式2x32的解集解：(1)列举法：W，e，l，c，o，m；(2)列举法：3,5,7,11,13,17,19；(3)描述法：x|x2n，nN；(4)描述法：(x，y)|x0，且y0；(5)描述法：x|x2.5.知能训练课后练习1,2.【补充练习】1考查下列对象能否构成集合：(1)闻名的数学家；(2)某校2022年在校的全部高个子同学；(3)不超过20的非负数；(4)方程x290在实数范围内的解；(5)直角坐标平面内第一象限的一些点；(6)3的近似值的全体答案：(1)(2)(5)(6)不能组成集合，(3)(4)能组成集合2用适当的符号填空：(1)0_N，5_N，16_N；(2)12_Q，_Q，e_RQ(e是个无理数)；(3)2323_x|xa6b，aQ，bQ答案：(1)(2)(3)3已知集合A是由0，m，m23m2三个元素组成的集合，且2A，求实数m的值解：2A，m2或m23m22.若m2，则m23m20，不符合集合中元素的互异性，舍去若m23m22，求得m0或3.m0不合题意，舍去m只能取3.4用适当方法表示下列集合：(1)函数yax2bxc(a0)的图象上全部点的集合；(2)一次函数yx3与y2x6的图象的交点组成的集合；(3)不等式x32的解集；(4)自然数中不大于10的质数集答案：(1)描述法：(x，y)|yax2bxc，xR，a0(2)描述法：(x，y)yx3y2x6(x，y)x1y4.列举法：(1,4)(3)描述法：x|x5(4)列举法：2,3,5,7拓展提升问题1：设集合Pxy，xy，xy，Qx2y2，x2y2,0，若PQ，求x，y的值及集合P，Q.活动探究：首先，应让学生思索两个数集相等的条件集合中的元素分别对应相等；然后，再引导学生探讨：本题中集合P，Q对应相等时，其元素可能出现的几种状况，并依据探讨的结果进行计算；最终，应当指导学生自主探究，应用集合中元素的性质检验所求结果是否符合要求解：PQ且0Q，0P.若xy0或xy0，则x2y20，从而Qx2y2,0,0，与集合中元素的互异性冲突，xy0且xy0；若xy0，则x0或y0.当y0时，Px，x,0，与集合中元素的互异性冲突，y0；当x0时，Py，y,0，Qy2，y2,0，由PQ得yy2，yy2，y0，或yy2，yy2，y0.由得y1，由得y1，x0，y1或x0，y1，此时PQ1，1,0点评：本题综合性地考查了两数集相等的条件、集合中元素的性质以及学生的运算实力和分类探讨实力问题2：已知集合Ax|ax23x20，若A中的元素至多只有一个，求a的取值范围活动探究：探讨关于x的方程ax23x20实数根的状况，从中确定a的取值范围，依题意，方程有一个实数根或两个相等的实数根或无实数根解：(1)a0时，原方程为3x20，x23，符合题意(2)a0时，方程ax23x20为一元二次方程由98a0，得a98.当a98时，方程ax23x20无实数根或有两个相等的实数根综合(1)(2)，知a0或a98.点评：“a0”这种状况最简单被忽视，只有在“a0”的条件下，方程ax23x20才是一元二次方程，才能用判别式解决问题问题3：设Sx|xm2n，m，nZ(1)若aZ，则a是否是集合S中的元素？(2)对S中的随意两个x1，x2，则x1x2，x1x2是否属于S?活动探究：针对问题(1)首先引导学生细致视察集合S中元素的共同特征与构成方式；然后，再引导学生思索题中所给的元素a能否表示成m2n的形式；假如能，m和n分别是多少，假如不能，请说明理由；最终小结，推断一个元素是否属于集合时，转化为推断这个元素是否满意集合元素的特征即可针对问题(2)首先引导学生将x1，x2分别表示出来，再引导大家依据正确的表示结果，推断x1x2，x1x2是否是集合S中的元素解：(1)a是集合S中的元素，aa2×0S.(2)不妨设x1m2n，x2p2q，m，n，p，qZ.则x1x2(m2n)(p2q)(mp)2(nq)，m，n，p，qZ.x1x2S；x1x2(m2n)(p2q)(mp2nq)2(mqnp)，m，n，p，qZ.x1x2S.综上，x1x2，x1x2都属于S.点评：本题考查集合的描述法以及元素与集合间的关系课堂小结本节学习了：(1)集合的含义；(2)集合中元素的性质；(3)元素与集合的关系；(4)集合的表示方法课后作业习题1.1A组3,4.设计感想本节教学设计是以数学课程标准的要求为指导，结合生活中的一些实例，重视引导学生主动思索，主动参加到教学中，体现了学生的主体地位同时结合高考的要求适当拓展了教材，使学生的发散性思维得到拓展，最大限度地挖掘了学生的学习潜力，真正做到了对教材的“活学活用”备课资料集合论的诞生集合论是德国闻名数学家康托尔于19世纪末创立的.17世纪，数学中出现了一门新的分支：微积分在之后的一二百年中这一崭新学科获得了飞速发展并结出了丰硕成果其推动速度之快使人来不及检查和巩固它的理论基础.19世纪初，很多迫切问题得到解决后，出现了一场重建数学基础的运动正是在这场运动中，康托尔起先探讨了前人从未碰过的实数点集，这是集合论探讨的开端到1874年康托尔起先一般地提出“集合”的概念他对集合所下的定义是：把若干确定的有区分的(不论是详细的或抽象的)事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日康托尔把无穷集这一词汇引入数学对无穷集的探讨使他打开了“无限”这一数学上的潘多拉盒子“我们把全体自然数组成的集合简称作自然数集，用字母N来表示”学过集合的全部人应当对这句话不会感到生疏但在接受这句话时我们根本无法想到当年康托尔如此做时是在进行一项更新无穷观念的工作在此以前数学家们只是把无限看作恒久在延长着的，一种改变着成长着的东西来说明无限恒久处在构造中，恒久完成不了，是潜在的，而不是实在的这种关于无穷的观念在数学上被称为潜无限.18世纪数学王子高斯就持这种观点由于潜无限思想在微积分的基础重建中已经获得了全面成功，康托尔的实无限思想在当时遭到一些数学家的指责与攻击是不足为怪的然而康托尔并未就此止步，他以前所未有的方式，接着正面探讨无穷他提出用一一对应准则来比较无穷集元素的个数他把元素间能建立一一对应的集合称为个数相同，用他自己的概念是等势由于一个无穷集可以与它的真子集建立一一对应关系也就是说无穷集可以与它的真子集等势，即具有相同的个数这与传统观念“全体大于部分”相冲突而康托尔认为这恰恰是无穷集的特征在此意义上，自然数集与正偶数集具有了相同的个数，他将其称为可数集又可简单地证明有理数集与自然数集等势，因而有理数集也是可数集后来当他又证明白实数集合也是可数集时，一个很自然的想法是无穷集是清一色的，都是可数集但出乎意料的是，他在1873年证明白实数集的势大于自然数集有人讪笑集合论是一种“疾病”，有人嘲讽超限数是“雾中之雾”，称“康托尔走进了超限数的地狱”然而集合论前后经验二十余年，最终获得了世界公认在1900年其次次国际数学家大会上，闻名数学家庞加莱就曾兴致勃勃地宣布“数学已被算术化了从康托尔提出集合论至今，时间已经过去了一百多年，在这一段时间里，数学又发生了极其巨大的改变，包括对上述经典集合论作出进一步发展的模糊集合论的出现等等而这一切都是与康托尔的开拓性工作分不开的因而当现在回头去看康托尔的贡献时，我们仍旧可以引用当时闻名数学家对他的集合论的评价作为我们的总结“它是对无限最深刻的洞察，它是数学天才的最优秀作品，是人类纯智力活动的最高成就之一康托尔的无穷集合论是过去两千五百年中对数学的最令人担心的独创性贡献”集合的含义与表示导学案 1.1.1集合的含义及其表示方法（1） 一、课前预习新知（一）、预习目标：初步理解集合的含义，了解属于关系的意义，知道常用数集及其记法（二）、预习内容：阅读教材填空：1、集合：一般地，把一些能够对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的（或）。构成集合的每个对象叫做这个集合的（或）。2、集合与元素的表示：集合通常用来表示，它们的元素通常用来表示。3、元素与集合的关系：假如a是集合A的元素，就说，记作，读作。假如a不是集合A的元素，就说，记作，读作。4.常用的数集及其记号：（1）自然数集：，记作。（2）正整数集：，记作。（3）整数集：，记作。（4）有理数集：，记作。（5）实数集：，记作。 二、课内探究新知（一）、学习目标1.通过实例了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系,能选择集合不同的语言形式描述详细的问题,提高语言转换和抽象概括实力,树立用集合语言表示数学内容的意识.2.了解集合元素的确定性、互异性、无序性,驾驭常用数集及其专用符号,并能够用其解决有关问题,提高学生分析问题和解决问题的实力,培育学生的应用意识.学习重点:集合的基本概念与表示方法.学习难点:选择恰当的方法表示一些简洁的集合.（二）、学习过程1、核对预习学案中的答案2、思索下列问题请我们班的全体女生起立！接下来问:“咱班的全部女生能不能构成一个集合啊？”下面请班上身高在1.75以上的男生起立！他们能不能构成一个集合啊？其实,生活中有许多东西能构成集合,比如新华字典里全部的汉字可以构成一个集合等等.那么,大家能不能再举出一些生活中的实际例子呢?请你给出集合的含义.假如用A表示高一(3)班全体学生组成的集合,用a表示高一(3)班的一位同学,b是高一(4)班的一位同学,那么a、b与集合A分别有什么关系?由此望见元素与集合之间有什么关系？世界上最高的山能不能构成一个集合？世界上的高山能不能构成一个集合？问题说明集合中的元素具有什么性质？由实数1、2、3、1组成的集合有几个元素？问题说明集合中的元素具有什么性质？由实数1、2、3组成的集合记为M,由实数3、1、2组成的集合记为N,这两个集合中的元素相同吗？这说明集合中的元素具有什么性质？由此类比实数相等,你发觉集合有什么结论？3、集合元素的三要素是、。4、例题例题1.下列各组对象不能组成集合的是()A.大于6的全部整数B.中学数学的全部难题C.被3除余2的全部整数D.函数y=图象上全部的点变式训练11.下列条件能形成集合的是()A.充分小的负数全体B.爱好足球的人C.中国的富翁D.某公司的全体员工例题2下列结论中，不正确的是()A.若aN，则-aNB.若aZ，则a2ZC.若aQ，则aQD.若aR，则变式训练2推断下面说法是否正确、正确的在()内填“”，错误的填“×”(1)全部在N中的元素都在N*中（）(2)全部在N中的元素都在中()(3)全部不在N*中的数都不在Z中（）(4)全部不在Q中的实数都在R中（）(5)由既在R中又在N*中的数组成的集合中肯定包含数0（）(6)不在N中的数不能使方程4x8成立（）5、课堂小结三、当堂检测1、你能否确定，你所在班级中，高个子同学构成的集合？并说明理由。你能否确定，你所在班级中，最高的3位同学构成的集合？2、（1）-3N；（2）3.14Q；（3）Q；（4）0；（5）Q；（6）R；（7）1N+；（8）R。 课后练习巩固新知 1.下列对象能否组成集合:(1)数组1、3、5、7;(2)到两定点距离的和等于两定点间距离的点;(3)满意3x-2x+3的全体实数;(4)全部直角三角形;(5)美国NBA的闻名篮球明星;(6)全部肯定值等于6的数;(7)全部肯定值小于3的整数;(8)中国男子足球队中技术很差的队员;(9)参与2022年奥运会的中国代表团成员.2.(口答)说出下面集合中的元素:(1)大于3小于11的偶数;(2)平方等于1的数;(3)15的正约数.3.用符号或填空:(1)1_N,0_N,-3_N,0.5_N,_N;(2)1_Z,0_Z,-3_Z,0.5_Z,_Z;(3)1_Q,0_Q,-3_Q,0.5_Q,_Q;(4)1_R,0_R,-3_R,0.5_R,_R.4.推断正误:(1)全部属于N的元素都属于N*.()(2)全部属于N的元素都属于Z.()(3)全部不属于N*的数都不属于Z.()(4)全部不属于Q的实数都属于R.()(5)不属于N的数不能使方程4x=8成立.() 1.1.1集合的含义及其表示方法（2） 课前预习学案一、预习目标：1、会用列举法表示简洁的结合。2、明确描述法表示集合的二、预习内容：阅读教材表示下列集合：(1)小于10的全部自然数组成的集合;(2)方程x2=x的全部实数根组成的集合;(3)由120以内的全部质数组成的集合 课内探究学案一、【学习目