探索勾股定理(第1课时).docx

探索勾股定理(第1课时)探究勾股定理(第2课时) 第一章勾股定理总课时：6课时备课时间：开学前第一周上课时间：第三周课题：1、1探究勾股定理（其次课时）教学目标1、学问与技能目标驾驭勾股定理及其验证，并能应用勾股定理解决一些实际问题.2、过程与方法在上节课对详细的直角三角形探究发觉了勾股定理的基础上，经验勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特别到一般的思想.3、情感看法与价值观在勾股定理的验证活动中，培育探究实力和合作精神；通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，增加爱国情感，并通过应用勾股定理解决实际问题，培育应用数学的意识. 教学重点：用面积法验证勾股定理，应用勾股定理解决简洁的实际问题.教学难点：验证勾股定理.教学打算：多媒体课件教学过程：第一环节：复习设疑，激趣引入（3分钟，问答式）内容：老师提出问题：（1）勾股定理的内容是什么？（2）上节课我们仅仅是通过测量和数格子，对详细的直角三角形探究发觉了勾股定理，对一般的直角三角形，勾股定理是否成立呢？这须要进一步验证，如何验证勾股定理呢？事实上，现在已经有几百种勾股定理的验证方法，这节课我们也将去验证勾股定理. 其次环节：小组活动，拼图验证.（15分钟，学生合作，全班沟通）内容：活动1：老师导入，小组拼图.老师：今日我们将探讨利用拼图的方法验证勾股定理，请你利用自己打算的四个全等的直角三角形，拼出一个以斜边为边长的正方形.活动2：层层设问，完成验证一.学生通过自主探究，小组探讨得到两个图形： 图2在此基础上老师提问：（1）如图1你能表示大正方形的面积吗？能用两种方法吗？（学生先独立思索，再4人小组沟通）；（2）你能由此得到勾股定理吗？为什么？（在学生回答的基础上板书(a+b)2=4×ab+c2.并得到）从而利用图1验证了勾股定理.活动3：自主探究，完成验证二.老师小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，联系整式运算的有关学问，从理论上验证了勾股定理，你还能利用图2验证勾股定理吗？第三环节：例题讲解初步应用（7分钟，学生合作探究）内容：例题：飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩子头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？（1）初步运用勾股定理解决实际问题，培育学生应用数学的意识和实力；（2）体会勾股定理的应用价值. 第四环节：拓展练习实力提升（10分钟，学生独立完成）内容：（1）教材P10练习题.（2）一个25m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时的AO距离为24m，假如梯子的顶端A沿墙下滑4m，那么梯子底端B也外移4m吗？（3）受台风麦莎影响，一棵高18m的大树断裂，树的顶部落在离树根底部6米处，这棵树折断后有多高？ 第五环节：回顾反思提炼升华（3分钟，师生问答）内容：老师提问：通过这节课的学习，你有什么样的收获？师生共同畅谈收获.第六环节：布置作业，课堂延长（2分钟，学生分别记录）内容：老师布置作业1习题121，2，32上网或查阅有关书籍，搜集至少1种勾股定理的其它证法，至少1个勾股定理的应用问题，一周后进行展评.A组：完成1、2B组：完成1C组：完成1板书设计：见电子屏幕教学反思： 探究勾股定理1 第一章勾股定理1探究勾股定理（一） 一、学生起点分析八年级学生已经具备肯定的视察、归纳、探究和推理的实力在小学，他们已学习了一些几何图形面积的计算方法（包括割补法），但运用面积法和割补思想解决问题的意识和实力还远远不够部分学生听说过“勾三股四弦五”，但并没有真正相识什么是“勾股定理”此外，学生普遍学习主动性较高，探究意识较强，课堂活动参加较主动，但合作沟通实力和探究实力有待加强 二、教学任务分析本节课是义务教化课程标准北师大版试验教科书八年级(上)第一章勾股定理第一节第1课时.勾股定理揭示了直角三角形三边之间的一种奇妙关系，将形与数亲密联系起来，在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用本节是直角三角形相关学问的持续，同时也是学生相识无理数的基础，充分体现了数学学问承前启后的紧密相关性、连续性此外，历史上勾股定理的发觉反映了人类杰出的才智，其中蕴涵着丰富的科学与人文价值 三、教学目标分析学问与技能目标用数格子（或割、补、拼等）的方法体验勾股定理的探究过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简洁的计算和实际运用数学思索让学生经验“视察猜想归纳验证”的数学思想，并体会数形结合和特别到一般的思想方法解决问题进一步发展学生的说理和简洁推理的意识及实力；进一步体会数学与现实生活的紧密联系情感与看法在探究勾股定理的过程中，体验获得胜利的欢乐；通过介绍勾股定理在中国古代的探讨，激发学生酷爱祖国，酷爱祖国悠久文化的思想，激励学生发奋学习四、教法学法1.教学方法：引导探究发觉法2.学习方法：自主探究与合作沟通相结合 五、教学过程设计本节课设计了五个教学环节：第一环节：创设情境，引入新课；其次环节：探究发觉勾股定理；第三环节：勾股定理的简洁应用；第四环节：课堂小结；第五环节：布置作业 第一环节：创设情境，引入新课内容：2022年世界数学家大会在我国北京召开，投影显示本届世界数学家大会的会标：会标中心的图案是一个与“勾股定理”有关的图形，数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号今日我们就来一同探究勾股定理（板书课题）意图：紧扣课题，自然引入，同时渗透爱国主义教化.效果：激发起学生的求知欲和爱国热忱. 其次环节：探究发觉勾股定理1探究活动一：内容：（1）投影显示如下地板砖示意图，让学生初步视察： （2）引导学生从面积角度视察图形： 问：你能发觉各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？学生通过视察，归纳发觉：结论1以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积意图：从视察实际生活中常见的地板砖入手，让学生感受到数学就在我们身边通过对特别情形的探究得到结论1，为探究活动二作铺垫.效果：1探究活动一让学生独立视察，自主探究，培育独立思索的习惯和实力；2通过探究发觉，让学生得到胜利体验，激发进一步探究的热忱和愿望.2探究活动二：内容：由结论1我们自然产生联想：一般的直角三角形是否也具有该性质呢？（1）视察下面两幅图： （2）填表：A的面积（单位面积）B的面积（单位面积）C的面积（单位面积）左图右图（3）你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴沟通（学生可能会做出多种方法，老师应赐予充分确定）学生的方法可能有：方法一：如图1，将正方形C分割为四个全等的直角三角形和一个小正方形，方法二：如图2，在正方形C外补四个全等的直角三角形，形成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，方法三：如图3，正方形C中除去中间5个小正方形外，将四周部分适当拼接可成为正方形，如图3中两块红色（或两块绿色）部分可拼成一个小正方形，按此拼法，（4）分析填表的数据，你发觉了什么？学生通过分析数据，归纳出：结论2以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积意图：探究活动二意在让学生通过视察、计算、探讨、归纳进一步发觉一般直角三角形的性质由于正方形C的面积计算是一个难点，为此设计了一个沟通环节.效果：学生通过充分探讨探究，在突破正方形C的面积计算这一难点后得出结论2.3议一议：内容：（1）你能用直角三角形的边长、来表示上图中正方形的面积吗？（2）你能发觉直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度2中发觉的规律对这个三角形仍旧成立吗？勾股定理（gou-gutheorem）：假如直角三角形两直角边长分别为、，斜边长为，那么即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方数学小史：勾股定理是我国最早发觉的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名（在西方称为毕达哥拉斯定理）意图：议一议意在让学生在结论2的基础上，进一步发觉直角三角形三边关系，得到勾股定理.效果：1让学生归纳表述结论，可培育学生的抽象概括实力及语言表达实力.2通过作图培育学生的动手实践实力. 第三环节：勾股定理的简洁应用内容：例如图所示，一棵大树在一次剧烈台风中于离地面10m处折断倒下，树顶落在离树根24m处.大树在折断之前高多少？（老师板演解题过程）练习：1、基础巩固练习：（口答）求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度： 2、生活中的应用：小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机.小明量了电视机的屏幕后，发觉屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得肯定是售货员搞错了你同意他的想法吗？你能说明这是为什么吗？意图：练习第1题是勾股定理的干脆运用，意在巩固基础学问效果：例题和练习第2题是实际应用问题，体现了数学来源于生活，又服务于生活，意在培育学生“用数学”的意识运用数学学问解决实际问题是数学教学的重要内容. 第四环节：课堂小结内容：老师提问：1这一节课我们一起学习了哪些学问和思想方法？2对这些内容你有什么体会？请与你的同伴沟通在学生自由发言的基础上，师生共同总结：1学问：勾股定理：假如直角三角形两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么.2方法：视察探究猜想验证归纳应用；面积法；“割、补、拼、接”法.3思想：特别一般特别；数形结合思想意图：激励学生主动大胆发言，可增进师生、生生之间的沟通、互动效果：通过畅谈收获和体会，意在培育学生口头表达和沟通的实力，增加不断反思总结的意识. 第五环节：布置作业内容：作业：1教科书习题1.1；2阅读读一读勾股世界；3视察下图，探究图中三角形的三边长是否满意. 意图：课后作业设计包括了三个层面：作业1是为了巩固基础学问而设计；作业2是为了扩展学生的学问面；作业3是为了拓广学问，进行课后探究而设计，通过此题可让学生进一步相识勾股定理的前提条件效果：学生进一步加强对本课学问的理解和驾驭 六、教学设计反思（1）设计理念依据“学生是学习的主体”这一理念，在探究勾股定理的整个过程中，本节课始终采纳学生自主探究和与同伴合作沟通相结合的方式进行主动学习老师只在学生遇到困难时，进行引导或组织学生通过探讨来突破难点.（2）突出重点、突破难点的策略为了让学生在学习过程中自我发觉勾股定理，本节课首先情景创设激发爱好，再通过几个探究活动引导学生从探究等腰直角三角形这一特别情形入手，自然过渡到探究一般直角三角形，学生通过视察图形，计算面积，分析数据，发觉直角三角形三边的关系，进而得到勾股定理（3）分层教学，拓展资源基础训练1为迎接新年的到来，同学们做了很多拉花布置教室，打算召开新年晚会，小刚搬来一架高为2.5米的木梯，打算把拉花挂到2.4米的墙上，则梯脚与墙角的距离应为米2如图，小张为测量校内内池塘A，B两点的距离，他在池塘边选定一点C，使ABC90°，并测得AC长26m，BC长24m，则A，B两点间的距离为m3如图，阴影部分是一个半圆，则阴影部分的面积为（不取近似值）4底边长为16cm，底边上的高为6cm的等腰三角形的腰长为cm5一艘轮船以16km/h的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以12km/h的速度向东南方向航行，它们离开港口半小时后相距km提高训练6一个长为10m为梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为8m，梯子的顶端下滑2m后，底端滑动m7如图所示的图形中，全部的四边形都是正方形，全部的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积的和是cm28已知RtABC中，C90°，若cm，cm，则RtABC的面积为（）（A）24cm2（B）36cm2（C）48cm2（D）60cm29如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作正方形，然后分别以三个正方形的中心为圆心，正方形边长的一半为半径作圆，记三个圆的面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是（）（A）（B）（C）（D）无法确定10暑假中，小明和同学们到某海岛去探宝旅游，根据如图所示的路途探宝.他们登陆后先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北走6km处往东一拐，仅走1km就找到了宝藏，则登陆点到埋宝藏点的直线距离为km学问拓展11如图，已知直角ABC的两直角边分别为6，8，分别以其三边为直径作半圆，求图中阴影部分的面积 12如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC6cm，BC8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它恰好落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长 意图：进行分层训练，既满意了不同学生的需求，同时也便于老师刚好地了解学生的状况.老师可以依据学生的状况选择上述题目进行练习，也可留作家庭作业.效果：通过分层练习，充分激发学生的学习热忱，老师应留给学生充分的时间思索,在独立思索的基础上，激励学生相互探讨，得出结果.（4）评价方式依据新课标的评价理念，在本课主要从以下几个方面对学生学习状况进行评价：首先，在探究勾股定理的过程中，对学生的参加热忱、情感看法、探究的主动性、探究的效果等学习状况进行评价其次，在“勾股定理的简洁应用”这一教学环节中，通过例题和练习，可有效地评价学生理解和驾驭学问的状况第三，在“课堂小结”这一环节中，老师可从学生的自由发言和沟通中，了解到各个教学目标的达成状况第四，通过课后作业的完成状况，进一步了解学生对勾股定理的理解和驾驭的程度老师依据这些评价结果做出相应的反馈和调整，调整、设计下节课或下阶段的教学内容，以达到尽可能好的教学效果 探究勾股定理 1探究勾股定理 1勾股定理的探究如图，在单位长度为1的方格纸中画一等腰直角三角形，然后向外作三个外正方形：视察图形可知：(1)各正方形的面积：正方形的面积S1为1，正方形的面积S2为1，正方形的面积S3为2；(2)各正方形面积之间的关系：S1S2S3；(3)由此得到等腰直角三角形两直角边与斜边之间的关系是：两直角边的平方和等于斜边的平方【例1】如图，RtABC在单位长度为1的正方形网格中，它的外围是以它的三条边为边长的正方形回答下列问题：(1)a2_，b2_，c2_；(2)a，b，c之间有什么关系？(用关系式表示)分析：a2等于以BC为边长的正方形的面积16，b2等于以AC为边长的正方形的面积9，c2等于以AB为边长的正方形的面积25.解：(1)16925(2)a2b2c2.释疑点网格中求正方形的面积求以AB为边长的正方形的面积时，可把它放到以正方形格点为顶点的正方形CDEF(如图)中去，它的面积等于正方形CDEF的面积减去它外围的4个小直角三角形的面积2勾股定理(1)勾股定理的有关概念：如图所示，我们用勾(a)和股(b)分别表示直角三角形的两条直角边，用弦(c)来表示斜边(2)勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方即：勾2股2弦2.(3)勾股定理的表示方法：在RtABC中，C90°，A，B，C的对边分别为a，b，c，则a2b2c2.辨误区应用勾股定理的几个误区(1)勾股定理的前提是直角三角形，对于非直角三角形的三边之间则不存在此种关系(2)利用勾股定理时，必需分清谁是直角边，谁是斜边尤其在记忆a2b2c2时，此关系式只有当c是斜边时才成立若b是斜边，则关系式是a2c2b2；若a是斜边，则关系式是b2c2a2.(3)勾股定理有很多变形，如c是斜边时，由a2b2c2，得a2c2b2，b2c2a2等娴熟驾驭这些变形对我们解决问题有很大的帮助【例21】在ABC中，C90°，(1)若a3，b4，则c_；(2)若a6，c10，则b_；(3)若ab34，c5，则a_，b_.解析：因为在ABC中，C90°，所以有关系式a2b2c2.在此关系式中，涉及到三个量，利用方程的思想，可“知二求一”(1)c2a2b2324252，则c5；(2)b2c2a21026282，则b8；(3)若ab34，可设a3x，b4x，于是(3x)2(4x)252.化简，得9x216x225，即25x225，x21，x1(x0)因此a3x3，b4x4.答案：(1)5(2)8(3)34谈重点用勾股定理求边长这是一组关于勾股定理应用的计算题，由勾股定理可知，在直角三角形中只要已知两边长，就可以求出直角三角形第三边的长【例22】有一飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000m处，过了20s，飞机距离这个男孩头顶5000m，那么飞机每时飞行多少千米？分析：依据题意，可以先画出图形如图，在ABC中，C90°，AC4000m，AB5000m.欲求飞机每时飞行多少千米，就须知道其20s时间里飞行的路程，即图中CB的长由于ABC的斜边AB5000m，AC4000m，这样BC就可以通过勾股定理得出，这里肯定要留意单位的换算解：如图，AB5000m5km，AC4000m4km，故由勾股定理得BC2AB2AC252429，即BC3km.因为飞机20s飞行3km，所以它每小时飞行的距离为360020×3540(km)3勾股定理的验证方法1：用四个相同的直角三角形(直角边为a，b，斜边为c)构成如图所示的正方形由“大正方形的面积小正方形的面积4个直角三角形的面积”，得(ab)2c24×12ab.化简可得：a2b2c2.方法2：用四个相同的直角三角形(直角边为a，b，斜边为c)构成如图所示的正方形由“大正方形的面积小正方形的面积4个直角三角形的面积”，得c2(ba)24×12ab.化简可得：a2b2c2.方法3：用两个完全相同的直角三角形(直角边为a，b，斜边为c)构成如图所示的梯形由“梯形面积等于三个直角三角形面积之和”可得：12(ab)(ab)2×12ab12c2.化简可得：a2b2c2.说明：勾股定理的验证还有许多方法 我明白了！在一些几何问题中，利用图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积就不会变更对啊!利用拼图来验证勾股定理,就是依据同一种图形(或两个全等的图形)面积的不同表示方法列出等式，从而推导出勾股定理. 【例3】在北京召开的第24届国际数学家大会的会标取材于我国古代数学家赵爽的勾股圆方图，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)假如大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，那么(ab)2的值为()A169B144C100D25解析：依据图形面积的和差关系，4个直角三角形的面积大正方形面积小正方形面积13112，可知4×12ab12，即2ab12，由勾股定理得a2b213，所以(ab)2a2b22ab131225.答案：D4利用勾股定理求长度利用勾股定理求长度，关键是找出直角三角形或构造直角三角形，把实际问题转化为直角三角形的问题常见的方法有：(1)利用高(作垂线)构造直角三角形；(2)利用已知直角构造直角三角形；(3)利用勾股定理构造直角三角形已知直角三角形的两边，求第三边，关键是弄清已知什么边，求什么边，用平方和还是用平方差【例4】如图，校内内有两棵树，相距12m，一棵树高13m，另一棵树高8m，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞多少米？图分析：分别用AB，CD表示两棵树，如图，得到梯形ABCD，过D作AB的垂线，垂足为E，可构造出RtAED，利用勾股定理解决解：如图，作DEAB于点E，图AB13m，CD8m，AE5m.由BC12m，得DE12m.在RtADE中，AD2AE2DE2，AD13m.小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞13m5.利用勾股定理求面积(1)利用勾股定理求面积，关键是留意转化思想的应用把所求的面积转化到已知的数量关系中去如求图中阴影部分的面积，可转化为中间正方形的面积，而中间正方形的面积等于右侧直角三角形短直角边的平方，借助于右侧的直角三角形，利用勾股定理解答即可(2)利用勾股定理求面积，还要留意整体思想的应用【例5】如图，小李打算建一个蔬菜大棚，棚宽4m，高3m，长20m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积分析：要求阳光透过的最大面积即塑料薄膜的面积，须要求出它的另一边AB的长是多少，可以借助勾股定理求出解：在RtABC中，由勾股定理，得AB2AC2BC2324252，即AB5(m)故矩形塑料薄膜的面积是5×20100(m2)点评：勾股定理是以直角三角形存在(或添加协助线可以构造的)为基础的；表示直角三角形边长的a，b，c并非是一成不变的，c并不肯定就是斜边的长6勾股定理与方程相结合的应用(1)在进行直角三角形的有关计算时，一般要运用勾股定理，在运用过程中，有时干脆运用，有时是通过勾股定理来列方程求解详细问题如下：已知直角三角形的两边，求第三边的长；说明线段的平方关系；推断三角形的形态或求角的大小；解决实际问题(2)利用勾股定理解决生活中的实际问题时，关键是利用转化的思想把实际问题转化为数学模型(直角三角形)，利用列方程或方程组来解决(3)勾股定理与代数中的平方差公式相结合，解决此类问题可以先依据勾股定理列出关于两直角边的数量关系式，再通过恒等变形奇妙求解【例6】如图，滑杆在机械槽内运动，ACB为直角，已知滑杆AB长2.5m，顶端A在AC上运动，量得滑杆下端B距C点的距离为1.5m，当端点B向右移动0.5m时，求滑杆顶端A下滑了多少米？分析：留意滑杆AB在滑动过程中长度保持不变，同时留意ACB为直角这一条件在RtABC中，应用勾股定理求得AC；在RtECD中，应用勾股定理求得EC，两者之差即为所求解：设AE的长为xm，由题意，得CE(ACx)m.ABDE2.5m，BC1.5m，C90°，AC2AB2BC22.521.5222.AC2m.BD0.5m，CDCBBD1.50.52m.在RtECD中，CE2DE2CD22.52(1.50.5)21.52.2x1.5m，x0.5m，即AE0.5m.滑杆顶端A下滑了0.5m 第17页 共17页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页