北师大版七年级数学下册《生活中的轴对称》知识点汇总.docx

北师大版七年级数学下册生活中的轴对称知识点汇总北师大版七年级下册数学第5章生活中的轴对称全章教案第五章生活中的轴对称教材简析本章的主要内容有轴对称和轴对称图形的概念以及它们的区分、联系；简洁的轴对称图形的性质；利用轴对称进行图案设计在对轴对称图象的初步相识的基础上，通过视察、相识、分析生活中的轴对称现象，探讨轴对称及其基本性质，进而动手操作利用轴对称进行图案设计本章是中考的必考内容，主要考查轴对称、轴对称图形的识别、线段垂直平分线的性质及等腰三角形的判定方法与性质，考查形式敏捷多样，主要有选择题、填空题和解答题，难度不大教学指导【本章重点】1轴对称图形的性质2角平分线、线段垂直平分线及等腰三角形的性质【本章难点】1利用线段、角、等腰三角形的轴对称性解决简洁的计算和书写推理的过程2轴对称与轴对称图形的区分与联系3利用轴对称的性质进行图案设计【本章思想方法】1体会分类探讨思想，如依据等腰三角形的特别性，需分类探讨已知角是顶角还是底角，已知边是腰还是底边等2体会转化思想，如在利用垂直平分线的性质定理求三角形的周长时，把三角形周长转化为已知线段的和课时安排1轴对称现象1课时2探究轴对称的性质1课时3简洁的轴对称图形3课时4利用轴对称进行设计1课时1轴对称现象教学目标一、基本目标1经验视察生活中的轴对称现象、探究轴对称现象共同特征的过程，进一步积累数学活动阅历和发展学生的空间观念2理解轴对称图形和成轴对称的图形的定义，能够识别这些图形并能指出它们的对称轴3观赏现实生活中的轴对称图形，体会轴对称在现实生活中的广泛应用和丰富的文化价值二、重难点目标【教学重点】通过对现实生活实例和典型图案的视察与分析，相识轴对称和轴对称图形，会找出简洁的轴对称图形的对称轴【教学难点】理解轴对称图形和轴对称的联系与区分教学过程环节1自学提纲，生成问题【5min阅读】阅读教材P115P117的内容，完成下面练习【3min反馈】1假如一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够相互重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.这时，我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称.2假如两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图形的对称轴.3下列图形中是轴对称图形的有(B)ABCD4两个大小不同的圆可以组成如图中的五种图形，它们照旧是轴对称图形，请找出每个图形的对称轴，并说一说它们的对称轴有什么特点解：如图所示：它们的对称轴均为经过两圆圆心的一条直线环节2合作探究，解决问题活动1小组探讨(师生互学)【例1】推断下列图形是否为轴对称图形？假如是，说出它有几条对称轴【互动探究】(引发学生思索)如何推断一个图形是否是轴对称图形？如何找轴对称图形的对称轴？【解答】(1)(3)(5)(6)(9)不是轴对称图形；(2)(4)(8)有1条对称轴；(7)有4条对称轴；(10)有2条对称轴【互动总结】(学生总结，老师点评)推断一个图形是否为轴对称图形，关键是看能否找到一条直线，沿这条直线折叠，使它两旁的部分能够相互重合【例2】图中有阴影的三角形与哪些三角形成轴对称？整个图形是轴对称图形吗？它共有几条对称轴？【互动探究】(引发学生思索)可用两个图形成轴对称的概念来解决【解答】图中有阴影的三角形与三角形1、3成轴对称整个图形是轴对称图形，它共有2条对称轴【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)两个图形成轴对称与轴对称图形的联系与区分：两个图形成轴对称轴对称图形联系操作方式相同：沿一条直线折叠沿直线折叠后，直线两旁的图形能完全重合可以相互转化：把成轴对称的两个图形看作一个整体，就可以得到一个轴对称图形；把轴对称图形两旁的部分分别看作两个图形，它们就是成轴对称的两个图形区分成轴对称是对于两个图形而言轴对称图形是对于一个图形而言两个图形分居一条直线两旁一个图形被直线分成两部分折叠后，一个图形与另一个图形完全重合折叠后，图形的一部分与另一部分相互重合(即重合到自身上)(2)轴对称图形是一个具有特别形态的图形，而两个图形成轴对称是指两个图形之间的形态与位置的关系活动2巩固练习(学生独学)1誉为全国第三大露天碑林的浯溪碑林，摩崖上铭刻着500多方古今名家碑文，其中悬针篆文具有较高的历史意义和探讨价值，下面四个悬针篆文文字明显不是轴对称图形的是(C)2如图，某英语单词由四个字母组成，且四个字母都关于直线l对称，则这个英语单词的汉语意思为书.3试画出下列正多边形的全部对称轴，并完成表格正多边形的边数34567对称轴的条数34567依据上表，猜想正n边形有n条对称轴解：如图：4视察图中的各种图形，说明哪些图形放在一起可形成轴对称解：依据轴对称图形的性质得出：(1)和(6)，(2)和(4)，(9)和(10)能形成轴对称图形活动3拓展延长(学生对学)【例3】轴对称在数学计算中有奇妙的应用如图1，现要计算长方形中六个数字的和，我们发觉，把长方形沿对称轴l1对折，重合的数字均为4，故六个数字的和为3412；若沿对称轴l2对折，则六个数字的和可表示为422212.受上面方法的启发，请快速计算正方形(图2)中各数字之和图1图2【互动探究】利用轴对称图形对称位置上的两数相加和相等来进行简便计算【解答】如图所示，一条对角线上的数都是5，若把这条对角线所在直线当作对称轴，把正方形对折一下，对称位置上的两数之和均为10，这样正方形中各数字之和为101055125.【互动总结】(学生总结，老师点评)数形结合是初中数学的一种重要思想方法，在求一组有特别规律的数字的和时，常常会用到对称的思想及其相关的学问环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)轴对称现象练习设计请完成本课时对应练习！2探究轴对称的性质教学目标一、基本目标1经验探究轴对称性质的过程，积累数学活动阅历，发展空间观念2理解轴对称的性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等二、重难点目标【教学重点】探究并驾驭轴对称的性质【教学难点】运用轴对称的性质作图及利用轴对称的性质解决一些实际问题教学过程环节1自学提纲，生成问题【5min阅读】阅读教材P118P119的内容，完成下面练习【3min反馈】1我们把沿对称轴折叠后能够重合的点叫做对应点，重合的线段叫做对应线段，重合的角叫做对应角.2轴对称的性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等.3画轴对称图形，首先应确定对称轴，然后找出对称点.4如图，五边形ABCDE是轴对称图形，线段AF所在直线为对称轴，找出图中全部相等的线段和相等的角解：相等的线段：ABAE，CBDE，CFDF；相等的角：BE，CD，BAFEAF，AFDAFC5把如图所示的图形补成以直线l为对称轴的轴对称图形解：如图所示：环节2合作探究，解决问题活动1小组探讨(师生互学)【例1】如图，ABC和AED关于直线l对称，若AB2cm，C95，则AE_，D_.【互动探究】(引发学生思索)因为ABC和AED关于直线l对称，AB2cm，C95，所以AEAB2cm，DC95.【答案】2cm95【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类问题应先依据条件确定对应点，从而确定对应线段、对应角【例2】画出ABC关于直线l的对称图形【互动探究】(引发学生思索)画已知图形关于直线对称的图形的关键是什么？【解答】如图所示：【互动总结】(学生总结，老师点评)画一个图形关于某条直线对称的图形时，先确定一些特别的点，然后作这些特别点的对称点，顺次连结即可得到活动2巩固练习(学生独学)1如图，ABC和ABC关于直线l对称，若A50，C30，则B的度数为(D)A30B50C90D1002如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，与对角线交于点Q，点P是直线MN上面一点，下列推断错误的是(D)AAQBQBAPBPCMAPMBPDANMNMB3如图，一种滑翔伞的形态是左右成轴对称的四边形ABCD，其中BAD150，B40，则BCD的度数是(A)A130B150C40D654如图，将已知四边形分别在格点图中补成关于已知直线l、m、n、p为对称轴的轴对称的图形解：如图所示：5如图，在长方形的台球桌面上，选择适当的角度打击白球，可以使白球经过两次反弹后将黑球干脆撞入袋中，此时12，34，并且2390，4590.假如黑球与洞口的连线和台球桌面边缘的夹角530，那么1应当等于多少度才能保证黑球精确入袋？请说明理由解：130才能保证黑球精确入袋理由如下：如图，因为530，所以7530.因为34，所以6730，所以2630，所以1230.即130才能保证黑球精确入袋活动3拓展延长(学生对学)【例3】如图，将长方形ABCD沿DE折叠，使点A落在BC上的点F处，若EFB60，则CFD()A20B30C40D50【互动探究】依据图形翻折变换，得ADE与FDE关于直线DE成轴对称，所以ADEFDE，所以EFDEAD90.因为EFB60，所以CFD90EFB30.【答案】B【互动总结】(学生总结，老师点评)折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形态和大小不变，对应边和对应角相等环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)练习设计请完成本课时对应练习！3简洁的轴对称图形第1课时等腰三角形教学目标一、基本目标1经验探究等腰三角形和等边三角形的性质的过程，驾驭等腰三角形的轴对称性、三线合一、两底角相等等性质2能依据等腰三角形的性质解决一些简洁的问题二、重难点目标【教学重点】等腰三角形、等边三角形的性质【教学难点】等腰三角形、等边三角形的性质及探究过程教学过程环节1自学提纲，生成问题【5min阅读】阅读教材P121P122的内容，完成下面练习【3min反馈】1等腰三角形的性质：(1)等腰三角形是轴对称图形；(2)等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称三线合一)，它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴；(3)等腰三角形的两个底角相等.2如图，在ABC中，ABAC(1)因为ADBC，所以BADCAD，BDCD；(2)因为AD是中线，所以ADBC，BADCAD；(3)因为AD是角平分线，所以ADBC，BDCD；(4)因为ABAC，所以BC.3完成教材P121想一想：解：(1)等边三角形有三条对称轴，内角的平分线(各边上的中线、各边上的高)所在的直线为其对称轴(2)等边三角形的特征：三条边都相等，三个内角都相等，且每个内角都是60；是轴对称图形；具有等腰三角形的一切特征环节2合作探究，解决问题活动1小组探讨(师生互学)【例1】如图，在ABC中，ABAC，点D在AC上，且BDBCAD，求ABC中各内角的度数【互动探究】(引发学生思索)设Ax，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得各角的度数【解答】因为ABAC，BDBCAD，所以ABCCBDC，AABD设Ax，则ABCCBDCABDA2x.在ABC中，因为AABCC180，所以x2x2x180，解得x36.所以在ABC中，A36，ABCC72.【互动总结】(学生总结，老师点评)当题中等量关系或和差关系较多时，可考虑列方程解答，设未知数时，一般设较小的角的度数为x.【例2】如图，已知ABAC，BDAC于点D求证：BAD2DBC【互动探究】(引发学生思索)由BAD2DBC，考虑作BAD的平分线，即作等腰三角形的高，再依据等角的余角相等证明结论【证明】过点A作AEBC于点E.因为ABAC，AEBC，所以BAD22.因为BDAC于点D，所以BDC90，所以2CCDBC90，所以DBC2，所以BAD2DBC【互动总结】(学生总结，老师点评)解决本题的关键：(1)从要证的等式中角之间的数量关系，考虑利用等腰三角形三线合一作协助线；(2)在有直角的平面几何图形中，可用等角的余角相等证明角相等活动2巩固练习(学生独学)1已知等腰三角形的一个角为80，则其顶角为(D)A20B50或80C10D20或802如图，在ABC中，ABAC，BC6cm，AD平分BAC，则BD3cm.3在ABC中，ABAC5，A60，则BC5.4在ABC中，ABAC，过点C作CNAB且CNAC，连结AN交BC于点M.求证：BMCM.证明：因为ABAC，CNAC，所以ABCN，NCAN.又因为ABCN，所以BAMN，所以BAMCAM，所以AM为BAC的平分线又因为ABAC，所以AM为ABC的边BC上的中线，所以BMCM.活动3拓展延长(学生对学)【例3】已知ABC是等腰三角形，且AB130，求A的度数【互动探究】要求A，需探讨A是等腰ABC的顶角还是底角，再结合三角形的内角和求解【解答】分状况探讨：当A为顶角时，则BC因为ABC180，AB130，所以BC50，所以A80.当C为顶角时，则AB因为AB130，所以A65.当B为顶角时，则AC因为ABC180，AB130，所以AC50.综上所述，A的度数可以为80，65或50.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题体现了分类探讨思想等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角本题易忽视探讨B是顶角还是底角环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)等腰三角形练习设计请完成本课时对应练习！第2课时线段的垂直平分线教学目标一、基本目标1探究并了解线段垂直平分线的有关性质，并利用垂直平分线的性质解决一些实际问题2会用尺规作图作一条线段的垂直平分线3经验探究简洁图形轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念二、重难点目标【教学重点】垂直平分线的有关性质【教学难点】用尺规作图作线段的垂直平分线，并利用垂直平分线的性质解决一些实际问题教学过程环节1自学提纲，生成问题【5min阅读】阅读教材P123P124的内容，完成下面练习【3min反馈】1线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴2线段的垂直平分线的定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线.3线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.4如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA5，则线段PB的长为(B)A6B5C4D3环节2合作探究，解决问题活动1小组探讨(师生互学)【例1】具体过程见教材P124例1.【例2】如图，在ABC中，ABAC20cm，DE垂直平分AB，垂足为点E，交AC于点D若DBC的周长为35cm，求BC的长【互动探究】(引发学生思索)DE垂直平分ABADBDDBC的周长为35cmBCADCD35cm求出BC【解答】因为DE垂直平分AB，所以ADBD因为DBC的周长为35cm，即BCBDCD35cm，所以BCADCD35cm.又因为ACADDC20cm，所以BC352015(cm)【互动总结】(学生总结，老师点评)利用线段垂直平分线的性质，可以实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长活动2巩固练习(学生独学)1如图，在ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E、D两点，CE4，ABC的周长是25，则ABD的周长为(C)A13B15C17D192如图，在ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC、AC于点D、E，B60，C25，则BAD为(B)A50B70C75D803如图，在ABC中，AC20cm，DE垂直平分AB，垂足为点E，交AC于点D若DBC的周长为35cm，则BC长为15cm.4如图，在RtABC中，B90，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E.已知BAE10，求C的度数解：因为B90，BAE10，所以BEA80.因为ED是AC的垂直平分线，所以AEEC，所以CEAC因为BACBC180，BACBAEEAC，所以10EAC90C180.所以CEAC40.活动3拓展延长(学生对学)【例3】如图，在四边形ABCD中，ADBC，E为CD的中点，连结AE、BE，BEAE，延长AE交BC的延长线于点F.求证：(1)FCAD；(2)ABBCAD【互动探究】(1)依据ADBC可知ADEECF，再依据E是CD的中点可证得ADEFCE，从而依据全等三角形的性质得到结论；(2)依据线段垂直平分线的性质推断出ABBF即可【证明】(1)因为ADBC，所以ADEECF.因为E是CD的中点，所以DEEC又因为AEDCEF，所以ADEFCE，所以FCAD(2)因为ADEFCE，所以AEEF，ADCF.因为BEAE，所以BE是线段AF的垂直平分线，所以ABBFBCCF.因为ADCF，所以ABBCAD【互动总结】(学生总结，老师点评)此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何学问线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，利用它可以证明线段相等【例4】如图，A、B、C三点表示三个工厂，要建立一个供水站，使它到这三个工厂的距离相等，求作供水站的位置【互动探究】依据线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等作图【解答】如图，连结AB、AC，分别作出AB、AC的垂直平分线，两线的交点P就是供水站的位置【互动总结】(学生总结，老师点评)此题主要考查了应用作图，关键是驾驭线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)线段的垂直平分线练习设计请完成本课时对应练习！第3课时角平分线的性质教学目标一、基本目标1经验探究角的轴对称性的过程，理解并驾驭角平分线的有关性质，并能运用角平分线的性质解决一些实际问题2驾驭作已知角的平分线的尺规作图方法二、重难点目标【教学重点】驾驭角平分线的性质，会用尺规作已知角的平分线【教学难点】角平分线的性质的应用教学过程环节1自学提纲，生成问题【5min阅读】阅读教材P125P126的内容，完成下面练习【3min反馈】1角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴2角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.3如图，已知BG是ABC的平分线，DEAB于点E，DFBC于点F，DE6，则DF的长为(D)A2B3C4D64如图，AD是ABC中BAC的平分线，DEAB于点E，AC7，DE4，则ADC的面积等于14.环节2合作探究，解决问题活动1小组探讨(师生互学)【例1】具体过程见教材P126例2.【例2】如图，在ABC中，ACB90，BE平分ABC，DEAB于点D，假如AC3cm，那么AE、AC、DE这三条线段之间有怎样的数量关系？请说明理由【互动探究】(引发学生思索)依据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DECE，从而可知AE、AC、DE之间的数量关系【解答】AEDEAC3cm.理由如下：因为ACB90，BE平分ABC，DEAB，所以DECE，所以ACAECE3cm.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键活动2巩固练习(学生独学)1视察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是(C)AOE是AOB的平分线BOCODC点C、D到OE的距离不相等DAOEBOE2如图，在RtACB中，C90，AD平分BAC，若BC16，BD10，则点D到AB的距离是(D)A9B8C7D63如图，ABCD，BP和CP分别平分ABC和DCB，AD过点P，且与AB垂直，垂足为点A，交CD于点D若AD8，则点P到BC的距离是4.4如图，已知BD是ABC的平分线，DEBC于点E，SABC36cm2，AB12cm，BC18cm，则DE的长为2.4cm.老师点拨：过点D作DFAB于点F.依据角平分线上的点到角的两边距离相等，得DEDF，再依据SABCSABDSBCD列方程求解即可5如图，BD是ABC的平分线，ABBC，点P在BD上，PMAD，PNCD，垂足分别为点M、N.试说明：PMPN.证明：因为BD是ABC的平分线，所以ABDCBD又因为ABBC，BDBD，所以ABDCBD(SAS)，所以ADBCDB，即DB是ADC的平分线因为PMAD，PNCD，所以PMPN.活动3拓展延长(学生对学)【例3】如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的马路，现要建一个货物中转站，要求它到三条马路的距离相等，你能说出可供选择的地址有几处吗？【互动探究】依据角平分线的性质，得货物中转站必需是三条相交直线所组成的三角形的内角或外角平分线的交点【解答】因为中转站要到三条马路的距离都相等，所以货物中转站必需是三条相交直线所组成的三角形的内角或外角平分线的交点而外角平分线有3个交点，内角平分线有1个交点，所以货物中转站可以供选择的地址有4个【互动总结】(学生总结，老师点评)本题主要考查了应用与设计作图，关键是驾驭角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)角的轴对称性练习设计请完成本课时对应练习！4利用轴对称进行设计教学目标一、基本目标1经验视察、分析、作图、折叠等过程，进一步理解轴对称及其性质，发展空间观念2能够利用轴对称进行一些图案设计3观赏中国民间剪纸艺术中的一些图案，体会轴对称在现实生活中的广泛应用和丰富的文化价值二、重难点目标【教学重点】驾驭有关轴对称图形画图的操作技能，并能利用图形之间的轴对称关系来设计轴对称图形【教学难点】驾驭有关画图的技能及设计轴对称图形教学过程环节1自学提纲，生成问题【5min阅读】阅读教材P128P129的内容，完成下面练习【3min反馈】1轴对称的性质：在轴对称图形中，(1)对应点所连的线段被对称轴垂直平分；(2)对应线段相等，对应角相等.2如图，用数学的眼光观赏这个蝴蝶图案，它的一种数学美体现在蝴蝶图案的(A)A轴对称性B蝴蝶效应C颜色艳丽D数形结合3下列有关平安提示的图案中，可以看作轴对称图形的是(C)4如图的四个图案都是轴对称图形，它们分别有着自己的含义，如图1可以代表针织品、联通；图2可以代表法律、公正；图3可以代表航海、坚实；图4可以代表邮政、友情等请你自己也来设计一个轴对称图形，并请说明你所设计的轴对称图形的含义解：答案不唯一，如图：环节2合作探究，解决问题活动1小组探讨(师生互学)【例1】在33的正方形网格图中，有格点ABC和DEF，且ABC和DEF关于某直线成轴对称，请在如图给出的图中画出4个这样的DEF.(每个33正方形网格图中限画一种，若两个图形中的对称轴是平行的，则视为一种)【互动探究】(引发学生思索)依据对称图形关于某直线对称，找出不同的对称轴，画出不同的图形即可【解答】如图，DEF即为所求(答案不唯一)【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查的是利用轴对称设计图案，熟知轴对称的性质是解答此题的关键解题时留意：若两个图形中的对称轴是平行的，则视为一种活动2巩固练习(学生独学)1下列古代的祥瑞图案中，不是轴对称图形的是(C)2如图是由9个小等边三角形构成的图形，其中已有两个被涂黑，若再涂黑一个，则整个被涂黑的图案构成轴对称图形的方法有3种3用四块如图1所示的是小正方形瓷砖拼成一个轴对称的大正方形图案(如图2)请在图3、图4中分别给出两种不同的拼法，且使拼出的图案为轴对称图形解：如图所示：活动3拓展延长(学生对学)【例2】视察设计：(1)视察如图1图4中阴影部分构成的图案，请写出这四个图案都具有的两个共同特征；(2)在图5的网格中，设计一个新的图案，使该图案同时具有你在(1)中所写出的两个共同特征(留意：新图案与如图1图4的图案不能重合)【互动探究】(1)利用已知图形的特征分别得出其共同的特征；(2)利用(1)所写的特征画出符合题意的图形即可【解答】(1)答案不唯一，如：所给的四个图案具有的共同特征可以是：都是轴对称图形；面积都等于四个小正方形的面积之和；都是直线型图案；图案中不含钝角等(2)答案不唯一，只要设计的图案同时具有所给出的两个共同特征均正确例如：同时具备特征、的部分图案如图：【互动总结】(学生总结，老师点评)此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确把握图形的特征是解题关键环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)练习设计请完成本课时对应练习！北师大版七年级数学下册概率初步学问点汇总 北师大版七年级数学下册概率初步学问点汇总 1.在肯定条件下肯定发生的事务，叫做必定事务；在肯定条件下肯定不会发生的事务，叫做不行能事务；必定事务和不行能事务统称为确定事务。有些事情事先无法确定它会不会发生，这些事情称为不确定事务，也称为随机事务。 2.在试验次数很大时，不确定事务发生的频率都会在一个常数旁边摇摆,这就是频率的稳定性。 一般地，把刻画事务A发生的可能性大小的数值，称为事务A发生的概率,记为P（A）. 3.留意：在大量重复试验中，我们常用不确定事务发生的频率来估计事务发生的概率 说明概率是个定值,而频率随不同试验次数而有所不同,是概率的近似值,二者不能简洁地等同. 4.事务A发生的概率记作P（A）则：0P(A)1。 必定事务发生的概率为1，不行能事务发生的概率为0，不确定事务发生的概率P(A)为0与1之间的一个常数。 5.等可能事务概率 （1）一次试验中，可能出现的结果有限多个. （2）一次试验中，各种结果发生的可能性相等. 设一个试验的全部可能的结果有n种，每次试验有且只有其中的一种结果出现，假如每种结果出现的可能性相同，那么我们就称这个试验的结果是等可能的。 一般地，假如一个试验有n种等可能的结果，事务A包含其中的m种结果，那么事务A发生的概率为：P(A)=m/n留意：0P(A)1 一共有n种结果，每种结果出现的可能性都相同，事务A出现的结果有m种，所以事务A发生的概率为P(A)=m/n 6.嬉戏是否公允： 嬉戏对双方公允是指双方获胜的可能性相同，即获胜概率相同。 养成良好的学习习惯，驾驭适当的学习方法是提高学习成果的最佳途径，将会一生受益，我们可以共同探讨。 北师大版七年级数学下册整式的乘除学问点汇总 北师大版七年级数学下册整式的乘除学问点汇总 一、整式的乘法 （一）单项式与单项式相乘 1、单项式乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。 2、系数相乘时，留意符号。相同字母的幂相乘时，底数不变，指数相加。 3、对于只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数一起写在积里，作为积的因式。 4、单项式乘以单项式的结果仍是单项式。 （二）单项式与多项式相乘 1、单项式与多项式乘法法则：单项式与多项式相乘，就是依据安排率用单项式去乘多项式中的每一项，再把所得的积相加。即：m(a+b+c)=ma+mb+mc。 2、运算时留意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。 3、积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。要合并同类项，从而得到最简结果。 （三）多项式与多项式相乘 1、多项式与多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。即：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb。 2、多项式与多项式相乘，必需做到不重不漏。相乘时，要按肯定的依次进行，即一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项。 3、多项式的每一项都包含它前面的符号，确定积中每一项的符号时“同号得正，异号得负”。 4、运算结果中有同类项的要合并同类项。 二、平方差公式 1、（a+b）(a-b)=a2-b2，即：两数和与这两数差的积，等于它们的平方之差。 2平方差公式可以逆用，即：a2-b2=（a+b）(a-b)。 3、平方差公式还能简化两数之积的运算，解这类题，首先看两个数能否转化成（a+b）(a-b)的形式，然后看a2与b2是否简单计算。 三、完全平方公式 1、(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。 2、驾驭理解完全平方公式的变形公式： （1）a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab=0.5【(a+b)2+(a-b)2】 （2）(a-b)2=(a+b)2-4ab2、4ab=(a+b)2-(a-b)2 3、完全平方式：我们把形如:a2+2ab+b2、a2-2ab+b2的二次三项式称作完全平方式。 4、当计算较大数的平方时，利用完全平方公式可以简化数的运算。 5、完全平方公式可以逆用，即：a2+2ab+b2=（a+b)2,a2-2ab+b2=（a-b)2 四、整式的除法 （一）单项式除以单项式的法则 1、单项式除以单项式的法则：一般地，单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 2、依据法则可知，单项式相除与单项式相乘计算方法类似，也是分成系数、相同字母与不相同字母三部分分别进行考虑。 （二）多项式除以单项式的法则 1、多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。用字母表示为：(a+b+c)/m=a/m+b/m+c/m 2、多项式除以单项式，留意多项式各项都包括前面的符号。 第21页 共21页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页