二次函数导学案(共31页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上26.1.1 二次函数导学案学习目标：1.了解二次函数的概念，知道二次函数的一般形式； 2.会列简单的二次函数解析式.复习巩固1. 正比例函数的一般形式是： ，一次函数的一般形式是 。反比例函数的一般形式是： 。2一元二次方程的一般形式是：。新课导学问题1：正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x ，表面积为 y ，则 y 关于x 的关系式为.问题2：多边形的对角线总数 d 与边数 n 有什么关系？n边形有个顶点，从一个顶点出发，连接与这点不相邻的各顶点，可作条对角线.因此，n边形的对角线总数此式表示了多边形的对角线总数d与边数n之间的关系，对于n的每一个值,d都有一个对应值，即d是n的函数.问题3: 某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？这种产品的原产量是20件，一年后的产量是_件，再经过一年后的产量是_件，即两年后的产量为： .定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(其中a,b,c是常数，a0)的函数叫做二次函数，其中x是自变量， 是二次项系数、是二次项，是一次项系数，是一次项，常数项.例如：的二次项系数、一次项系数和常数项分别是 。例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是,分别指出二次项系数,一次项系数,常数项。 (1) y=3(x1)²+1 (2) y=x+ (3) s=32t² (4) y=(x+3)²x² (5)y= x (6) v=8r² （注：先化简后判断）练一练；下列函数中，哪些是二次函数？ (1)y=3x-1 ( ) (2)y=3 （ ) (3)y= ( ) (4)y=2+2x+1( ) (5)y= +x ( ) (6)y=-x(1+x) ( )问题4：函数y=ax²+bx+c，当a、b、c满足什么条件时，(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？ (3)它是正比例函数？ 例2、 （1）m取什么值时，此函数是正比例函数？（2） m取什么值时，此函数是反比例函数？（3） m取什么值时，此函数是二次函数？例3: m取何值时， 函数y= (m+1)+(m-3)x+m 是二次函数？ 练一练：当m为何值时，函数是x的二次函数?问题4 二次函数的一般式y=ax²+bx+c（a0)与一元二次方程（a0）有什么联系和区别？随堂练习1.一个圆柱的高等于底面半径,写出它的表面积 s 与半径 r 之间的关系式.2. n支球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛,写出比赛的场次数 m与球队数 n 之间的关系式.3、下列函数中，（x是自变量），是二次函数的有 。A y=ax²+bx+c B C y= x² D y=2+ 4.函数 y=(m-n) x²+ mx+n 是二次函数的条件是( )A m,n是常数,且m0 B m,n是常数,且n0C m,n是常数,且mn D m,n为任何实数5一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园，和墙垂直的一边长为xm，菜园的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。当x=12m时，计算菜园的面积。知识小结定义中应该注意的几个问题:1.定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a0)的函数叫做二次函数.y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a0)的几种不同表示形式:(1)y=ax²(a0,b=0,c=0,).(2)y=ax²+c(a0,b=0,c0).(3)y=ax²+bx (a0,b0,c=0).2.定义的实质是：ax²+bx+c是整式,自变量x的最高次数是二次,自变量x的取值范围是全体实数.课后练习1.如果函数是二次函数,则k的值一定是 ，2.如果函数是二次函数,则k的值一定是_ _. 3.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m²)与矩形一边长a(m)之间的关系是什么？是函数关系吗？是哪一种函数？4已知二次函数yx2bx3当x2时，y3，求 这个二次函数解析式。26.1.2 二次函数的图象学习目标1.知道二次函数的图象是抛物线；2.会画y=ax2的图象，并能结合图象理解y=ax2的性质.复习巩固一次函数的图象是一条直线，反比例函数的图象是双曲线，二次函数的图象是什么形状呢？通常怎样画一个函数的图象？新课导学你会用描点法画二次函数y=的图象吗?观察y=的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值，完成下表：x-3-2-10123y= x²        二次函数y=的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.这条抛物线关于y轴对称,y轴就是它的对称轴. 对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点,顶点是抛物线的最低点或最高点.应用举例例1、在同一直角坐标系中，画出y= 的图象.y=2x2例2、函数 ,的图象与的图象相比，有什么共同点和不同点？ (1) 图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?(2) 图象的开口方向是向上还是向下？图象的开口大小有什么规律？(3)图象的顶点是什么？顶点是抛物线的最高点还是最低点？ 归纳：当a>0时，抛物线y=a的对称轴是y轴，顶点是原点，开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小.例3、画出函数 ,，的图象，进行相比，有什么共同点和不同点？归纳：知识小结：1.二次函数y=a的图象是什么？2.二次函数y=a的图象有什么性质？3.抛物线y=a与y=-a有怎样的关系？理一理抛物线yax2的性质图象（草图）开口方向顶点对称轴有最高或最低点最值a0当x_时，y有最_值，是_a0当x_时，y有最_值，是_2抛物线yx2与yx2关于_对称，因此，抛物线yax2与yax2关于_ 对称，开口大小_3当a0时，a越大，抛物线的开口越_；当a0时，a越大，抛物线的开口越_； 因此，a 越大，抛物线的开口越_，反之，a 越小，抛物线的开口越_随堂练习1.物体从某一高度落下，已知下落的高度h(m)和下落的时间t(s)的关系式是:h=4.9，h是t的 函数，它的图象的 顶点坐标是 .2.已知抛物线y=a经过点A（-2，-8）.（1）求此抛物线的函数解析式.（2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上.（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.3.（2010衢州中考）如图，在四边形ABCD中，BAD=ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（）4已知a0，b0，一次函数是yaxb，二次函数是ya，则下面图中，可以成立的是( ) 5函数的图象顶点是_，对称轴是_，开口向_，当x_时，有最_值是_6. 函数的图象顶点是_，对称轴是_，开口向_，当x_时，有最_值是_7. 二次函数的图象开口向下，则m_8. 二次函数ymx有最高点，则m_9. 二次函数y(k1)x2的图象如图所示，则k的取值范围为_10若二次函数的图象过点（1，2），则的值是_11如图，抛物线 开口从小到大排列是_；（只填序号）其中关于轴对称的两条抛物线是 和 。12点A（，b）是抛物线上的一点，则b= ；过点A作x轴的平行线交抛物线另一点B的坐标是 。13如图，A、B分别为上两点，且线段ABy轴于点（0,6），若AB=6，则该抛物线的表达式为 。14. 当m= 时，抛物线开口向下1.二次函数与直线交于点P（1，b）（1）求a、b的值；（2）写出二次函数的关系式，并指出x取何值时，该函数的y随x的增大而减小26.1.3 二次函数的图象（一）九年级下册 编号03【学习目标】1知道二次函数与的联系2.掌握二次函数的性质，并会应用；【学法指导】类比一次函数的平移和二次函数的性质学习，要构建一个知识体系。【学习过程】一、知识链接：直线可以看做是由直线 得到的。练：若一个一次函数的图象是由平移得到，并且过点（-1,3），求这个函数的解析式。解：由此你能推测二次函数与的图象之间又有何关系吗？猜想： 。x3210123二、自主学习1.填表：开口方向顶点对称轴有最高（低）点增减性（一）在同一直角坐标系中，画出二次函数，的图象2可以发现，把抛物线向_平移_个单位，就得到抛物线；把抛物线向_平移_个单位，就得到抛物线.3抛物线，的形状_开口大小相同。三、知识梳理：（一）抛物线特点：1.当时，开口向 ；当时，开口 ；2. 顶点坐标是 ；3. 对称轴是 。（二）抛物线与形状相同，位置不同，是由 平移得到的。（填上下或左右）二次函数图象的平移规律：上 下 。（三）的正负决定开口的 ；决定开口的 ，即不变，则抛物线的形状 。因为平移没有改变抛物线的开口方向和形状，所以平移前后的两条抛物线值 。三、跟踪练习：1.抛物线向上平移3个单位，就得到抛物线_；抛物线向下平移4个单位，就得到抛物线_2抛物线向上平移3个单位后的解析式为 ，它们的形状_，当= 时，有最 值是 。3由抛物线平移，且经过（1,7）点的抛物线的解析式是 ，是把原抛物线向 平移 个单位得到的。4.抛物线y=3x+0.5 可以看成由抛物线 向 平移 个单位得到的.5. 写出一个顶点坐标为（0，3），开口方向与抛物线的方向相反，形状相同的抛物线解析式_6. 抛物线关于x轴对称的抛物线解析式为_7.二次函数的经过点A（1，-1）、B（2，5）.求该函数的表达式；若点C(-2，),D（，7）也在函数的上，求、的值。26.1.3 二次函数的图象（二）九年级下册 编号04【学习目标】1会画二次函数的图象；2.知道二次函数与的联系3.掌握二次函数的性质，并会应用；【学习过程】一、知识链接：1.将二次函数的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为 。2.将抛物线的图象向下平移3个单位后的抛物线的解析式为 。二、自主学习画出二次函数，的图象；先列表：432101234归纳：（1）的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 。图象有最 点，即= 时，有最 值是 ；在对称轴的左侧，即 时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，即 时随的增大而 。 可以看作由向 平移 个单位形成的。（2）的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 ， 图象有最 点，即= 时，有最 值是 ；在对称轴的左侧，即 时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，即 时随的增大而 。可以看作由向 平移 个单位形成的。三、知识梳理（一）抛物线特点：1.当时，开口向 ；当时，开口 ；2. 顶点坐标是 ；3. 对称轴是直线 。（二）抛物线与形状相同，位置不同，是由 平移得到的。（填上下或左右）结合学案和课本第8页可知二次函数图象的平移规律：左 右 ，上 下 。（三）的正负决定开口的 ；决定开口的 ，即不变，则抛物线的形状 。因为平移没有改变抛物线的开口方向和形状，所以平移前后的两条抛物线值 。四、课堂训练1抛物线的开口_；顶点坐标为_；对称轴是直线_；当 时，随的增大而减小；当 时，随的增大而增大。2. 抛物线的开口_；顶点坐标为_；对称轴是直线_；当 时，随的增大而减小；当 时，随的增大而增大。3. 抛物线的开口_；顶点坐标为_；对称轴是_；4.抛物线向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为_5. 抛物线向左平移3个单位后，得到的抛物线的表达式为_6将抛物线向右平移1个单位后，得到的抛物线解析式为_7抛物线与y轴的交点坐标是_，与x轴的交点坐标为_8. 写出一个顶点是（5，0），形状、开口方向与抛物线都相同的二次函数解析式_26.1.3二次函数的图象（三）九年级下册 编号05【学习目标】1会画二次函数的顶点式的图象；2掌握二次函数的性质；【学习过程】一、知识链接：1.将二次函数的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为 。2.将抛物线的图象向左平移3个单位后的抛物线的解析式为 。二、自主学习在右图中做出的图象：观察：1. 抛物线开口向 ；顶点坐标是 ；对称轴是直线 。2. 抛物线和的形状 ，位置 。（填“相同”或“不同”）3. 抛物线是由如何平移得到的？答： 。三、合作交流平移前后的两条抛物线值变化吗？为什么？答： 。四、知识梳理结合上图和课本第9页例3归纳：（一）抛物线的特点：1.当时，开口向 ；当时，开口 ；2. 顶点坐标是 ；3. 对称轴是直线 。（二）抛物线与形状 ，位置不同，是由平移得到的。二次函数图象的平移规律：左 右 ，上 下 。（三）平移前后的两条抛物线值 。五、跟踪训练1.二次函数的图象可由的图象（ ）A.向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到 B.向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到C.向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到 D.向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到2.抛物线开口 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，当x 时，y有最 值为 。开口方向顶点对称轴3.填表：4.函数的图象可由函数的图象沿x轴向 平移 个单位，再沿y轴向 平移 个单位得到。5.若把函数的图象分别向下、向左移动2个单位，则得到的函数解析式为 。6. 顶点坐标为（2，3），开口方向和大小与抛物线相同的解析式为（ ）A B CD7.一条抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，对称轴和抛物线相同，且顶点纵坐标为0，求此抛物线的解析式.例2、要修建一个圆形喷水池，在池中心竖立安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线型水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水管应多长？跟踪练习1.（2010·甘肃中考）向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y=ax+bx+c（a0）.若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ）A第8秒 B第10秒 C第12秒 D第15秒2. 某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元.旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元.当一个旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？yxO随堂练习1（2010·台州中考）如图，点A，B的坐标分别为（1, 4）和（4, 4）,抛物线y=a(x-m)+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为-3，则点D的横坐标最大值为( ) A3 B1 C5 D8 2.（2010·遵义中考）如图，两条抛物线y=x+1、y= x-1 与分别经过点（-2，0），（2，0）且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为（ ）A8 B6 C10 D4x (米)y (米)3.（2011·株洲中考）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y= -(x-2)+4（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是( )A4米 B3米C2米D1米4.（2011·温州中考）已知二次函数的图象如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是( )A.有最小值0，有最大值3 B.有最小值-1，有最大值0C.有最小值-1，有最大值3 D.有最小值-1，无最大值5.（2010本溪中考）把抛物线y=-x先向上平移2个单位，再向右平移100个单位，那么所得抛物线与x轴的两个交点之间的距离是 _知识小结二次函数y=a(x-h)+k的图象和性质y=a(x-h)+k开口方向对称轴顶点坐标26.1.3二次函数的图象（四）九年级下册 编号06【学习目标】会用二次函数的性质解决问题；【学习过程】一、知识链接：1.抛物线开口向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，当x 时，y有最 值为 。当 时，随的增大而增大.2. 抛物线是由如何平移得到的？答： 。二、自主学习1.抛物线的顶点坐标为（2，-3），且经过点（3,2）求该函数的解析式？分析：如何设函数解析式？写出完整的解题过程。2.仔细阅读课本第10页例4：分析：由题意可知：池中心是 ，水管是 ，点 是喷头，线段 的长度是1米，线段 的长度是3米。由已知条件可设抛物线的解析式为 。抛物线的解析式中有一个待定系数，所以只需再确定 个点的坐标即可，这个点是 。求水管的长就是通过求点 的 坐标。二、跟踪练习：如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米. AO= 3米，现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系.(1) 直接写出点A及抛物线顶点P的坐标；(2) 求出这条抛物线的函数解析式；三、能力拓展1.知识准备如图抛物线与轴交于A,B两点，交轴于点D，抛物线的顶点为点C（1） 求ABD的面积。（2） 求ABC的面积。（3） 点P是抛物线上一动点，当ABP的面积为4时，求所有符合条件的点P的坐标。（4） 点P是抛物线上一动点，当ABP的面积为8时，求所有符合条件的点P的坐标。（5） 点P是抛物线上一动点，当ABP的面积为10时，求所有符合条件的点P的坐标。2.如图，在平面直角坐标系中，圆M经过原点O，且与轴、轴分别相交于两点（1）求出直线AB的函数解析式；（2）若有一抛物线的对称轴平行于轴且经过点M，顶点C在M上，开口向下，且经过点B，求此抛物线的函数解析式；（3）设（2）中的抛物线交轴于D、E两点，在抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由（2）26.1.4二次函数的图象九年级下册 编号07【学习目标】1.能通过配方把二次函数化成的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标。2熟记二次函数的顶点坐标公式；3会画二次函数一般式的图象【学习过程】一、知识链接：1.抛物线的顶点坐标是 ；对称轴是直线 ；当= 时有最 值是 ；当 时，随的增大而增大；当 时，随的增大而减小。2. 二次函数解析式中，很容易确定抛物线的顶点坐标为 ，所以这种形式被称作二次函数的顶点式。二、自主学习：（一）、问题：（1）你能直接说出函数 的图像的对称轴和顶点坐标吗？ （2）你有办法解决问题（1）吗？解：的顶点坐标是 ，对称轴是 .（3）像这样我们可以把一个一般形式的二次函数用 的方法转化为 式从而直接得到它的图像性质.（4）用配方法把下列二次函数化成顶点式： （5）归纳：二次函数的一般形式可以用配方法转化成顶点式： ，因此抛物线的顶点坐标是 ；对称轴是 ，（6）用顶点坐标和对称轴公式也可以直接求出抛物线的顶点坐标和对称轴，这种方法叫做公式法。 用公式法写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。 （二）、用描点法画出的图像.（1）顶点坐标为 ；（2）列表：顶点坐标填在 ；（列表时一般以对称轴为中心，对称取值） （3）描点，并连线： （4）观察：图象有最 点，即= 时，有最 值是 ； 时，随的增大而增大； 时随的增大而减小。该抛物线与轴交于点 。该抛物线与轴有 个交点.三、合作交流求出顶点的横坐标后，可以用哪些方法计算顶点的纵坐标？计算并比较。26.1.5用待定系数法求二次函数的解析式九年级下册 编号08【学习目标】1.能根据已知条件选择合适的二次函数解析式；2.会用待定系数法求二次函数的解析式。【学习过程】一、知识链接：已知抛物线的顶点坐标为（-1，2），且经过点（0,4）求该函数的解析式.解：二、自主学习1.一次函数经过点A(-1,2)和点B(2,5),求该一次函数的解析式。分析：要求出函数解析式，需求出的值，因为有两个待定系数，所以需要知道两个点的坐标，列出关于的二元一次方程组即可。解：2. 已知一个二次函数的图象过（1，5）、（）、（2，11）三点，求这个二次函数的解析式。分析：如何设函数解析式？顶点式还是一般式？答： ；所设解析式中有 个待定系数，它们分别是 ，所以一般需要 个点的坐标；请你写出完整的解题过程。解：三、知识梳理用待定系数法求二次函数的解析式通常用以下2种方法：设顶点式和一般式。1已知抛物线过三点，通常设函数解析式为 ； 2已知抛物线顶点坐标及其余一点，通常设函数解析式为 。四、跟踪练习：1已知二次函数的图象的顶点坐标为（2，3），且图像过点（3，1），求这个二次函数的解析式2.已知二次函数的图象过点（1，2），则的值为_3.一个二次函数的图象过（0，1）、（1,0）、（2，3）三点，求这个二次函数的解析式。4. 已知双曲线与抛物线交于A(2,3)、B(,2)、c(3, )三点. (1)求双曲线与抛物线的解析式; (2)在平面直角坐标系中描出点A、点B、点C,并求出ABC的面积,5.如图，直线交轴于点A，交轴于点B，过A,B两点的抛物线交轴于另一点C（3,0），（1）求该抛物线的解析式； 在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.26.2用函数观点看一元二次方程（一）九年级下册 编号09【学习目标】1、 体会二次函数与方程之间的联系。2、 理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，【学习过程】一、知识链接：1.直线与轴交于点 ，与轴交于点 。2.一元二次方程，当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根；二、自主学习1.解下列方程（1） （2） （3）2.观察二次函数的图象，写出它们与轴的交点坐标：函数图 象交点与轴交点坐标是 与轴交点坐标是 与轴交点坐标是 3.对比第1题各方程的解，你发现什么？ 三、知识梳理：一元二次方程的实数根就是对应的二次函数与轴交点的 .（即把代入）二次函数与一元二次方程的关系如下：（一元二次方程的实数根记为）二次函数与一元二次方程 与轴有 个交点 0，方程有 的实数根与轴有 个交点；这个交点是 点 0，方程有 实数根与轴有 个交点 0，方程 实数根.二次函数与轴交点坐标是 .四、跟踪练习1. 二次函数，当1时，_；当0时，_2抛物线与轴的交点坐标是 ，与轴的交点坐标是 ；3.二次函数，当_时，3（5）（4）4.如图，一元二次方程的解为 。5.如图，一元二次方程的解为 。6. 已知抛物线的顶点在x轴上，则_7已知抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是_26.2用函数观点看一元二次方程（二）九年级下册 编号10【学习目标】1. 能根据图象判断二次函数的符号；2.能根据图象判断一些特殊方程或不等式是否成立。【学习过程】一、知识链接：根据的