A全等三角形之手拉手模型、倍长中线-截长补短法35553(8页).doc
-A全等三角形之手拉手模型、倍长中线-截长补短法35553-第 7 页手拉手模型要点一：手拉手模型特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点 结论：（1）ABD AEC （2）+BOC=180° （3）OA平分BOC变形：例1.如图在直线的同一侧作两个等边三角形与，连结与，证明（1）(2) 与之间的夹角为(3) 平分变式精练1：如图两个等边三角形与，连结与，证明（1）（2） 与之间的夹角为（3） 与的交点设为,平分变式精练2：如图两个等边三角形与，连结与，证明（1）(2） 与之间的夹角为(3） 与的交点设为,平分例2：如图，两个正方形与,连结,二者相交于点问：（1）是否成立？（2） 是否与相等？（3） 与之间的夹角为多少度？（4） 是否平分？例3：如图两个等腰直角三角形与，连结,二者相交于点问：（1）是否成立？（2）是否与相等？（3）与之间的夹角为多少度？（4）是否平分？例4：两个等腰三角形与，其中,连结与，问：（1）是否成立？（2）是否与相等？（3）与之间的夹角为多少度？（4）是否平分？例5：如图，点A. B. C在同一条直线上，分别以AB、BC为边在直线AC的同侧作等边三角形ABD、BCE.连接AE、DC，AE与DC所在直线相交于F，连接FB.判断线段FB、FE与FC之间的数量关系，并证明你的结论。【练1】如图，三角形ABC和三角形CDE都是等边三角形，点A,E,D,同在一条直线上，且角EBD=62°，求角AEB的度数 倍长与中点有关的线段倍长中线类考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的：将题中已知和未知条件集中在一对三角形中、构造全等三角形、平移线段。【方法精讲】常用辅助线添加方法倍长中线ABC中 方式1： 延长AD到E， AD是BC边中线 使DE=AD， 连接BE 方式2：间接倍长 作CFAD于F， 延长MD到N， 作BEAD的延长线于E 使DN=MD，连接BE 连接CD【例1】 已知：中，是中线求证：【练1】在中，则边上的中线的长的取值范围是什么？【练2】如图所示，在的边上取两点、，使，连接、，求证：【练3】如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，D是AB上一点，F是AC延长线上的一点，且BD=CF，连结DF交BC于E求证：DE=EF(倍长中线、截长补短)【例2】 如图，已知在中，是边上的中线，是上一点，延长交于，求证：【练1】如图，已知在中，是边上的中线，是上一点，且，延长交于，求证：【练2】如图，在ABC中，AB>AC，E为BC边的中点，AD为BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G. 求证：BF=CG.【练3】如图，在中，交于点，点是中点，交的延长线于点，交于点，若，求证：为的角平分线【练4】如图所示，已知中，平分，、分别在、上，求证：【例3】已知为的中线，的平分线分别交于、交于求证：【练1】在中，是斜边的中点，、分别在边、上，满足若，则线段的长度为_【练2】如图，ABC中，AB=2AC，AD平分BC且ADAC，则BAC=_.【练3】在中，点为的中点，点、分别为、上的点，且（1）若，以线段、为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？（2）如果，求证【例4】如图，等腰直角与等腰直角，为中点，连接、.探究、的关系.（证角相等方法）【练1】如图，两个正方形和，点为的中点，连接交于点.探究与的数量关系和位置关系.（证角相等方法）【练2】如图，在中，是边的中线.求证：【例5】如图所示，在中，延长到，使，为的中点，连接、，求证【练1】已知中，为的延长线，且，为的边上的中线求证：【练2】如图,CB、CD分别是钝角AEC和锐角ABC中线,且AC=AB,ACB=ABC.求证CE=2CD.【例16】如图，两个正方形和，点为的中点，连接交于点.探究与的数量关系和位置关系.（倍长中线与手拉手模型综合应用）【练1】已知：如图，正方形和正方形，点是线段的中点. 试说明线段与数量关系和关系. 如图，若将上题中正方形绕点顺时针旋转度数（），其他条件不变，上述结论还正确吗？若正确，请你证明；若不正确，请说明理由.全等之截长补短：“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法(把长边截成两个短边或把两个短边放到一起；出现角平分线进行翻折；有具体角的度数说明要求角的度数，进而得到角相等，全等)【例10】 如图所示，中，AD平分交BC于D。求证：AB=AC+CD。【练1】如图所示，在中，的角平分线AD、CE相交于点O。求证：AE+CD=AC。【练2】已知中，、分别平分和，、交于点，试判断、的数量关系，并加以证明【练2】如图,在四边形ABCD中,ADBC，AE平分BAD交DC于点E，连接BE，且AEBE，求证：AB=AD+BC.【练3】已知：如图,在ABC中,A=90，AB=AC，BD是ABC的平分线。求证：BC=AB+AD.【练4】点M，N在等边三角形ABC的AB边上运动，BD=DC，BDC=120°，MDN=60°，求证MN=MB+NC【例11】已知如图所示，在ABC中,AD是角平分线,且AC=AB+BD,试说明B=2C（不只是边，倍角也适用）【练1】如图，在ABC中，ABAC，BDAC交AC于点D求证：DBCBAC【例12】如图所示，已知，P为BN上一点，且于D，AB+BC=2BD，求证：。【练1】如图，在四边形ABCD中，BCBA, ADCD，BD平分， 求证： 【例13】如图所示，在中，AB=AC，CE垂直于BD的延长线于E。求证：BD=2CE。【练1】已知：如图示，在RtABC中，A=90°，ABC=2C，BD是ABC的平分线求证：CD=2AD【练2】如图所示，在中，AD为的平分线，=30，于E点，求证：AC-AB=2BE。【练3】正方形ABCD,E是BC上一点,AEEF,交DCH的平分线于点F，求证AE=EF【练4】已知在ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE【例14】如图所示，已知/CD，的平分线恰好交于AD上一点E，求证：BC=AB+CD。【练1】如图，已知ADBC，PAB的平分线与CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D求证：AD+BC=AB【练2】如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AF平分DAE，求证：AE=EC+CD【练3】在ABC中，AD是BC边上的高，B=2C求证：CD=AB+BD【练4】如图所示,在三角形ABC中,ACB=90°,AC=BC,D为三角形ABC外一点,且ADBD,DEAC交AC的延长线于点E.试探求ED、AE和BC之间有何数量关系【练5】在四边形ABCD中，ABDC，E为BC边的中点，BAE=EAF，AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论【例15】如图在ABC中，ABAC，12，P为AD上任意一点，求证：AB-ACPB-PCD A 12 P B C【练1】已知为的中线，的平分线分别交于、交于 求证：如图，E是的平分线上一点，垂足为C、D。求证：（1）OC=OD； （2）DF=CF。 构造等边三角形1、如图,已知ABC中,AB=AC,D是CB延长线上一点,ADB=60，E是AD上一点，且有DE=DB.求证：AE=BE+BC.2、在等腰中，顶角，在边上取点，使，求.练习1、如图,在ABC中,ACB=90°,BE平分ABC,DEAB于D,如果AC=3cm,那么AE+DE等于A、2cmB、3cmC、4cmD、5cmABCDA'B'C'D'练习2、在ABC和A'B'C'中,AB=A'B',AC=A'C',点D,D'分别是BC,B'C'的中点,且AD=A'D',证眀：.（倍长中线）练习3、如图，在ABC中，BE是ABC的角平分线，ADBE，垂足为D，求证：2=1+C练习4、如图（1），已知ABC中，BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线，且B、C在A、E的异侧，BDAE于D，CEAE于E（1）试说明：BD=DE+CE（2）若直线AE绕A点旋转到图（2）位置时（BDCE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？请直接写出结果；（3）若直线AE绕A点旋转到图（3）位置时（BDCE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由如图所示，在RtABC中，ABAC，BAC90°，有过A的任一条直线AN，BDAN于D，CEAN于E，求证：DEBDCE（思路：截长补短法）如图,在ABC中,AB=AC,D是三角形外一点,且ABD=60,BD+DC=AB.求证：ACD=60.（截长补短）1、如图，等腰直角与等腰直角，为中点，连接、.探究、的关系.（辅助线的连法都一样）2、已知：如图，正方形和正方形，点是线段的中点. 试说明线段与数量关系和关系.（辅助线的连法都一样） 如图，若将上题中正方形绕点顺时针旋转度数（），其他条件不变，上述结论还正确吗？若正确，请你证明；若不正确，请说明理由.3、已知为的中线，的平分线分别交于、交于 求证：（辅助线的连法都一样）【阅读理解】已知：如图1，等腰直角三角形ABC中，B=90°，AD是角平分线，交BC边于点D求证：AC=AB+BD证明：如图1，在AC上截取AE=AB，连接DE，则由已知条件易知：RtADBRtADE（AAS）AED=B=90°，DE=DB又C=45°，DEC是等腰直角三角形DE=ECAC=AE+EC=AB+BD【解决问题】已知，如图2，等腰直角三角形ABC中，B=90°，AD是BAC的平分线，交BC边于点D，DEAC，垂足为E，若AB=2，则三角形DEC的周长为 【数学思考】：现将原题中的“AD是内角平分线，交BC边于点D”换成“AD是外角平分线，交BC边的延长线于点D如图3”，其他条件不变，请你猜想线段AC、AB、BD之间的数量关系，并证明你的猜想【类比猜想】任意三角形ABC，ABC=2C，AD是BAC的外角平分线，交CB边的延长线于点D，如图4，请你写出线段AC、AB、BD之间的数量关系如图,已知B=C=90°，M是BC的中点，DM平分ADC.（1）求证：AM平分DAB（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？（3）线段CD、AB、AD间有怎样的关系？直接写出结果。
