Minkowski不等式的证明(积分形式)(4页).doc

-Minkowski不等式的证明(积分形式)-第 4 页闵可夫斯基不等式 在数学中，闵可夫斯基不等式（Minkowski不等式）表明Lp空间是一个赋范向量空间。设是一个 度量空间，那么，我们有：如果，等号成立当且仅当，或者闵可夫斯基不等式是中的三角不等式。它可以用赫尔德不等式来证明。和赫尔德不等式一样，闵可夫斯基不等式取可数测度可以写成序列或向量的特殊形式：对所有实数 ，这里是的维数；改成复数同样成立，没有任何难处。值得指出的是，如果，则可以变为。积分形式的证明我们考虑的次幂：（用三角形不等式展开）用 赫尔德不等式（见下文） 继续运算可得（利用，因为）现在我们考虑这个不等式序列的首尾两项，除以最后那个表达式的后面那个因子，我们得到:因为，我们最终得出：这就是我们所要的结论。对于序列的情况，证明是完全类似的。赫尔德（Holder）不等式设是2n个正实数，则.证明 令那么利用Jensen不等式有成立即,得证。易知积分形式也成立