八年级数学上册知识点归纳：方程的解.docx

八年级数学上册知识点归纳：方程的解八年级数学上册学问点归纳：方程的定义 八年级数学上册学问点归纳：方程的定义 学问点1：一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的整式方程，叫做一元一次方程一元一次方程的标准形式是：axb=0(其中x是未知数，a、b是已知数，并且a0）一元一次方程的最简形式是：ax=b(a0)不定方程:一个代数方程，含有两个或两个以上未知数时，叫做不定方程，不定方程一般有无穷多解。代数方程:代数方程通常指整式方程。有时也泛指方程两边都是代数式的情形，因而也包括分式方程和无理方程。等式:用符号“=”来表示相等关系的式子，叫做等式在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边性质：两边同加同减一个数或等式仍为等式;两边同乘同除一个数或等式（除数不能是0）仍为等式。方程的根：只含有一个未知数的方程的解，也叫做方程的根。解一元一次方程的一般步骤：1去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数；2去括号：先去小括号，再去中括号，最终去大括号；3移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边；4合并同类项：把方程化成ax=b(a0）的形式；5系数化成1：在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解。冲突方程：一个方程，假如不存在使其左边与右边的值相等的未知数的值，这样的方程叫冲突方程学问点2：二元一次方程有两个未知数并且未知项的次数是1，这样的方程，叫做二元一次方程二元一次方程组：含有相同的两个未知数的两个一次方程所组成的方程组，叫做二元一次方程组解：使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解二元一次方程组的两种解法：（1）代入消元法，简称代入法把方程组里的任何一个未知数化成用另一个未知数的代数式表示把这个代数式代入另一个方程里，消去一个未知数，得到一个一元一次方程解这个一元一次方程，求得一个未知数的值，然后再求另一个未知数的值把求得两个未知数的值写在一起，就是原方程组的解2）加减消元法，简称加减法把一个方程或两个方程的两边都乘以适当的数，使同一个未知数的系数的肯定值相等把所得的两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程解这个一元一次方程，求得一个未知数的值，然后再求另一个未知数的值把求得的两个未知数的值写在一起，就是原方程组的解二元一次方程组解的状况：学问点3：一元一次不等式（组）：不等号有、或等等用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的不等式，叫做一元一次不等式如axb或axb(a0)几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组不等式基本性质：(1)不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变(2)不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变(3)不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向变更一元一次不等式的解法步骤：(1)去分母(2)去括号(3)移项(4)合并同类项(5)系数化成1(假如乘数和除数是负数，要把不等号变更方向)一元一次不等式组的解法步骤：(1)分别求出不等式组中全部一元一次不等式的解集（2)在数轴上表示各个不等式的解集(3)写出不等式组的解集一元一次不等式组的四种状况：学问点4一元二次方程基本概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程一元二次方程3x2+5x-2=0的常数项是-2（随意）.一次项系数为5（随意），二次项是3（随意不为0）.一元二次方程的求根公式：一元二次方程的解法：1解一元二次方程的干脆开平方法假如一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，另一边是一个非负数，则依据平方根的概念可以用干脆开平方法来解2解一元二次方程的配方法先把方程的常数项移到方程的右边，再把左边配成一个完全平方式，假如右边是非负数，可通过干脆开平方法来求方程的解，也就是先配方再求解3解一元二次方程的公式法利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法4解一元二次方程的因式分解法在一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式时，可先将一边分解成两个一次因式的积，再分别令每个因式为零，通过解一元一次方程，可求得原方程的解 一、选择题（每小题3分，共30分）1、已知方程x2-6x+q=0可以配方成（x-p）2=7的形式，那么x2-6x+q=2可以配方成下列的（）A、（x-p）2=5B、（x-p）2=9C、（x-p+2）2=9D、（x-p+2）2=52、已知m是方程x2-x-1=0的一个根，则代数式m2-m的值等于（）A、-1B、0C、1D、23、若、是方程x2+2x-2022=0的两个实数根，则2+3+的值为（）A、2022B、2022C、-2022D、40104、关于x的方程kx2+3x-1=0有实数根，则k的取值范围是（）A、k-B、k-且k0C、k-D、k-且k05、关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程是（）A、x2+3x-2=0B、x2-3x+2=0C、x2-2x+3=0D、x2+3x+2=06、已知关于x的方程x2-（2k-1）x+k2=0有两个不相等的实根，那么k的最大整数值是（）A、-2B、-1C、0D、17、某城2022年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2022年底增加到363公顷，设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意所列方程正确的是（）A、300（1+x）=363B、300（1+x）2=363C、300（1+2x）=363D、363（1-x）2=3008、甲、乙两个同学分别解一道一元二次方程，甲因把一次项系数看错了，而解得方程两根为-3和5，乙把常数项看错了，解得两根为2+和2-，则原方程是（）A、x2+4x-15=0B、x2-4x+15=0C、x2+4x+15=0D、x2-4x-15=09、若方程x2+mx+1=0和方程x2-x-m=0有一个相同的实数根，则m的值为（）A、2B、0C、-1D、10、已知直角三角形x、y两边的长满意|x2-4|+=0，则第三边长为（）A、2或B、或2C、或2D、2或二、填空题（每小题3分，共30分）11、若关于x的方程2x2-3x+c=0的一个根是1，则另一个根是.12、一元二次方程x2-3x-2=0的解是.13、假如（2a+2b+1）（2a+2b-1）=63，那么a+b的值是.14、等腰ABC中，BC=8，AB、AC的长是关于x的方程x2-10x+m=0的两根，则m的值是.15、2022年某市人均GDP约为2022年的1.2倍，假如该市每年的人均GDP增长率相同，那么增长率为.16、科学探讨表明，当人的下肢长与身高之比为0.618时，看起来最美，某成年女士身高为153cm，下肢长为92cm，该女士穿的高根鞋鞋根的最佳高度约为cm.（精确到0.1cm）17、一口井直径为2m，用一根竹竿直深化井底，竹竿高出井口0.5m，假如把竹竿斜深化井口，竹竿刚好与井口平，则井深为m，竹竿长为m.18、直角三角形的周长为2+，斜边上的中线为1，则此直角三角形的面积为.19、假如方程3x2-ax+a-3=0只有一个正根，则的值是.20、已知方程x2+3x+1=0的两个根为、，则+的值为.三、解答题（共60分）21、解方程（每小题3分，共12分）（1）（x-5）2=16（2）x2-4x+1=0（3）x3-2x2-3x=0（4）x2+5x+3=022、（8分）已知：x1、x2是关于x的方程x2+（2a-1）x+a2=0的两个实数根，且（x1+2）（x2+2）=11，求a的值.23、（8分）已知：关于x的方程x2-2（m+1）x+m2=0（1）当m取何值时，方程有两个实数根？（2）为m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求这两个根.24、（8分）已知一元二次方程x2-4x+k=0有两个不相等的实数根（1）求k的取值范围（2）假如k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2-4x+k=0与x2+mx-1=0有一个相同的根，求此时m的值.25、（8分）已知a、b、c分别是ABC中A、B、C所对的边，且关于x的方程（c-b）x2+2（b-a）x+（a-b）=0有两个相等的实数根，试推断ABC的形态.26、（8分）某工程队在我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程，原安排每天拆迁1250m2，因为打算工作不足，第一天少拆迁了20%，从其次天起先，该工程队加快了拆迁速度，第三天拆迁了1440m2求：（1）该工程队其次天第三天每天的拆迁面积比前一天增长的百分数相同，求这个百分数.27、（分）某水果批发商场经销一种高档水果，假如每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发觉，在进货价不变的状况下，若每千克涨价1元，日销售量将削减20千克（1）现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利最多？一元二次方程单元测试题参考答案一、选择题15BCBCB610CBDAD提示：3、是方程x2+2x-2022=0的根，2+2=2022又+=-22+3+=2022-2=2022二、填空题1115±425或1610%16206.7，43提示：14、AB、AC的长是关于x的方程x2-10x+m=0的两根在等腰ABC中若BC=8，则AB=AC=5，m=25若AB、AC其中之一为8，另一边为2，则m=1620、=32-4×1×1=50又+=-30，=10，0，0三、解答题21、（1）x=9或1（2）x=2±（3）x=0或3或-1（4）22、解：依题意有：x1+x2=1-2ax1x2=a2又（x1+2）（x2+2）=11x1x2+2（x1+x2）+4=11a2+2（1-2a）-7=0a2-4a-5=0a=5或-1又=（2a-1）2-4a2=1-4a0aa=5不合题意，舍去，a=-123、解：（1）当0时，方程有两个实数根-2（m+1）2-4m2=8m+40m-（2）取m=0时，原方程可化为x2-2x=0，解之得x1=0，x2=224、解：（1）一元二次方程x2-4x+k=0有两个不相等的实数根=16-4k0k4（2）当k=3时，解x2-4x+3=0，得x1=3，x2=1当x=3时，m=-，当x=1时，m=025、解：由于方程为一元二次方程，所以c-b0，即bc又原方程有两个相等的实数根，所以应有=0即4（b-a）2-4（c-b）（a-b）=0，（a-b）（a-c）=0，所以a=b或a=c所以是ABC等腰三角形26、解：（1）1250（1-20%）=1000（m2）所以，该工程队第一天拆迁的面积为1000m2（2）设该工程队其次天，第三天每天的拆迁面积比前一天增长的百分数是x，则1000（1+x）2=1440，解得x1=0.2=20%，x2=-2.2，（舍去），所以，该工程队其次天、第三天每天的拆迁面积比前一天增长的百分数是20%.27、解：（1）设每千克应涨价x元，则（10+x）（500-20x）=6000解得x=5或x=10，为了使顾客得到实惠，所以x=5（2）设涨价x元时总利润为y，则y=（10+x）（500-20x）=-20x2+300x+5000=-20（x-7.5）2+6125当x=7.5时，取得最大值，最大值为6125答：（1）要保证每天盈利6000元，同时又使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元.（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元，能使商场获利最多. 八年级数学上册学问点归纳：分式方程的应用 八年级数学上册学问点归纳：分式方程的应用 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程叫做分式方程。分式的混合运算:分式的混合运算关键是弄清运算依次，与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最终算加减，有括号要先算括号里面的，计算结果要化为整式或最简分式。任何一个不等于零的数的零次幂等于1，即a0=1(a不等于0);当n为正整数时，a-n=1/(an)(a不等于0)留意：当幂指数为负整数时，最终的计算结果要把幂指数化为正整数分式的加减法则：法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。用式子表示为：b(a)±b(c)=b(a±c)法则：异分母的分式相加减，先通分，转化为同分母分式，然后再加减。用式子表示为：b(a)±d(c)=bd(ad)±bd(bc)=bd(ad±bc)留意：(1)“把分子相加减”是把各个分子的整体相加减，即各个分子应先加上括号后再加减，分子是单项式时括号可以省略;(2)异分母分式相加减，“先通分”是关键，最简公分母确定后再通分，计算时要留意分式中符号的处理，特殊是分子相减，要留意分子的整体性;(3)运算时依次合理、步骤清楚;(4)运算结果必需化成最简分式或整式。 1、某车间加工1200个零件，采纳新工艺，工效是原来的1.5倍，这样加工同样多的零件就少用10小时，采纳新工艺前后每时分别加工多少个零件？2、某化肥厂安排在规定日期内生产化肥120吨，由于采纳了新技术，每天多生产化肥3吨，实际生产180吨与原安排生产120吨的时间相等，求安排每天生产多少吨化肥？3、A做90个零件所须要的时间和B做120个零件所用的时间相同，又知每小时A、B两人共做35个机器零件。求A、B每小时各做多少个零件。4、陈明同学打算在课外活动时间组织部分同学参与电脑网络培训，按原定的人数估计共需费用300元，后因人数增加到原定人数的2倍，享受实惠，一共只需480元，参与活动的每个同学平均分摊的费用比原安排少4元，求原定的人数是多少？5、甲、乙两个工程队共同完成一项工程,乙队先单独做1天,再由两队合作2天就完成全部工程,已知甲队与乙队完成此工作时间比是2:3,求甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天?6、市政工程公司修建6000米长的河岸，修了30天后，从有关部门获知汛期将提前，公司确定增派施工人员以加快速度，工效比原来提高了20%，工程恰好比原安排提前5天完成。求该公司完成这项工程实际的天数。8、已知轮船在静水中每小时行20千米，假如此船在某江中顺流航行72千米所用的时间与逆流航行48千米所用的时间相同，那么此江水每小时的流速是多少千米?9、A，B两地相距135千米，有大，小两辆汽车同时从A地开往B地，大汽车比小汽车晚到4小时30分钟.已知大、小汽车速度的比为2：5，求两辆汽车的速度.12、A、B两地距80千米，一公共汽车从A到B，2小时后又从A同方向开出一辆小汽车，小汽车车速是公共汽车的3倍，结果小汽车比公共汽车早40分钟到达B地，求两车速度。13、某市为了进一步缓解交通拥堵现象，确定修建一条从市中心到飞机场的轻轨铁路，为使工程能提前3个月完成，须要将原定的工作效率提高12%。问原安排这项工程用多少个月。14、.某空调厂的装配车间，原安排用若干天组装150台空调，厂家为了使空调提前上市，确定每天多组装3台，这样提前3天超额完成了任务，总共比原安排多组装6台，问原安排每天组装多少台？116、某人在马路上匀速行走，环路公共汽车每隔4分钟就有一辆与之迎面相遇；每隔6分钟就有一辆从后越过此人；汽车站每隔几分钟双向各发一辆车？17、甲乙两人分别从A、B两地同时动身，相向而行。甲走8米后两人第一次相遇，然后甲接着向前到B马上返回，乙接着向前走到A马上返回，两人在距离B地6米处其次次相遇，求A、B两地的距离。18、重量相同的两种商品，分别价值900元和1500元,已知第一种商品每千克的价值比其次种少300元,分别求这两种商品每千克的价值。20、从甲地到乙地的路程是15千米，A骑自行车从甲地到乙地先走，40分钟后，B骑自行车从甲地动身，结果同时到达。已知B的速度是A的速度的3倍，求两车的速度。21、一台甲型拖拉机4天耕完一块地的一半，加一台乙型拖拉机，两台合耕，1天耕完这块地的另一半。乙型拖拉机单独耕这块地须要几天？22、A做90个零件所须要的时间和B做120个零件所用的时间相同，又知每小时A、B两人共做35个机器零件。求A、B每小时各做多少个零件。23、甲有25元，这些钱是甲、乙两人总数的20%。乙有多少钱？24、某甲有钱400元，某乙有钱150元，若乙将一部分钱给甲，此时乙的钱是甲的钱的10%，问乙应把多少钱给甲？25、我部队到某桥头狙击敌人，动身时敌人离桥头24千米，我部队离桥头30千米，我部队急行军速度是敌人的1.5倍，结果比敌人提前48分钟到达，求我部队的速度。26、轮船顺水航行80千米所须要的时间和逆水航行60千米所用的时间相同。已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度。27、某中学到离学校15千米的某地旅游，先遣队和大队同时动身，行进速度是大队的1.2倍，以便提前半小时到达目的地做打算工作。求先遣队和大队的速度各是多少？28、某人现在平均每天比原安排多加工33个零件，已知现在加工3300个零件所需的时间和原安排加工2310个零件的时间相同，问现在平均每天加工多少个零件。29、我军某部由驻地到距离30千米的地方去执行任务，由于状况发生了改变，急行军速度必需是原安排的1.5倍，才能按要求提前2小时到达，求急行军的速度。32、某项紧急工程，由于乙没有到达，只好由甲先开工，6小时后完成一半，乙到来后俩人同时进行，1小时完成了后一半，假如设乙单独x小时可以完成后一半任务，那么x应满意的方程是什么？33、走完全长3000米的道路，假如速度增加25%，可提前30分到达，那么速度应达到多少？34、对甲乙两班学生进行体育达标检查，结果甲班有48人合格，乙班有45人合格，甲班的合格率比乙班高5%，求甲班的合格率？35、某种商品价格，每千克上涨1/3，上回用了15元，而这次则是30元，已知这次比上回多买5千克，求这次的价格。36、小明和同学一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书，科普书的价格比文学书的价格高出一半，因此他们买的文学书比科普书多一本，这种科普和文学书的价格各是多少？37、甲种原料和乙种原料的单价比是2：3，将价值2000元的甲种原料有价值1000元的乙混合后，单价为9元，求甲的单价。38、某商品每件售价15元，可获利25%，求这种商品的成本价。39、某商店甲种糖果的单价为每千克20元，乙种糖果的单价为每千克16元，为了促销，现将10千克的乙种糖果和一包甲种糖果混合后销售，假如将混合后的糖果单价定为每千克17.5元，那么混合销售与分开销售的销售额相同，这包甲糖果有多少千克？40、两地相距360千米，回来时车速比去时提高了50%，因而回来比去时途中时间缩短了2小时，求去时的速度 八年级数学上册学问点归纳：分式的加减 八年级数学上册学问点归纳：分式的加减 一、约分与通分：1约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分；分式约分：将分子、分母中的公因式约去，叫做分式的约分。分式约分的依据是分式的基本性质，即分式的分子、分母都除以同一个不等于零的整式，分式的值不变。约分的方法和步骤包括：（1）当分子、分母是单项式时，公因式是相同因式的最低次幂与系数的最大公约数的积；（2）当分子、分母是多项式时，应先将多项式分解因式，约去公因式。2通分：依据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通。分式通分：将几个异分母的分式化成同分母的分式，这种变形叫分式的通分。（1）当几个分式的分母是单项式时，各分式的最简公分母是系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂的全部不同字母的积；（2）假如各分母都是多项式，应先把各个分母按某一字母降幂或升幂排列，再分解因式，找出最简公分母；（3）通分后的各分式的分母相同，通分后的各分式分别与原来的分式相等；（4）通分和约分是两种迥然不同的变形约分是针对一个分式而言，通分是针对多个分式而言；约分是将一个分式化简，而通分是将一个分式化繁。留意：（1）分式的约分和通分都是依据分式的基本性质；（2）分式的变号法则：分式的分子、分母和分式本身的符号，变更其中的任何两个，分式的值不变。（3）约分时，分子与分母不是乘积形式，不能约分3求最简公分母的方法是：（1）将各个分母分解因式；（2）找各分母系数的最小公倍数；（3）找出各分母中不同的因式，相同因式中取次数最高的，满意（2）（3）的因式之积即为各分式的最简公分母（求最简公分母在分式的加减运算和解分式方程时起特别重要的作用）。二、分式的运算：1分式的加减法法则：（1）同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加；（2）异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算。2分式的乘除法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。4分式的混合运算依次，先算乘方，再算乘除，最终算加减，有括号先算括号里面的。5对于分式化简求值的题型要留意解题格式，要先化简，再代人字母的值求值。【分式的运算考点分析】分式的运算通常是综合考查分式的加减、乘除、约分及分解因式等学问，是中考的重点。特殊是化简求值已经成近两年中考的热点。题型既有选择、填空题，也有计算题。【分式的运算学问点误区】（1）互为相反数的因式约分时漏掉负号；（2）通分时漏乘而出错；（3）把通分与去分母混淆，本是通分，却把分式中的分母丢掉；（4）计算依次搞乱而出错。【典型例题】 分式的四则运算1.同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。用字母表示为：a/c±b/c=(a±b)/c2.异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。用字母表示为：a/b±c/d=(ad±cb)/bd3.分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。用字母表示为：a/b*c/d=ac/bd4.分式的除法法则：(1).两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。a/b÷c/d=ad/bc(2).除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数:a/b÷c/d=a/b*d/c不论什么样的计算，其过程都是须要大家耐性和细心的。 第15页 共15页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页