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高一数学幂函数教案高一数学幂函数49 其次十八课时幂函数（2）【学习导航】学问网络学习要求1了解幂函数的概念，能画出一些简洁幂函数图象并了解它们的图形特征；2驾驭推断某些简洁函数奇偶性的方法；3培育学生推断推理的实力，加强数形结合思想，化归转化实力的培育自学评价1幂函数的性质：（1）都过点；（2）任何幂函数都不过第四象限；（3）当时，幂函数的图象过原点2幂函数的图象在第一象限的分布规律：（1）在经过点平行于轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图象从下到上分布；（2）幂指数的分母为偶数时，图象只在第一象限；幂指数的分子为偶数时，图象在第一、其次象限关于轴对称；幂指数的分子、分母都为奇数时，图象在第一、第三象限关于原点对称【精典范例】例1：探讨下列函数的定义域、值域，奇偶性与单调性：（1）（2）（3）（4）（5）分析：要求幂函数的定义域和值域，可先将分数指数式化为根式【解】（1）定义域R，值域R，奇函数，在R上单调递增（2）定义域，值域，偶函数，在上单调递增，在上单调递减（3）定义域，值域，偶函数，非奇非偶函数，在上单调递增（4）定义域，值域，奇函数，在上单调递减，在上单调递减（5）定义域，值域，非奇非偶函数，在上单调递减点评:娴熟进行分数指数幂与根式的互化，是探讨幂函数性质的基础例2：将下列各组数用小于号从小到大排列：（1）（2）（3）分析：（1）底数相异，指数相同的数比较大小，可以转化为比较同一幂函数的不同函数值的大小问题，依据函数的单调性，只要比较自变量的大小就可以了（2）视察发觉，这三个数指数可以统一，底数可以化为正数，故可利用幂函数的单调性比较大小【解】（1）（2）（3）点评:比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需找寻一个恰当的数作为桥梁来比较大小例3：已知的图象如图所示：则，的大小关系是：分析：对于幂函数在第一象限的图象的大致状况可以用口诀来记忆：正抛物负双曲，大竖直小横铺即【解】有幂函数的性质，当自变量时，幂指数大的函数值比较大，故有点评:幂函数在第一象限内的图象均过点，在区间上，值越小，图象越靠近轴 追踪训练一1.图中曲线是幂函数在第一相限的图象，已知取，四个值，则相应与曲线、的值依次为（B），2.给出下列四个函数：；，其中定义域和值域相同的是（2）（3）（写出全部满意条件的函数的序号）3.比较下列几组数大小（1），；（2），解：（1）幂函数在上单调递增，且，；（2），幂函数在上单调递减，且，即【选修延长】一、幂函数性质的运用例4:已知，求的取值范围分析：数形给合思想的运用由于不等式的左右两边的幂指数都是，因此可借助于幂函数的图象性质来求解【解】因为在和上为减函数，时，；时，原不等式可以化为（1）（2）（3）（1）无解；（2），（3）所以所求的取值范围为点评:利用函数图象特征了解函数的性质，利用函数性质去解不等式二、幂函数图象的性质特征例5：已知幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，且关于原点对称，求的值分析：幂函数图象与轴、轴都无交点，则指数小于或等于零；图象关于原点对称，则函数为奇函数结合，便可逐步确定的值【解】幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，；，又函数图象关于原点对称，是奇数，或点评:驾驭幂函数图象的特征，是顺当解题的关键 思维点拔：（1）比较同指数幂的大小，利用幂函数的单调性；（2）依据幂函数的图象，推断指数的大小，或依据幂函数的指数的大小，描述其图象的特征；（3）推断幂函数的奇偶性，宜先将分数指数化为根式的形式追踪训练二1设满意，下列不等式中正确的是（C）ABCD2函数在其次象限内单调递增，则的最大负整数是3求函数的值域答案： 高一数学教案：幂函数教学设计 高一数学教案：幂函数教学设计 教学目标： 1使学生理解幂函数的概念，能够通过图象探讨幂函数的性质； 2在作幂函数的图象及探讨幂函数的性质过程中，培育学生的视察实力，概括总结的实力； 3通过对幂函数的探讨，培育学生分析问题的实力 教学重点： 常见幂函数的概念、图象和性质； 教学难点： 幂函数的单调性及其应用 教学方法： 采纳师生互动的方式，由学生自我探究、自我分析，合作学习，充分发挥学生的主动性与主动性，老师利用实物投影仪及计算机协助教学 教学过程： 一、问题情境 情境：我们以前学过这样的函数：yx，yx2，yx?1，试作出它们的图象，并视察其性质 问题：这些函数有什么共同特征？它们是指数函数吗？ 二、数学建构 1幂函数的定义：一般的我们把形如yx(R)的函数称为幂函数，其中底数x是变量，指数是常数 2幂函数yx 图象的分布与 的关系： 对随意的 R，yx在第I象限中必有图象； 若yx为偶函数，则yx在第II象限中必有图象； 若yx为奇函数，则yx在第III象限中必有图象； 对随意的 R，yx的图象都不会出现在第VI象限中 3幂函数的性质(仅限于在第一象限内的图象)： （1）定点：0时，图象过(0，0)和(1，1)两个定点； 0时，图象过只过定点(1，1) （2）单调性：0时，在区间0，)上是单调递增； 0时，在区间(0，)上是单调递减 三、数学运用 例1写出下列函数的定义域，并推断它们的奇偶性 四、要点归纳与方法小结 1幂函数的概念、图象和性质； 2幂值的大小比较方法 五、作业 课本P90-2，4，6 高一数学反函数、幂函数学问点 高一数学反函数、幂函数学问点 1.反函数的定义设函数y=f(x)的定义域是A，值域是C我们从式子y=f(x)中解出x得到式子x=(y)假如对于y在C中的任何一个值，通过式子x=(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么式子x=(y)叫函数y=f(x)的反函数，记作x=f-1(y)，习惯表示为y=f-1(x)留意：函数y=f(x)的定义域和值域，分别是反函数y=f-1(x)的值域和定义域，例如：f(x)的定义域是-1，+，值域是0，+），它的反函数定义域为0，+），值域是-1，+)。2反函数存在的条件根据函数定义，y=f(x)定义域中的每一个元素x，都唯一地对应着值域中的元素y，假如值域中的每一个元素y也有定义域中的唯一的一个元素x和它相对应，即定义域中的元素x和值域中的元素y，通过对应法则y=f(x)存在着一一对应关系，那么函数y=f(x)存在反函数，否则不存在反函数例如：函数y=x2,xR，定义域中的元素±1，都对应着值域中的同一个元素1，所以，没有反函数而y=x2,x1表示定义域到值域的一一对应，因而存在反函数3函数与反函数图象间的关系函数y=f(x)和它的反函数y=f-1(x)的图象关于y=x对称若点(a,b)在y=f(x)的图象上，那么点(b,a)在它的反函数y=f-1(x)的图象上4反函数的几个简洁命题（1）一个奇函数y=f(x)假如存在反函数，那么它的反函数y=f-1(x)肯定是奇函数（2）一个函数在某一区间是（减）函数，并且存在反函数，那么它的反函数在相应区间也是增（减）函数 定义：形如y=xa(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。定义域和值域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不怜悯况如下：假如a为随意实数，则函数的定义域为大于0的全部实数；假如a为负数，则x确定不能为0，不过这时函数的定义域还必需根据q的奇偶性来确定，即假如同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的全部实数；假如同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的全部实数。当x为不同的数值时，幂函数的值域的不怜悯况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a为正数，0才进入函数的值域性质：对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种状况来探讨各自的特性：首先我们知道假如a=p/q，q和p都是整数，则x(p/q)=q次根号(x的p次方)，假如q是奇数，函数的定义域是R，假如q是偶数，函数的定义域是0，+)。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(xk)，明显x0，函数的定义域是(-，0)(0，+).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：解除了为0与负数两种可能，即对于x0，则a可以是随意实数；解除了为0这种可能，即对于x0和x0的全部实数，q不能是偶数；解除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的全部实数，a就不能是负数。总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不怜悯况如下：假如a为随意实数，则函数的定义域为大于0的全部实数；假如a为负数，则x确定不能为0，不过这时函数的定义域还必需依据q的奇偶性来确定，即假如同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的全部实数；假如同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的全部实数。在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a为正数，0才进入函数的值域。由于x大于0是对a的随意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自状况.可以看到：(1)全部的图形都通过(1，1)这点。(2)当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。(3)当a大于1时，幂函数图形下凹；当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。(4)当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。(5)a大于0，函数过(0，0)；a小于0，函数不过(0，0)点。(6)明显幂函数无界。 1幂函数解析式的右端是个幂的形式。幂的底数是自变量，指数是常数，可以为任何实数；与指数函数的形式正好相反。2幂函数的图像和性质比较困难，高考只要求驾驭指数为1、2、3、-1、时幂函数的图像和性质。3了解其它幂函数的图像和性质，主要有：当自变量为正数时，幂函数的图像都在第一象限。指数为负数的幂函数都是过点(1，1)的减函数，以坐标轴为渐近线，指数越小越靠近x轴。指数为正数的幂函数都是过原点和(1，1)的增函数；在x=1的右侧指数越大越远离x轴。幂函数的定义域可以依据幂的意义去求出：要么是x0，要么是关于原点对称。前者只在第一象限有图像；后者肯定具有奇偶性，利用对称性可以画出二或三象限的图像。留意第四象限肯定不会有图像。定义域关于原点对称的幂函数肯定具有奇偶性。当指数是偶数或分子是偶数的分数时是偶函数；否则是奇函数。4幂函数奇偶性的一般规律：指数是偶数的幂函数是偶函数。指数是奇数的幂函数是奇函数。指数是分母为偶数的分数时，定义域x0或x0，没有奇偶性。指数是分子为偶数的分数时，幂函数是偶函数。指数是分子分母为奇数的分数时，幂函数是奇数函数。 人教版高一数学下册幂函数学问点 人教版高一数学下册幂函数学问点 定义： 形如y=xa(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。 定义域和值域： 当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不怜悯况如下：假如a为随意实数，则函数的定义域为大于0的全部实数;假如a为负数，则x确定不能为0，不过这时函数的定义域还必需根据q的奇偶性来确定，即假如同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的全部实数;假如同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的全部实数。当x为不同的数值时，幂函数的值域的不怜悯况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a为正数，0才进入函数的值域 性质： 对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种状况来探讨各自的特性： 首先我们知道假如a=p/q，q和p都是整数，则x(p/q)=q次根号(x的p次方)，假如q是奇数，函数的定义域是R，假如q是偶数，函数的定义域是0，+)。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(xk)，明显x0，函数的定义域是(-，0)(0，+).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道： 解除了为0与负数两种可能，即对于x0，则a可以是随意实数; 解除了为0这种可能，即对于x0x=0的全部实数，q不能是偶数; 解除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的全部实数，a就不能是负数。 总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不怜悯况如下： 假如a为随意实数，则函数的定义域为大于0的全部实数; 假如a为负数，则x确定不能为0，不过这时函数的定义域还必需依据q的奇偶性来确定，即假如同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的全部实数;假如同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的全部实数。 在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。 在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。 而只有a为正数，0才进入函数的值域。 由于x大于0是对a的随意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自状况. 可以看到： (1)全部的图形都通过(1，1)这点。 (2)当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。 (3)当a大于1时，幂函数图形下凹;当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。 (4)当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。 (5)a大于0，函数过(0，0);a小于0，函数不过(0，0)点。 (6)明显幂函数无界。 练习题： 1.下列幂函数为偶函数的是() A.y=x12B.y=3x C.y=x2D.y=x-1 解析：选C.y=x2，定义域为R，f(-x)=f(x)=x2. 2.若a0，则0.5a,5a,5-a的大小关系是() A.5-a5a0.5aB.5a0.5a5-a C.0.5a5-a5aD.5a5-a0.5a 解析：选B.5-a=(15)a，因为a0时y=xa单调递减，且150.55，所以5a0.5a5-a. 3.设-1,1，12，3，则使函数y=x的定义域为R，且为奇函数的全部值为() A.1,3B.-1,1 C.-1,3D.-1,1,3 解析：选A.在函数y=x-1，y=x，y=x12，y=x3中，只有函数y=x和y=x3的定义域是R，且是奇函数，故=1,3. 第13页 共13页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页