初中经典几何证明练习题(含答案)(11页).doc

-初中几何证明题经典题（一）1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CDAB，EFAB，EGCO求证：CDGF（初二）2、已知：如图，P是正方形ABCD内部的一点，PADPDA15°。求证：PBC是正三角形（初二）3、已知：如图，在四边形ABCD中，ADBC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F求证：DENF经典题（二）1、已知：ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OMBC于M（1）求证：AH2OM；（2）若BAC600，求证：AHAO（初二）2、设MN是圆O外一条直线，过O作OAMN于A，自A引圆的两条割线交圆O于B、C及D、E，连接CD并延长交MN于Q，连接EB并延长交MN于P.求证：APAQ3、如图,分别以ABC的AB和AC为一边,在ABC的外侧作正方形ABFG和正方形ACDE，点O是DF的中点，OPBC求证：BC=2OP（初二）证明：分别过F、A、D作直线BC的垂线，垂足分别是L、M、NOF=OD，DNOPFLPN=PLOP是梯形DFLN的中位线DN+FL=2OPABFG是正方形ABM+FBL=90°又BFL+FBL=90°ABM=BFL又FLB=BMA=90°，BF=ABBFLABMFL=BM同理AMCCNDCM=DNBM+CN=FL+DNBC=FL+DN=2OP经典题（三）1、如图，四边形ABCD为正方形，DEAC，AEAC，AE与CD相交于F求证：CECF（初二）证明：连接BD交AC于O。过点E作EGAC于GABCD是正方形BDAC又EGACBDEG又DEACODEG是平行四边形又COD=90°ODEG是矩形EG=OD=BD=AC=AEEAG=30°AC=AEACE=AEC=75°又AFD=90°-15°=75°CFE=AFD=75°=AECCE=CF2、如图，四边形ABCD为正方形，DEAC，且CECA，直线EC交DA延长线于F求证：AEAF（初二）证明：连接BD，过点E作EGAC于GABCD是正方形BDAC，又EGACCAE=CEA=GCE=15°在AFC中F =180°-FAC-ACF =180°-FAC-GCE=180°-135°-30°=15°F=CEAAE=AFBDEG又DEACODEG是平行四边形又COD=90°ODEG是矩形EG =OD =BD=AC=CEGCE=30°AC=EC3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PFAP，CF平分DCE求证：PAPF（初二）证明：过点F作FGCE于G，FHCD于HCDCGHCGF是矩形HCF=GCFFH=FGHCGF是正方形设AB=x，BP=y，CG=zz：y=（x-y+z）：x化简得（x-y）·y=（x-y）·zx-y0y=z即BP=FGABPPGFCG=GFAPFPAPB+FPG=90°APB+BAP=90°FPG=BAP又FGP=PBAFGPPBAFG：PB=PG：AB4、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D求证：ABDC，BCAD（初三）证明：过点E作EKBD，分别交AC、AF于M、K，取EF的中点H，连接OH、MH、ECEH=FHEM=KMEKBDOB=OD又AO=CO四边形ABCD的对角线互相平分ABCD是平行四边形AB=DC，BC=ADOHEF，PHO=90°又PCOC，POC=90°P、C、H、O四点共圆HCO=HPO又EKBD，HPO=HEKHCM=HEMH、C、E、M四点共圆ECM=EHM又ECM=EFAEHM=EFAHMACEH=FH经典题(四)1、已知：ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA3，PB4，PC5求APB的度数（初二）解：将ABP绕点B顺时针方向旋转60°得BCQ，连接PQ则BPQ是正三角形BQP=60°，PQ=PB=3在PQC中，PQ=4，CQ=AP=3，PC=5PQC是直角三角形PQC=90°BQC=BQP+PQC=60°+90°=150°APB=BQC=150°2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且PBAPDA求证：PABPCB（初二）证明：过点P作AD的平行线，过点A作PD的平行线，两平行线相交于点E，连接BEPEAD，AEPDADPE是平行四边形PE=AD，又ABCD是平行四边形AD=BCPE=BC又ADP=ABPAEP=ABPA、E、B、P四点共圆BEP=PABPAB=PCB又PEAD，ADBCPEBCBCPE是平行四边形BEP=PCBADPE是平行四边形ADP=AEP3、设ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB·CDAD·BCAC·BD（初三）证明：在BD上去一点E，使BCE=ACD=CAD=CBDBECADCAD·BC=BE·ACBCE=ACDBCE+ACE=ACD+ACE即BCA=ECD+得AB·CD+AD·BC =DE·AC+BE·AC =（DE+BE）·AC =BD·AC=,BAC=BDCBACEDCAB·CD=DE·AC4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且PAECF求证：DPADPC（初二）证明：过点D作DGAE于G，作DHFC于H，连接DF、DESADE=AE·DG，SFDC=FC·DH又SADE=SFDC=SABCDAE·DG=FC·DH又AE=CFDG=DH点D在APC的角平分线上DPADPC经典题（五）1、设P是边长为1的正ABC内任一点，LPAPBPC，求证：L2证明：（1）将BPC绕B点顺时针旋转60°的BEF，连接PE，BP=BE，PBE=60°PBE是正三角形。PE=PB 又EF=PCL=PA+PB+PC=PA+PE+EF当PA、PE、EF在一条直线上的时候，L=PA+PE+EF的值最小（如图）在ABF中，ABP=120°AF=L=PA+PB+PC（2）过点P作BC的平行线分别交AB、AC于D、G则ADG是正三角形ADP=AGP，AG=DGAPDAGPAPDADPADPA又BD+PDPB CG+PGPC+得AD+BD+CG+PD+PGPA+PB+PCAB+CG+DG=AB+CG+AG=AB+ACPA+PB+PC=LAB=AC=1L2由（1）（2）可知：L22、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PAPBPC的最小值解：将BCP绕点B顺时针旋转60°得BEF，连接PE，则BPE是正三角形PE=PBPAPBPC=PA+PE+EF要使PAPBPC最小，则PA、PE、EF应该在一条直线上（如图）此时AF=PA+PE+EF过点F作FGAB的延长线于G则GBF=180°-ABF=180°-150°=30°GF=，BG=AF=PAPBPC的最小值是3、P为正方形ABCD内的一点，并且PAa，PB2a，PC3a，求正方形的边长证明：将ABP绕点B顺时针旋转90°得BCQ，连接PQ则BPQ是等腰直角三角形，PQ=PB=×2a=2a又QC=AP=aQP2+QC2=(2a)2+a2=9a2=PC2PQC是直角三角形BQC=135°BC2=BQ2+CQ2-2BQ·CQ·cosBQC=PB2+PA2-2PB·PAcos135° =4a2+a2-2×2a×a×(-)解得BC=正方形的边长为4、如图，ABC中，ABCACB80°，D、E分别是AB、AC上的点，DCA30°，EBA20°，求BED的度数解：在AB上取一点F，使BCF=60°，CF交BE于G，连接EF、DGABC=80°，ABE=20°，EBC=60°，又BCG=60°BCG是正三角形BG=BCACB=80°，BCG=60°FCA=20°EBA=FCA又A=A，AB=ACABEACFAE=AFAFE=AEF=（180°-A）=80°又ABC=80°=AFEEFBCEFG=BCG=60°EFG是等边三角形EF=EG，FEG=EGF=EFG=60°ACB=80°，DCA=30°BCD=50°BDC=180°-BCD-ABC=180°-50°-80°=50°BCD=BDCBC=BD前已证BG=BCBD=BGBGD=BDG=（180°-ABE）=80°FGD=180°-BGD-EGF=180°-80°-60°=40°又DFG=180°-AFE-EFG=180°-80°-60°=40°FGD=DFGDF=DG又EF=EG，DE=DEEFDEGDBED=FED=FEG=×60°=30°5、如图，ABC内接于O，且AB为O的直径，ACB的平分线交O于点D，过点D作O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AECD于点E，过点B作BFCD于点F，若AC=6，BC=8，求线段PD的长。解：ACD=BCD =AD=BDAB为O的直径ADB=90°ABD是等腰直角三角形ACB=90°，AC=6，BC=8 AB=10AD=AB·cosDAB=10×=5又AECD，ACD=45°ACE是等腰直角三角形CE=AE=AC·cosCAE=6×=3在ADE中，DE2=AD2-AE2DE2=DE=CD=CE+DE=3+=PDA=PCD，P=P PDAPCD PC=PD，PA=PDPC=PA+ACPD=PD+6解得PD=1证明：过点G作GHAB于H，连接OEEGCO，EFABEGO=90°，EFO=90°EGO+EFO=180°E、G、O、F四点共圆GEO=HFGEGO=FHG=90°EGOFHG=GHAB，CDABGHCDEO=COCD=GF2证明：作正三角形ADM，连接MPMAD=60°，PAD=15°MAP=MAD+PAD=75°BAD=90°，PAD=15°BAP=BAD-PAD=90°-15°=75°BAP=MAPMA=BA，AP=APMAPBAPBPA=MPA，MP=BP同理CPD=MPD，MP=CPPADPDA15°PA=PD，BAP=CDP=75°BA=CDBAPCDPBPA=CPDBPA=MPA，CPD=MPDMPA=MPD=75°BPC=360°-75°×4=60°MP=BP，MP=CP BP=CP BPC是正三角形3证明:连接AC，取AC的中点G,连接NG、MGCN=DN，CG=DGGNAD，GN=ADDEN=GNMAM=BM，AG=CGGMBC，GM=BCF=GMNAD=BCGN=GMGMN=GNMDEN=F1证明：（1）延长AD交圆于F，连接BF，过点O作OGAD于GOGAFAG=FG=F=ACB又ADBC，BEACBHD+DBH=90°ACB+DBH=90°ACB=BHDF=BHDBH=BF又ADBCDH=DFAH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2（GH+DH）=2GD又ADBC，OMBC，OGAD四边形OMDG是矩形OM=GD AH=2OM（2）连接OB、OCBAC=60BOC=120°OB=OC，OMBCBOM=BOC=60°OBM=30°BO=2OM由（1）知AH=2OMAH=BO=AO2证明：作点E关于AG的对称点F，连接AF、CF、QFAGPQ PAG=QAG=90°又GAE=GAF PAG+GAE=QAG+GAF即PAE=QAFE、F、C、D四点共圆AEF+FCQ=180°EFAG，PQAGEFPQPAF=AFEAF=AEAFE=AEFAEF=PAFPAF+QAF=180°FCQ=QAFF、C、A、Q四点共圆AFQ=ACQ又AEP=ACQAFQ=AEP在AEP和AFQ中AFQ=AEP AF=AEQAF=PAEAEPAFQAP=AQ-第 11 页-