初等几何研究作业参考答案(7页).doc

-初等几何研究作业参考答案一填空题 1射线（或半直线），。 2. 两，度量公理（或阿基米德公理）和康托儿公理。3前4组公理（或绝对几何），平行公理。 4平移，旋转，轴对称. 5 。 6交轨法，三角奠基法，代数法，变换法。 7反身性、对称性、传递性、可加性. 8外角. 9答案不惟一.10演绎，综合，直接，反证，同一； 11 .（答1也对）12 过两点可作一条直线（或其部分），已知圆心和半径可作一圆(或其部分).13不共线的三点A、B、C及(AB)、(BC)、(CA)构成的点的集合。14连续.15答案不惟一.16不过，圆.17（或1）.18写出已知与求作，分析，作法，证明，讨论.19相容，独立，完备.20合同变换、相似变换、射影变换、反演变换等21对任意直线a及其外一点A，在a和A决定的平面上，至少有两条过A与a不相交的直线.22代数，解析，三角，面积，复数，向量.23相等。24所求的量可用已知量的有理式或只含平方根的无理式表出二问答题 1对于公理系统，若有一组具体事物M，其性质是已知的，在规定中每一个基本概念指M中某一具体事物后，可验证中每个公理在M中都成立，则称M为公理系统的一个模型；2若AB，则d(AB)=d()；当时，有d(AB)+d(BC)=d(AC). 3命题“三角形的内角和不大于两个直角” 与欧氏平行公理不等价。 4结合，介于，合同；结合即有公共点，介于即在之间，合同相等或完全相等. 5长度、角度、相等、全等、运动、移置、叠合、重合等.6由第五公设引出了该公理独立性的问题，对该问题的研究导致了非欧几何等结果的产生.7通常用“在上”、“属于”、“通过”等语句来表述。8线段“合同”的概念是由公理引出来的，线段“长度”的概念是以定义的形式引出来的。9不可以。问题出在第二步“设ABC的内角和为x” 。设任何三角形的内角和都相等是不对的。10刻划了直线的无限延伸性及三角形的封闭性；11一共有5条.这组公理的名称“合同”与长度、角度、相等、全等等概念有关.12介于关系，合同关系.三轨迹问题BPCQNOMAl1已知：BC是定线段，l是过B点的定直线，A是l上的动点，O是ABC的外心，MN是BC的中垂线，求证：O的轨迹是MN. 完备性：O是ABC的外心，则OA=OB=OC.又MN是BC的中垂线，O点必在MN上. 纯粹性：在MN上任取一点O,作OPl,在l上取点A,使PA=PB, 则OP是AB的中垂线.OP与MN的交点O是ABC的外心，即MN上的任意点都符合条件. 结论：由可知，ABC的外心O的轨迹是BC的中垂线MN. 讨论：若A与B重合, 则ABC不存在，外心也就不存在. 过B作l的垂线交MN于Q, 虽然Q点不符合条件，但Q点周围的任意点都符合条件, 即MN上除Q点外都符合条件.ABCDM2探求：设点M满足条件，即MA:MB=m,则M关于AB的对称点M也满足条件； 轨迹是一个圆，圆心一定在直线AB上. 又AB上还有两点C,D满足条件,即CA:CB=DA:DB=m,轨迹应是以CD为直径的圆. 完备性：即由MA:MB=m证明M在CD为直径的圆上. MA:MB=m=CA:CB=DA:DB, MC,MD分别为ABM的内角和外角平分线, MCMD. 纯粹性：即对CD为直径的圆上任一点M证明MA:MB=m.作MB关于MC的对称线，交AB于A.MCMD, MC, MD是AMB的内、外角平分线，因此， 由CA:CB=DA:DB=m可知，即CA=CA. 又A与A在C同侧，A与A是同一点，因此得MA:MB=m. 下结论：满足命题条件的点的轨迹, 是以CD为直径的圆周. 讨论: m=1，轨迹是AB的中垂线；m<1, 圆在左侧； m>1, 圆在右侧. 3探求：A点轨迹是以BC为弦的弓形弧， BCAD12T341=2=/2是定值， D的轨迹也是以BC为弦的弓形弧. 但要注意到A的变化范围：当AB时，BA的极限位置是B处的切线BT， 这时DT, AB0, 则BT=B(A)C, 4=BCT=3, 又4=1，3=1= /2 . 因此：D的轨迹是以BC为弦,视角为/2的弓形弧的一半CDT弧, 或者说是以CT为弦,视角为的弓形弧. 四. 作图问题ABAPlQ 1作法：作A关于 l 的对称点A，连接AB与 l 交于P， 则P点就是所求位置。 作右图 证明：A与A对称， AP=AP，即AP+PB=AB. 在l上任取一点Q，连接AQ，BQ， 通过比较可得：AQ+QB=AQ+QB > AB=AP+PB. OPMAB2作法：作PO的中点M, 以M为圆心(1/2)R为半径 作圆,交O于A, 连结PA并延长交O于B, 则PB为所求割线. 讨论：当MO>(3/2)R时，即PO>3R时，此题无解； 当PO=3R时，有一解，即割线过圆心； 当R<PO<3R时，有两解.(POR不符合条件) A3作法：作AA垂直于x, A且使AA=xy的距离， XPx连接AB，与y交于P， YPy过P作y的垂线，交x于P， B连结AP，则折线APPB为最短路线. 证明: 若任意作XY垂直于x, 如图所示，连接AX，BY，则AX=AY， AP+PB=ABAY+YB= AX+YB， 折线APPB折线AXYB. 4作法：在AB边上任取一点G， EABCGGEFDFD作正方形DEFG. 连接BF交AC于F， 过F作BC的垂线和平行线， 分别交BC和AC于E、G， 过G作BC垂线交于D. 则四边形DEFG即为所求 ABAOOSl5作法：作AB的中垂线与l交于S， 作O与l相切，且O在中垂线上， 连结AS交O于A, 作AOAO交中垂线于O, 作O(AO)即得. 五证明题1反身性：已知线段AB, 存在线段使（1）， 把使用两次作为条件， 由2即得 对称性：，且， 由2即得. 2将ABF沿AB对折，得对称ABG. GABCDFOBFAC，ABG=135o. 即O、B、G三点共线. 又 AG=AF=AC， AO:AG=AO:AC=1 : 2， 即AGO=30o, 从而得FAB=BAG EF=60o45o=15o=(1/2) CAF. 3. 证明：由3-2 知，直线AC外有一点D，由2知，直线AD上有一点E使，同理，直线CE上有一点F使， BACD由3知， 对于ACE和直线DF，由4， 直线DF与AE相交，但不与CE相交，故必与AC相交（于B）. EHIJABCFG4连接FI、GJ， 作旋转变换如下： ， ， 在两次旋转变换下，AF与GJ是对应边， 因此：AFGJ，且AF=GJ, 即得到平行四边形AGJF, 得证. 5由公理3，直线上至少有两个点，设为A、B； 由公理2，直线上存在点C，使B在A、C之间 再由公理2，直线上存在点D，使C在A、D之间， 则D不同于B点，否则与3矛盾； 同理，由公理2，直线上存在点E，使A在E、C之间， 则E不同于B点，且E不同于D点， DABC24E否则均与3矛盾，得证 6. 将原式化为， 延长BC到D, 使得CD=b， 令C=，作CE, 使ACE=， 则CAE=CEA=3, CE=AC=b=CD=BE， CDE=CED=，即ACED, 因此BD:BC=BE:BA，得证. 7用同一法证明：AB3CD12P4在正方形内取一点P与CD构成正三角形. 连接AP、BP，则 ACP与BDP 为等腰三角形. 1=2=30o，3=4=75o， 即ABP=BAP， 即P点就是P点，得证. 8作E关于OM的对称点E, 要证PM=MQ只要证明PMEQME,即可. ABMFEECDOQP55236411ME=ME, 1=2=3=1, 只证5=5即可. CFEE四点共圆, 4=3=1, 从而得CEMP四点共圆, 因此有5=6. 6和5对同一条弧, 5=6 =5. -第 7 页-