八年级数学角平分线的性质定理及其逆定理.ppt
如图如图:若想在两条公路围成的若想在两条公路围成的A区域内建一个化区域内建一个化工厂，为了减少环境污染工厂，为了减少环境污染,要求化工厂到桥头的要求化工厂到桥头的距离是距离是500米，同时为了交通方便米，同时为了交通方便,要求化工厂要求化工厂到两条公路的距离相等，假如你是工程师，你到两条公路的距离相等，假如你是工程师，你能在图上找到化工厂的位置吗能在图上找到化工厂的位置吗?桥头桥头焦寺焦寺旁堤刘旁堤刘（比例尺为：）（比例尺为：）A区域区域24.8角平分线的角平分线的性质定性质定理及其逆定理理及其逆定理定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等条件：一个点在一个角的平分线上条件：一个点在一个角的平分线上结论：这个点到角的两边的距离相等结论：这个点到角的两边的距离相等已知：已知：OC是是AOB的平分线，点的平分线，点P在在OC上，上，PD OA ，PE OB，垂足分别是，垂足分别是D、E.求证：求证：PD=PE.AOBPED1234一一.角平分线的性质角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等用符号语言表示为：用符号语言表示为：AOBPED121= 2 PD OA ，PE OBPD=PE.交换定理的条件和结论得到的命题为：交换定理的条件和结论得到的命题为：合作探究合作探究思考分析w逆命题逆命题 到一个角的两边距离相等的点到一个角的两边距离相等的点, ,在这个角的平在这个角的平分线上分线上. .w它是真命题吗它是真命题吗? ?如果是如果是. .请你证明它请你证明它. .已知已知: :如图如图, AOB, AOB,PDOA, PEOB,PDOA, PEOB,且且PD=PE,PD=PE,垂足分垂足分别是别是D,E.D,E.求证求证: :点点P P在在AOBAOB的平分线上的平分线上. .分析分析: :要证明点要证明点P P在在AOBAOB的的平分平分线上线上, ,可可以先作出过点以先作出过点P P的射线的射线OC,OC,然后证明然后证明AOC=BOC.AOC=BOC.OCBAPDEw逆定理逆定理: : 到一个角的两边到一个角的两边距离相等的距离相等的点点, ,在这个角的平分线上在这个角的平分线上. . 用符号语言表示为用符号语言表示为: :PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足垂足 分别是分别是D,E,D,E,且且PD=PEPD=PE点点P P在在AOBAOB的平分线上的平分线上温馨提示温馨提示: :这个结论又是经常用来证明这个结论又是经常用来证明点在直线点在直线上上( (或或直线经过直线经过某一某一点点) )的根据之一的根据之一. .OCBAPDE二二.角平分线性质定理的逆定理角平分线性质定理的逆定理 1.角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等在角平分线上的点到角的两边的距离相等 2.角平分线的判定角平分线的判定定理定理:到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。4.角平分线的性质定理角平分线的性质定理是证明角相等、线段相等是证明角相等、线段相等的新途径的新途径.角平分线的逆定理是证明点在直线上角平分线的逆定理是证明点在直线上(或直线经过某一点或直线经过某一点)的根据之一的根据之一.3.性质定理和逆定理的关系性质定理和逆定理的关系点在角平分线上点在角平分线上 点到角两边的距离点到角两边的距离相等相等总结归纳总结归纳基本应用基本应用填空：填空：(1). 1= 2,DCAC, DEAB _(_)(1). DCAC ,DEAB ,DC=DE_(_ _)ACDEB1212DC=DE到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。在角平分线上的点到角的两边的距离相等在角平分线上的点到角的两边的距离相等 应用应用w例例1.1.已知已知: :如图如图,C=90,C=900 0,B=30,B=300 0, , AD AD是是RtRtABCABC的角平分线的角平分线. .w 求证求证:BD:BD2CD.2CD. ABCDE例例:已知：如图，已知：如图，C= C=90 ，AC=AC .求证求证（1） ABC= ABC ；（；（2）BC=BC .（要（要求不用三角形全等的判定）求不用三角形全等的判定）BCAC三三.尺规作图尺规作图角平分线的作法角平分线的作法l已知已知:AOB,:AOB,如图如图. .l求作求作: :射线射线OC,OC,使使AOC=BOCAOC=BOCl作法作法: :l用尺规作角的平分线用尺规作角的平分线. .ABOl1.1.在在OAOA和和OBOB上分别截取上分别截取OD,OE,OD,OE,使使OD=OE.OD=OE.l2.2.分别以点分别以点D D和和E E为圆心为圆心, ,以大于以大于DE/2DE/2长为长为 半径作弧半径作弧, ,两弧在两弧在AOBAOB内交于点内交于点C Cl3.3.作射线作射线OC.OC.请你说明请你说明OCOC为什么为什么是是AOBAOB的平分线的平分线, ,并与同桌进行交流并与同桌进行交流. .l则射线则射线OCOC就是就是AOBAOB的平分线的平分线. .ABOCDE:如图，某个居民小区如图，某个居民小区C附近有三条两两相交附近有三条两两相交的道路的道路MN、OA、OB，拟在，拟在MN上建造一个大上建造一个大型超市，使得它到型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确的距离相等，请确定该超市的位置定该超市的位置P。BANMO小区CP实际应用实际应用2：若已知超市：若已知超市P到道路到道路OA 的距离为的距离为600米，米， 求求P到道路到道路OB的距离。的距离。DPBANMO驶向胜利的彼岸三角形内角的角平分线w剪一个三角形纸片通过折叠找出每个角的平分线.结论:三角形三个角的平分线相交于一点.老师期望:你能写出规范的证明过程.你能证明这个命题吗?w观察这三条角平分线,你发现了什么? 做一做做一做回味无穷w 一一. .定理定理 角平分线上的点到这个角的两边距角平分线上的点到这个角的两边距离相等离相等. . w 二二. .逆定理逆定理 在一个角的内部在一个角的内部, ,且到角的两边距且到角的两边距离相等的点离相等的点, ,在这个角的平分线上在这个角的平分线上. .小结 拓展三三.遇到角平分线的问题遇到角平分线的问题,可以通过角平分线上的一可以通过角平分线上的一点向角的两边引垂线点向角的两边引垂线,以便充分运用角平分线定理以便充分运用角平分线定理思考题：思考题：2、若要在、若要在MON内部全部覆盖绿化，内部全部覆盖绿化，已知已知MON的周长为的周长为2000米，米，OMN、MON的平分线交于点的平分线交于点O，ODMN，垂足为，垂足为D，且，且OD=2米米求：求： MON的面积的面积EDPONM 独立作业独立作业w3.3.已知已知: :如图如图,P,P是是AOBAOB平分线上的一点，平分线上的一点， PCOA,PDOB,PCOA,PDOB,垂足分别垂足分别C,D.C,D.w求证求证:(1)OC=OD;:(1)OC=OD; (2)OP (2)OP是是CDCD的垂直平分线的垂直平分线. . BAPDCO证明两角相等的方法：证明两角相等的方法：同角（或等角）的余角（补角）相等同角（或等角）的余角（补角）相等平行线的性质平行线的性质对顶角相等对顶角相等全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等等边对等角等边对等角角平分线的性质定理及其逆定理角平分线的性质定理及其逆定理证明线段相等的方法： 全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等 角平分线的性质定理角平分线的性质定理 等角对等边等角对等边 等腰三角形的三线合一等腰三角形的三线合一 .垂直平分线的性质定理垂直平分线的性质定理（练习）已知：（练习）已知：MON中，中，MP平分平分OMN，OP平分平分MON，且，且PDMN，PEON，垂足分别为点，垂足分别为点D、E求证：点求证：点P在在MNO的平分线上的平分线上EDPONMF挑战自我挑战自我l如图如图, ,在在ABCABC中中, ,已知已知AC=BC,C=90AC=BC,C=900 0,AD,AD 是是ABCABC的角平分线的角平分线,DEAB,DEAB,垂足为垂足为E.E.(1)如果如果CD4cm，AC的长的长(2)求证求证:ABACCD.EDABC 独立作业独立作业w2.2.已知已知: :如图如图, ,ABCABC的外角的外角CBDCBD和和BCEBCE的的 角平分线相交于点角平分线相交于点F.F.w 求证求证: :点点F F在在DAEDAE的平分线上的平分线上. . A AB BC CFDE
