【数学】2015高考试题分类汇编：文科立体几何答案版(16页).doc

-【数学】2015高考试题分类汇编：文科立体几何答案版-第 16 页 2015全国高考数学试题汇编文科立体几何（答案分析版）2015·安徽卷 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A48B328C488D80C【解析】 由三视图可知本题所给的是一个底面为等腰梯形的放倒的直四棱柱(如图所示)，所以该直四棱柱的表面积为S2××(24)×44×42×42××4488. 2015·北京卷 某四棱锥的三视图如图11所示，该四棱锥的表面积是()A32B1616C48D1632B【解析】 由题意可知，该四棱锥是一个底面边长为4，高为2的正四棱锥，所以其表面积为4×44××4×21616，故选B.2015·广东卷 如图，某几何体的正视图(主视图)，侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为()A4B4C2D2C【解析】 由三视图知该几何体为四棱锥，棱锥高h3，底面为菱形，对角线长分别为2，2，所以底面积为×2×22，所以VSh×2×32.2015·湖南卷 设图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A942B3618C.12D.18D【解析】 由三视图可得这个几何体是由上面是一个直径为3的球，下面是一个长、宽都为3高为2的长方体所构成的几何体，则其体积为： VV1V2××33×3×218，故选D.2015·辽宁卷 一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为2，它的三视图中的俯视图如图13所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是()A4B2C2D.B【解析】 由俯视图知该正三棱柱的直观图为下图，其中M，N是中点，矩形MNC1C为左视图由于体积为2，所以设棱长为a，则×a2×sin60°×a2，解得aCM，故矩形MNC1C面积为2，故选B. 2015·课标全国卷 在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为() 图12D【解析】 由正视图和俯视图知几何体的直观图是由一个半圆锥和一个三棱锥组合而成的，如图，故侧视图选D.2015·陕西卷 某几何体的三视图如图所示，则它的体积为()A8B8C82D.A【解析】 主视图与左视图一样是边长为2的正方形，里面有两条虚线，俯视图是边长为2的正方形与直径为2的圆相切，其直观图为棱长为2的正方体中挖掉一个底面直径为2的圆锥，故其体积为正方体的体积与圆锥的体积之差，V正238，V锥r2h(r1，h2)，故体积V8，故答案为A.2015·天津卷 一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_ m3.4【解析】 根据三视图还原成直观图，可以看出，其是由两个形状一样的，底面长和宽都为1，高为2的长方体叠加而成，故其体积V2×1×11×1×24.22015·浙江卷 若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()2015·福建卷 如图13，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF平面AB1C，则线段EF的长度等于_【解析】 EF平面AB1C，EF平面ABCD，平面ABCD平面AB1CAC，EFAC，又E是AD的中点，F是CD的中点，即EF是ACD的中位线，EFAC×2.2015·浙江卷 若直线l不平行于平面，且l，则()A内的所有直线与l异面B内不存在与l平行的直线C内存在唯一的直线与l平行D内的直线与l都相交B【解析】 在内存在直线与l相交，所以A不正确；若内存在直线与l平行，又l，则有l，与题设相矛盾，B正确，C不正确；在内不过l与交点的直线与l异面，D不正确2015·广东卷 正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有()A20 B15 C12 D10D【解析】 一个下底面5个点，每个下底面的点对于5个上底面的点，满足条件的对角线有2条，所以共有5×210条 2015·四川卷 l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()Al1l2，l2l3l1l3Bl1l2，l2l3l1l3Cl1l2l3l1，l2，l3共面Dl1，l2，l3共点l1，l2，l3共面B【解析】 对于A，直线l1与l3可能异面；对于C，直线l1、l2、l3可能构成三棱柱三条侧棱所在直线而不共面；对于D，直线l1、l2、l3相交于同一个点时不一定共面. 所以选B. 2015·湖北卷 设球的体积为V1，它的内接正方体的体积为V2，下列说法中最合适的是()AV1比V2大约多一半BV1比V2大约多两倍半CV1比V2大约多一倍DV1比V2大约多一倍半D【解析】 设球的半径为R，则V1R3.设正方体的边长为a，则V2a3.又因为2Ra，所以V13a3，V1V2a3a3. 2015·辽宁卷 已知球的直径SC4，A、B是该球球面上的两点，AB2，ASCBSC45°，则棱锥SABC的体积为()A. B. C. D.C【解析】 如图16，由于SC是球的直径，所以SACSBC90°，又ASCBSC45°，所以SAC、BSC为等腰直角三角形，取SC中点D，连接AD、BD.由此得SCAD，SCBD，即SC平面ABD.所以VSABCVSABDVCABDSABD·SC.由于在等腰直角三角形SAC中ASC45°，SC4，所以ADBD2.又AB2，所以ABD为正三角形，所以VSABCSABD·SC××22·sin60°×4，所以选C. 2015·课标全国卷 已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为_ 【解析】 如图，设球的半径为R，圆锥底面半径为r，则球面面积为4R2，圆锥底面面积为r2，由题意r2R2，所以rR，所以OO1R，所以SO1RRR，S1O1RRR，所以. 2015·四川卷 如图13，半径为4的球O中有一内接圆柱当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是_图13大纲文数32【解析】 本题主要考查球的性质、球与圆柱的组合体、均值不等式的应用如图14为轴截面，令圆柱的高为h，底面半径为r，侧面积为S，球半径R4，则2r2R2，即h2.因为S2rh4r442R2，取等号时，内接圆柱底面半径为 R，高为R，S球S圆柱4R22R22R232.2015·全国卷 已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为_ 【解析】 取A1B1的中点F，连EF，则EFBC，AEF是异面直线AE与BC所成的角，设正方体的棱长为a，可得AEa，AFa，在AEF中，运用余弦定理得cosAEF，即异面直线AE与BC所成角的余弦值为.2015·安徽卷 如图14，ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上，OA1，OD2，OAB，OAC，ODE，ODF都是正三角形(1)证明直线BCEF；(2)求棱锥FOBED的体积图14【解答】 (1)证明：设G是线段DA与EB延长线的交点，由于OAB与ODE都是正三角形，OA1，OD2，所以OB綊DE，OGOD2.同理，设G是线段DA与FC延长线的交点，有OC綊DF，OGOD2，又由于G和G都在线段DA的延长线上，所以G与G重合在GED和GFD中，由OB 綊DE和OC綊DF，可知B和C分别是GE和GF的中点所以BC是GEF的中位线，故BCEF.(2)由OB1，OE2，EOB60°，知SEOB.而OED是边长为2的正三角形，故SOED.所以SOBEDSEOBSOED.过点F作FQDG，交DG于点Q，由平面ABED平面ACFD知，FQ就是四棱锥FOBED的高，且FQ，所以VFOBEDFQ·S四边形OBED.2015·北京卷 图14如图14，在四面体PABC中，PCAB，PABC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点(1)求证：DE平面BCP；(2)求证：四边形DEFG为矩形；(3)是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由课标文数2015·北京卷 【解答】 (1)证明：因为D，E分别为AP，AC的中点，图15所以DEPC.又因为DE平面BCP，PC平面BCP，所以DE平面BCP.(2)因为D、E、F、G分别为AP、AC、BC、PB的中点，所以DEPCFG，DGABEF，所以四边形DEFG为平行四边形又因为PCAB，所以DEDG，所以平行四边形DEFG为矩形(3)存在点Q满足条件，理由如下：连接DF，EG，设Q为EG的中点由(2)知，DFEGQ，且QDQEQFQGEG.分别取PC、AB的中点M，N，连接ME、EN、NG、MG、MN.与(2)同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线交点为EG的中点Q，且QMQNEG.所以Q为满足条件的点 2015·江苏卷 如图12，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABAD，BAD60°，E、F分别是AP、AD的中点图12求证：(1)直线EF平面PCD；(2)平面BEF平面PAD.课标数学，G52015·江苏卷 本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力【解答】 证明：(1)在PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EFPD.又因为EF平面PCD，PD平面PCD，图13所以直线EF平面PCD.(2)连结BD，因为ABAD，BAD60°，所以ABD为正三角形，因为F是AD的中点，所以BFAD.因为平面PAD平面ABCD，BF平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以BF平面PAD.又因为BF平面BEF，所以平面BEF平面PAD.图16图1812015·课标全国卷 如图18，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB60°，AB2AD，PD底面ABCD.(1)证明：PABD；(2)设PDAD1，求棱锥DPBC的高课标文数，G112015·课标全国卷 【解答】 (1)证明：因为DAB60°，AB2AD，由余弦定理得BDAD，从而BD2AD2AB2，故BDAD.又PD底面ABCD，可得BDPD，所以BD平面PAD，故PABD.(2)如图，作DEPB，垂足为E.已知PD底面ABCD，则PDBC.由(1)知BDAD，又BCAD，所以BCBD.图19故BC平面PBD，BCDE.则DE平面PBC.由题设知PD1，则BD，PB2.根据DE·PBPD·BD得DE.即棱锥DPBC的高为. 2015·陕西卷 如图18，在ABC中，ABC45°，BAC90°，AD是BC上的高，沿AD把ABD折起，使BDC90°.(1)证明：平面ADB平面BDC；(2)若BD1，求三棱锥DABC的表面积图18课标文数2015·陕西卷 【解答】 (1)折起前AD是BC边上的高，当ABD折起后，ADDC，ADDB.又DBDCD.AD平面BDC.AD平面ABD，平面ABD平面BDC.(2)由(1)知，DADB，DBDC，DCDA，DBDADC1.ABBCCA.从而SDABSDBCSDCA×1×1.SABC×××sin60°.表面积S×3.2015·江苏卷 如图12，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABAD，BAD60°，E、F分别是AP、AD的中点图12求证：(1)直线EF平面PCD；(2)平面BEF平面PAD.课标数学，G52015·江苏卷 本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力【解答】 证明：(1)在PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EFPD.又因为EF平面PCD，PD平面PCD，图13所以直线EF平面PCD.(2)连结BD，因为ABAD，BAD60°，所以ABD为正三角形，因为F是AD的中点，所以BFAD.因为平面PAD平面ABCD，BF平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以BF平面PAD.又因为BF平面BEF，所以平面BEF平面PAD. 2015·辽宁卷 如图18，四边形ABCD为正方形，图18QA平面ABCD，PDQA，QAABPD.(1)证明：PQ平面DCQ；(2)求棱锥QABCD的体积与棱锥PDCQ的体积的比值课标文数2015·辽宁卷 【解答】 (1)由条件知PDAQ为直角梯形因为QA平面ABCD，所以平面PDAQ平面ABCD，交线为AD.又四边形ABCD为正方形，DCAD，所以DC平面PDAQ，可得PQDC.在直角梯形PDAQ中可得DQPQPD，则PQQD.所以PQ平面DCQ.(2)设ABa.由题设知AQ为棱锥QABCD的高，所以棱锥QABCD的体积V1a3.由(1)知PQ为棱锥PDCQ的高，而PQa，DCQ的面积为a2，所以棱锥PDCQ的体积V2a3.故棱锥QABCD的体积与棱锥PDCQ的体积的比值为1.图1612015·湖南卷 如图15，在圆锥PO中，已知PO，O的直径AB2，点C在上，且CAB30°，D为AC的中点(1)证明：AC平面POD；(2)求直线OC和平面PAC所成角的正弦值图15课标文数，G112015·湖南卷 【解答】 (1)因为OAOC，D是AC的中点，所以ACOD.又PO底面O，AC底面O，所以ACPO.而OD，PO是平面POD内的两条相交直线，所以AC平面POD.(2)由(1)知，AC平面POD，又AC平面PAC，所以平面POD平面PAC.在平面POD中，过O作OHPD于H，则OH平面PAC.图16连结CH，则CH是OC在平面PAC上的射影，所以OCH是直线OC和平面PAC所成的角在RtODA中，ODOA·sin30°.在RtPOD中，OH.在RtOHC中，sinOCH.故直线OC和平面PAC所成角的正弦值为.图17 2015·浙江卷 如图17，在三棱锥PABC中，ABAC，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上(1)证明：APBC；(2)已知BC8，PO4，AO3，OD2，求二面角BAPC的大小课标文数2015·浙江卷 【解答】 (1)证明：由ABAC，D是BC中点，得ADBC，又PO平面ABC，得POBC，因为POADO，所以BC平面PAD，故BCAP.(2)如图，在平面APB内作BMPA于M，连CM.因为BCPA，得PA平面BMC，所以APCM.故BMC为二面角BAPC的平面角在RtADB中，AB2AD2BD241，得AB.在RtPOD中，PD2PO2OD2，在RtPDB中，PB2PD2BD2，所以PB2PO2OD2BD236，得PB6.在RtPOA中，PA2AO2OP225，得PA5.又cos BPA，从而sinBPA.故BMPBsinBPA4.同理CM4.因为BM2MC2BC2，所以BMC90°，即二面角BAPC的大小为90°.图15 2015·福建卷 如图15，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，点E在线段AD上，且CEAB.(1)求证：CE平面PAD；(2)若PAAB1，AD3，CD，CDA45°，求四棱锥PABCD的体积课标文数2015·福建卷 【解答】 (1)证明：因为PA平面ABCD，CE平面ABCD，图16所以PACE.因为ABAD，CEAB，所以CEAD.又PAADA，所以CE平面PAD.(2)由(1)可知CEAD.在RtECD中，DECD·cos45°1，CECD·sin45°1.又因为ABCE1，ABCE，所以四边形ABCE为矩形所以S四边形ABCDS矩形ABCESECDAB·AECE·DE1×2×1×1.又PA平面ABCD，PA1，所以V四棱锥PABCDS四边形ABCD·PA××1.22015·江西卷 如图17，在ABC中，B，ABBC2，P为AB边上一动点，PDBC交AC于点D，现将PDA沿PD翻折至PDA，使平面PDA平面PBCD.(1)当棱锥APBCD的体积最大时，求PA的长；(2)若点P为AB的中点，E为AC的中点，求证：ABDE.图17课标文数2015·江西卷 【解答】 (1)令PAx(0<x<2)，则APPDx，BP2x.因为APPD，且平面APD平面PBCD，故AP平面PBCD.所以VAPBCDSh(2x)(2x)x(4xx3)图18令f(x)(4xx3)，由f(x)(43x2)0，得x.当x时，f(x)>0，f(x)单调递增；当x时，f(x)<0，f(x)单调递减，所以，当x时，f(x)取得最大值，即：当VAPBCD最大时，PA.(2)证明：设F为AB的中点，连接PF，FE.则有EF綊BC，PD綊BC，所以EF綊PD，四边形DEFP为平行四边形，所以DEPF，又APPB，所以PFAB，故DEAB. 2015·山东卷 如图15，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，D1D平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB2AD，ADA1B1，BAD60°.(1)证明：AA1BD；(2)证明：CC1平面A1BD.图15课标文数2015·山东卷 【解答】 证明：(1)证法一：因为D1D平面ABCD，且BD平面ABCD，图16所以D1DBD.又因为AB2AD，BAD60°，在ABD中，由余弦定理得BD2AD2AB22AD·ABcos60°3AD2.所以AD2BD2AB2，所以ADBD.又ADD1DD，所以BD平面ADD1A1.又AA1平面ADD1A1，所以AA1BD.证法二：因为D1D平面ABCD，且BD平面ABCD，图17所以BDD1D.取AB的中点G，连接DG.在ABD中，由AB2AD得AGAD，又BAD60°，所以ADG为等边三角形因此GDGB.故DBGGDB，又AGD60°，所以GDB30°，故ADBADGGDB60°30°90°，所以BDAD.又ADD1DD，所以BD平面ADD1A1，又AA1平面ADD1A1，所以AA1BD.(2)连接AC，A1C1.图18设ACBDE，连接EA1.因为四边形ABCD为平行四边形，所以ECAC，由棱台定义及AB2AD2A1B1知，A1C1EC且A1C1EC，所以四边形A1ECC1为平行四边形因此CC1EA1，又因为EA1平面A1BD，CC1平面A1BD，所以CC1平面A1BD. 2015·四川卷 如图15，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90°，ABACAA11，延长A1C1至点P，使C1PA1C1，连结AP交棱CC1于点D.(1)求证：PB1平面BDA1；(2)求二面角AA1DB的平面角的余弦值图15 2015·四川卷 【解答】 解法一：(1)连结AB1与BA1交于点O，连结OD.C1DAA1，A1C1C1P，ADPD，又AOB1O，ODPB1.图16又OD平面BDA1，PB1平面BDA1，PB1平面BDA1.(2)过A作AEDA1于点E，连结BE.BACA，BAAA1，且AA1ACA，BA平面AA1C1C.由三垂线定理可知BEDA1.BEA为二面角AA1DB的平面角在RtA1C1D中，A1D，又SAA1D×1×1××AE，AE.在RtBAE中，BE，cosBEA.故二面角AA1DB的平面角的余弦值为. 2015·天津卷 如图17，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，ADC45°，ADAC1，O为AC的中点，PO平面ABCD，PO2，M为PD的中点(1)证明PB平面ACM；(2)证明AD平面PAC；(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值图17课标文数2015·天津卷 图18【解答】 (1)证明：连接BD，MO.在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点又M为PD的中点，所以PBMO.因为PB平面ACM，MO平面ACM，所以PB平面ACM.(2)证明：因为ADC45°，且ADAC1，所以DAC90°，即ADAC.又PO平面ABCD，AD平面ABCD，所以POAD.而ACPOO，所以AD平面PAC.(3)取DO中点N，连接MN，AN.因为M为PD的中点，所以MNPO，且MNPOPO平面ABCD，得MN平面ABCD，所以MAN是直线AM与平面ABCD所成的角在RtDAO中，AD1，AO，所以DO.从而ANDO.在RtANM中，tanMAN，即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为.20.（本小题满分13分）九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 在如图所示的阳马中，侧棱底面，且，点是的中点，连接. （）证明：平面. 试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；（）记阳马的体积为，四面体的体积为，求的值【答案】（）因为底面，所以. 由底面为长方形，有，而，所以平面. 平面，所以. 又因为，点是的中点，所以. 而，所以平面.四面体是一个鳖臑；（）【解析】试题分析：（）由侧棱底面易知，；而底面为长方形，有，由线面垂直的判定定理知平面，进而由线面垂直的性质定理可得；在中，易得平面，平面，进一步可得四面体的四个面都是直角三角形，即可得出结论；（）结合（）证明结论，并根据棱锥的体积公式分别求出，即可得出所求结果.试题解析：（）因为底面，所以. 由底面为长方形，有，而，所以平面. 平面，所以. 又因为，点是的中点，所以. 而，所以平面. 由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别是（）由已知，是阳马的高，所以；由（）知，是鳖臑的高， ，所以.在中，因为，点是的中点，所以，于是