一元三次方程求根问题(4页).doc

-一元三次方程求根问题-第 4 页一元三次方程求根问题一元三次方程求根问题是一个曾经困扰了人们许多年的问题，后来数学家们在经过非常多的计算后，用巧妙的方法将其解决了。目前，我还不知道一元三次方程求根公式和其推导过程，下面，我就尝试将这个问题解决。显然，所有的一元三次方程都可以转化为x3+bx2+cx+d=0的形式，先从一些三次多项式的公式入手，其中有这样一个公式在这里令x=A+B，m=-3AB，n=-(A3+B3)，则上述公式转为x3+mx+n=0这便是一个特殊的一元三次方程。而 所以由一元二次方程的韦达定理得A3与B3是方程的两根，不考虑A与B之间的顺序，得故在解二次方程时，可以通过配方的方法将 ax2+bx+c=0转化为 再将换元，以达到消去一次项的目的。那么，在解x3+bx2+cx+d=0的过程中，是否也有类似的方法呢？我们可以尝试对其进行“配立方”来消去二次项，得这就转为x3+mx+n=0的形式，带入刚才得到的其求根公式，得 其中以上只得出了一元三次方程一个根的求根公式，还不一定是实根，而一元三次方程一般有一或三个实根，原因可能是在上述求解过程中只在实数的范围内运算，并没有考虑到虚数。如果考虑虚数，在复数的范围内运算，一元三次方程应当有三个根。在上述方法中，另两个根可能要应用到虚数的一些概念和性质，若只考虑实数，无法将其解出。接下来尝试一下在复数范围内，能否将另两个根解出。设刚才求出的根为x1=A+B,先考虑x3+mx+n=0形式的方程，方程可化为 x3-3ABx-(A3+B3)=0由韦达定理可得 代入x1=A+B，得 再由二次方程韦达定理逆定理可得，x2、x3为方程的两根解得不考虑x2与x3的顺序，得故方程x3+mx+n=0的解为再代入，并将三个结果分别减去，便可得一般一元三次方程x3+bx2+cx+d=0的三个根的求根公式，由于公式太长，就不列出来了，实际应用的时候可以分步先求出m、n，再求解。以上方法通过多次换元得到公式，求得的公式非常繁琐，可能不太常用，但我想这种换元的思路还是很重要的