高三数学总复习213函数模型及其应用教案新人教A版.docx

2014届高三数学总复习 2.13函数模型及其应用教案 新人教A版考情分析考点新知函数模型应用问题的考察是江苏高考比拟固定的考察题型，要特别重视，复习时应在准确把握各种函数的特征根底上，依据详细实际问题的情境，建立相关函数模型，利用函数学问分析解决问题 理解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义. 理解函数模型(如二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍运用的函数模型)的广泛应用.1. (必修1P110练习1)某地高山上温度从山脚起每上升100 m降低0.6 .已知山顶的温度是14.6 ，山脚的温度是26 ，则此山的高为_m.答案：1 900解析：(2614.6)÷0.6×1001 900.2. (必修1P71习题10改编)已知某种产品今年产量为1 000件，若安排从明年开场每年的产量比上一年增长10%，则3年后的产量为_件答案：1 331解析：1 000×(110%)31 331.3. (必修1P35练习3改编)已知等腰三角形的周长为20，底边长y是关于腰长x的函数，则该函数的定义域为_答案：(5，10)4. (必修1P110复习10)在不考虑空气阻力的状况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)、火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)的函数关系式为v2 000ln.当燃料质量是火箭质量的_倍时，火箭的最大速度可以到达12 km/s.答案：e61解析：由2 000ln12 000，得1e6，所以e61.5. (必修1P100练习3改编)某商品在近30天内每件的销售价格P(元)刚好间t(天)的函数关系为P且该商品的日销售量Q刚好间t(天)的函数关系为Qt40(0<t30，tN)，则这种商品日销量金额最大的一天是30天中的第_天答案：25解析：设日销量金额为W元，则WP·Q当0<t<25，tN时，W(t)<W(25)；当25t30，tN时，W(t)W(25)1. 常用的函数模型有一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数2. 指数函数、对数函数、幂函数的增长速度的比拟：一般地，在区间(0，)上，尽管函数yax(a>1)，ylogax(a>1)和yxn(n>0)都是增函数，但是它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次上”随着x的增大，yax(a>1)的增长速度越快，会越过并远远大于yxn(n>0)的增长速度；而ylogax(a>1)的增长速度会越慢因此，总会存在一个x0，当x>x0时，有ax0>x>logax0(比拟ax0，x，logax0的大小)3. 函数模型的应用实例的根本题型 (1) 给定函数模型解决实际问题(2) 建立适宜的函数模型解决问题(3) 建立拟合函数模型解决实际问题4. 函数建模的根本程序题型1一次、二次函数模型例1市场营销人员对过去几年某商品的价格及销售数量的关系作数据分析发觉有如下规律：该商品的价格每上涨x%(x>0)，销售数量就削减kx%(其中k为正常数)目前该商品定价为每个a元，统计其销售数量为b个(1) 当k时，该商品的价格上涨多少，才能使销售的总金额到达最大？(2) 在适当的涨价过程中，求使销售总金额不断增加时k的取值范围. 解：由题意，价格上涨x%以后，销售总金额为ya(1x%)·b(1kx%)kx2100(1k)x10 000(1) 当k时，y(x250x10 000)22 500(x50)2，因此当x50，即价格上涨50%时，y取最大值ab.(2) ykx2100(1k)x10 000，此二次函数的图象开口向下，对称轴为x.在适当涨价的过程中，销售总金额不断增加，即要求此函数当自变量x在x|x>0的一个子集内增大时，y也增大，因此>0，解得0<k<1.如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1 km，某炮位于坐标原点已知炮弹放射后的轨迹在方程ykx(1k2)x2(k>0)表示的曲线上，其中k及放射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标(1) 求炮的最大射程；(2) 设在第一象限有一飞行物(忽视其大小)，其飞行高度为3.2 km，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由解：(1) 令y0，得kx(1k2)x20，由实际意义和题设条件知x>0，k>0，故x10.当且仅当k1时取等号所以炮的最大射程为10 km.(2) 因为a>0，所以炮弹可击中目的存在k>0，使3.2ka(1k2)a2成立关于k的方程a2k220aka2640有正根判别式(20a)24a2(a264)0a6.所以当a不超过6(km)时，可击中目的题型2指数、对数函数模型例2设在海拔xm处的大气压强是yPa，y及x之间的函数关系为ycekx，其中c、k为常量已知某天的海平面的大气压为1.01×105 Pa，1000m高空的大气压为0.90×105Pa，求600m高空的大气压强(保存3位有效数字)解：将x0时，y1.01×105Pa和x1000时，y0.90×105 Pa分别代入函数式ycekx，得 c1.01×105， e1 000k， k×ln，用计算器算得k1.154×104， y1.01×105×e1.154×104x，将x600代入上述函数式，得y9.42×104Pa，即在600m高空的大气压强约为9.42×104 Pa.我国辽东半岛普兰旁边的泥炭层中，开掘出的古莲子，至今大局部还能发芽开花，这些古莲子是多少年以前的遗物呢？要测定古物的年头，可用放射性碳法在动植物的体内都含有微量的放射性14C，动植物死亡后，停顿了新陈代谢，14C不再产生，且原有的14C会自动衰变，经过5570年(叫做14C的半衰期)，它的剩余量只有原始量的一半，经过科学家测定知道，若14C的原始含量为a，则经过t年后的剩余量a(及a之间满意aa·ekt)现测得出土的古莲子中14C剩余量占原量的87.9%，试推算古莲子的生活年头解：因aa·ekt，即ekt.两边取对数，得lgktlge.又知14C的半衰期是5570年，即t5570时，.故lg5570klge，即klge.代入式，并整理，得t.这就是利用放射性碳法计算古生物年头的公式现测得古莲子的是0.879，代入公式，得t1 036.即古莲子约是1 036年前的遗物题型3分段函数模型例3已知美国苹果公司消费某款iPhone手机的年固定本钱为40万美元，每消费1万只还需另投入16万美元设苹果公司一年内共消费该款iPhone手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R(x)万美元，且R(x)(1) 写出年利润W(万美元)关于年产量x(万只)的函数解析式；(2) 当年产量为多少万只时，苹果公司在该款iPhone手机的消费中所获得的利润最大？并求出最大利润解：(1) 当0<x40，WxR(x)(16x40)6x2384x40；当x>40，WxR(x)(16x40)16x7 360.所以，W(2) 当0<x40，W6(x32)26 104，所以WmaxW(32)6 104； 当x>40时，W16x7 360，由于16x21 600，当且仅当16x，即x50(40，)时，W取最大值为5 760.综合知，当x32时，W取最大值为6 104.经市场调查，某种商品在过去50天的销量和价格均为销售时间t(天)的函数，且销售量近似地满意f(t)2t200(1t50，tN)，前30天价格为g(t)t30(1t30，tN)，后20天价格为g(t)45(31t50，tN)(1) 写出该种商品的日销售额S刚好间t的函数关系式；(2) 求日销售额S的最大值解：(1)依据题意得S 即S (2)当1t30，tN时，S(t20)26400，当t20时，S的最大值为6400；当31t50，tN时，S90t9000为减函数，当t31时，S的最大值是6210， 6210<6400， 当t20时，日销售额S有最大值6400.题型4分式函数模型例4如图，ABCD是正方形空地，边长为30m，电源在点P处，点P到边AD、AB间隔 分别为9m、3m.某广告公司安排在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕MNEF，MNNE169.线段MN必需过点P，端点M、N分别在边AD、AB上，设ANx(m)，液晶广告屏幕MNEF的面积为S(m2)(1) 用x的代数式表示AM；(2) 求S关于x的函数关系式及该函数的定义域；(3) 当x取何值时，液晶广告屏幕MNEF的面积S最小？解：(1) AM(10x30)(2) MN2AN2AM2x2. MNNE169， NEMN. SMN·NEMN2，定义域为10，30(3) S×，令S0，得x0(舍)或93.当10x<93时，S<0，S关于x为减函数；当93<x30时，S>0，S关于x为增函数 当x93时，S获得最小值故当AN长为93 m时，液晶广告屏幕MNEF的面积S最小如图，两个工厂A、B相距2km，点O为AB的中点，要在以O为圆心，2km为半径的圆弧MN 上的某一点P处建一幢办公楼，其中MAAB，NBAB.据测算此办公楼受工厂A的“噪音影响度”及间隔 AP的平方成反比，比例系数为1；办公楼受工厂B的“噪音影响度”及间隔 BP的平方也成反比，比例系数为4，办公楼及A、B两厂的“总噪音影响度”y是A、B两厂“噪音影响度”的和，设AP为xkm.(1) 求“总噪音影响度”y关于x的函数关系式，并求出该函数的定义域；(2) 当AP为多少时，“总噪音影响度”最小？解：(1) (解法1)如图，连结OP，设AOP，则.在AOP中，由余弦定理得x212222×1×2cos54cos，在BOP中，由余弦定理得BP212222×1×2cos()54cos， BP210x2， y . ， x ， y(x)(解法2)建立如图所示的直角坐标系，则A(1，0)，B(1，0)，设P(m，n)，则PA2(m1)2n2，PB2(m1)2n2. m2n24，PAx， PB210x2(后面解法过程同解法1)(2) (解法1)y()x2(10x2) (5)(52)，当且仅当，即x，时取等号故当AP km时，“总噪音影响度”最小(解法2)由y，得y. x ， 令y0，得x，且当x时，y<0；当x(，时，y>0. x时，y取微小值，也即最小值故当AP km时，“总噪音影响度”最小【示例】(本题模拟高考评分标准，满分14分)某单位确定对本单位职工实行年医疗费用报销制度，拟制定年医疗总费用在2万元至10万元(包括2万元和10万元)的报销方案，该方案要求同时具备下列三个条件： 报销的医疗费用y(万元)随医疗总费用x(万元)增加而增加； 报销的医疗费用不得低于医疗总费用的50%； 报销的医疗费用不得超过8万元(1) 请你分析该单位能否采纳函数模型y0.05(x24x8)作为报销方案；(2) 若该单位确定采纳函数模型yx2lnxa(a为常数)作为报销方案，请你确定整数a的值(参考数据：ln20.69，ln102.3)审题引导： 正确理解三个条件： 要求模型函数在2，10上是增函数； 要满意y恒成立； 要满意y的最大值小于8.标准解答： 解：(1) 函数y0.05(x24x8)在2，10上是增函数，满意条件，(2分)当x10时，y有最大值7.4万元，小于8万元，满意条件.(4分)但当x3时，y<，即y不恒成立，不满意条件，故该函数模型不符合该单位报销方案(6分)(2) 对于函数模型yx2lnxa，设f(x)x2lnxa，则f(x)10. f(x)在2，10上是增函数，满意条件.由条件，得x2lnxa，即a2lnx在x2，10上恒成立，令g(x)2lnx，则g(x)，由g(x)>0得0x<4， g(x)在(0，4)上是增函数，在(4，10)上是减函数 ag(4)2ln424ln22.(10分)由条件，得f(10)102ln10a8，解得a2ln102.另一方面，由x2lnxax，得a2lnx在x2，10上恒成立， a2ln2.(12分)综上所述，a的取值范围为4ln22，2ln2， 满意条件的整数a的值为1.(14分)1. (2013·陕西)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影局部)，则其边长x为_(m)答案：20解析：设矩形花园的宽为y m，则，所以y40x，所以矩形花园的面积Sx(40x)x240x(x20)2400，当x20时，面积最大2. (2013·通州模拟)将一个边长分别为a、b(0<a<b)的长方形的四个角切去四个一样的正方形，然后折成一个无盖的长方体形的盒子若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则的取值范围是_答案：解析：设减去的正方形边长为x，其外接球直径的平方R2(a2x)2(b2x)2x2，由R0， x(ab) a<b， x， 0<(ab)<， 1<<.3. (2013·无锡期末)要制作一个如图的框架(单位：m)，要求所围成的总面积为19.5(m2)，其中ABCD是一个矩形，EFCD是一个等腰梯形，梯形高hAB，tanFED，设ABx m，BCy m.(1) 求y关于x的表达式；(2) 如何设计x、y的长度，才能使所用材料最少？解：(1) 如图，在等腰梯形CDEF中，DH是高依题意：DHABx，EH×xx， xyxxyx2， yx. x0，y0， x0，解之得0x. 所求表达式为yx.(2) 在RtDEH中， tanFED， sinFED， DEx×x， l(2x2y)2×x2y6xx6xx226，当且仅当x，即x3时取等号，此时yx4， AB3 m，BC4 m时，能使整个框架所用材料最少4. (2013·南通一模)某公司为一家制冷设备厂设计消费某种型号的长方形薄板，其周长为4 m这种薄板须沿其对角线折叠后运用如图所示，ABCD(ABAD)为长方形薄板，沿AC折叠后AB交DC于点P.当ADP的面积最大时最节能，凹多边形ACBPD的面积最大时制冷效果最好(1) 设ABx m，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；(2) 若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？(3) 若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？解：(1) 由题意，ABx，BC2x.因x2x，故1x2.设DPy，则PCxy.因ADPCBP，故PAPCxy.由PA2AD2DP2，得(xy)2(2x)2y2y2，1x2.(2) 记ADP的面积为S1，则S1(2x)332，当且仅当x(1，2)时，S1获得最大值故当薄板长为m，宽为(2)m时，节能效果最好(3) 记多边形ACBPD的面积为S2，则S2x(2x)(2x)3，1x2.于是S20x.关于x的函数S2在(1，)上递增，在(，2)上递减所以当x时，S2获得最大值故当薄板长为 m，宽为(2)m时，制冷效果最好1. 某驾驶员喝了mL酒后，血液中的酒精含量f(x)(mg/mL)随时间x(h)改变的规律近似满意表达式f(x)酒后驾车及醉酒驾车的标准及相应的惩罚规定为驾驶员血液中酒精含量不得超过0.02mg/mL，据此可知，此驾驶员至少要过_h后才能开车(准确到1h)答案：4解析：当0x1时，5x2，此时不宜开车；由·0.02，得x4.2. 一辆列车沿直线轨道前进，从刹车开场到停车这段时间内，测得刹车后t s内列车前进的间隔 为S27t0.45t2 m，则列车刹车后_s车停下来，期间列车前进了_m.答案：30405解析：S(t)270.9t，由瞬时速度v(t)S(t)0得t30(s)，期间列车前进了S(30)27×300.45×302405(m)3. 进步过江大桥的车辆通行实力可改善整个城市的交通状况在一般状况下，大桥上的车流速度v(km/h)是车流密度x(辆/千米)的函数当桥上的车流密度到达200辆/km时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/km时，车流速度为60km/h，探讨说明：当20x200时，车流速度v是车流密度x的一次函数(1) 当0x200时，求函数v(x)的表达式；(2) 当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)x·v(x)可以到达最大，并求出其最大值(准确到1辆/小时)解：(1) 由题意，当0x20时，v(x)60；当20x200时，设v(x)axb.再由已知，得解得故函数v(x)的表达式为v(x)(2) 依题意并由(1)可得f(x)当0x20时，f(x)为增函数，故当x20时，其最大值为60×201200；当20x200时，f(x)x(200x)2，当且仅当x200x，即x100时，等号成立所以，当x100时，f(x)在区间20，200上获得最大值.综上，当x100时，f(x)在区间0，200上获得最大值3333，即当车流密度为100辆/km时，车流量可以到达最大，最大值约为3333辆/h.4. 某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进展开发建立，阴影局部为一公共设施建立不能开发，且要求用栏栅隔开(栏栅要求在始终线上)，公共设施边界为曲线f(x)1ax2(a0)的一局部，栏栅及矩形区域的边界交于点M、N，交曲线于点P，设P(t，f(t)(1) 将OMN(O为坐标原点)的面积S表示成t的函数S(t)；(2) 若在t处，S(t)获得最小值，求此时a的值及S(t)的最小值解：(1) y2ax， 切线斜率是2at， 切线方程为y(1at2)2at(xt)令y0，得x， M，令x0，得y1at2， N(0，1at2)， OMN的面积S(t).(2) S(t)，由a0，t0，S(t)0，得3at210，即t.当3at210，即t时，S(t)>0；当3at21<0，即0<t<时，S(t)<0. 当t时，S(t)有最小值已知在t处，S(t)获得最小值，故有， a.故当a，t时，S(t)minS.1. 及函数有关的应用型问题，函数模型可以是已知条件中给出其表达式，也可以是由已知条件建立函数模型，明显后者难度较大，在解题过程中不要遗忘考虑函数的定义域2. 解应用问题，首先，应通过审题，分析原型构造，深入相识问题的实际背景，确定主要冲突，提出必要假设，将应用问题转化为数学问题求解；然后，经过检验，求出应用问题的解要能顺当解答一个应用问题重点要过三关：(1) 事理关：通过阅读，知道讲的是什么，培育学生独立获得学问的实力；(2) 文理关：须要把实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学关系；(3) 数理关：在构建数学模型的过程中，要求学生有对数学学问的检索实力，认定或构建相应的数学模型，完成由实际问题向数学问题的转化，构建了数学模型后，要正确解出数学问题的答案，须要扎实的根底学问和较强的数理实力请运用课时训练(B)第13课时(见活页)备课札记