组合变形的强度计算.docx

第8章组合变形的强度计算8.1组合变形的概念在前面几章中，争论了构件在发生轴向拉伸（压缩）、剪切、扭转、弯曲等基本变形时 的强度和刚度问题。在工程实际中，有许多构件在荷载作用下往往发生两种或两种以上的 基本变形。假设有其中一种变形是主要的，其余变形所引起的应力（或变形）很小，那么构件可 按主要的基本变形进行计算。假设几种变形所对应的应力（或变形）属于同一数量级，那么构件 的变形为组合变形。例如，如图8.1（a）所示吊钩的A8段，在力尸作用下，将同时产生拉 伸与弯曲两种基本变形；机械中的齿轮传动轴（如图8.1（b）所示）在外力作用下，将同时发 生扭转变形及在水平平面和垂直平面内的弯曲变形；斜屋架上的工字钢檀条（如图8.2（a）所 示），可以作为简支梁来计算（如图8.2（b）所示），由于q的作用线并不通过工字截面的任一根 形心主惯性轴（如图8.2（c）所示），那么引起沿两个方向的平面弯曲，这种状况称为斜弯曲。(a)(b)图8.2斜屋架上的工字钢檀条求解组合变形问题的基本方法是叠加法，即首先将组合变形分解为几个基本变形，然yy图8.11偏心拉伸的应力分析式(b)是一个平面方程，这说明正应力在横截面上按线性规律变化，而应力平面与横 截面相交的直线(沿该直线。=0)就是中性轴(如图8.12所示)。将中性轴上任一点 C(2°,y°)代入式(b),即得中性轴方程为1”0 e汽(8-4)1 + - + = 0i2z25%z轴上的截距、,和。一分另U可)Zay,而令用=0,相应的z0(8-5).9图8. 12中性轴及应力分布明显，中性轴是一条不通过截面形心的直线，它在丁、 以从式(8-4)计算出来。在上式中，令Zo=O,相应的外即为 即为应。由此求得2，a. ey式(8-5)说明，中性轴截距。式(8-5)说明，中性轴截距。生和偏心距ey, e:符号相反，所以中性轴与外力作用点K位于截面形心。的两侧，如图8.12所示。中性轴把截面分为两局部，一局部受拉应 力，另一局部受压应力。确定了中性轴的位置后，可作两条平行于中性轴且与截面周边相切的直线，切点3 与D2分别是截面上最大拉应力与最大压应力的点，分别将O(Z,y)与D2(z2,y2)的坐标 代入式(a),即可求得最大拉应力和最大压应力的值F Fe,Z 1 A Iy I7- Y(8-6)F Fe,z2 Fe y22 A Iy Iz J由于危急点处于单轴应力状态，因此，在求得最大正应力后，就可依据材料的许用应 力日来建立强度条件。应当留意，对于周边具有棱角的截面，如矩形、箱形、工字形等，其危急点必定在截 面的棱角处，并可依据杆件的变形来确定，无需确定中性轴的位置。【例题8.3】试求如图8.13(a)所示杆内的最大正应力。力尸与杆的轴线平行。(a)(b)El 8.13例题8.3图解：横截面如图8.13(b)所示，其面积为A = 4 x 2 + 4o x = 12a2 形心C的坐标为a x 4 x 4a + 4a x 2。x。 .yc -二 2aa x 4a + 4 x 2。zc =Q形心主惯性矩义(4。)3小4ax(2a)3 c 彳 2 C 4F a x 4ax (2。)- H-2ax4axa = 32a1212Ivc =2ax (4a)3 +4axa3 = lla41力F对主惯性轴孔和Zc之矩M v = F x2a = 2Fa , M 一 = F x2a = 2Fayczc比拟如图8.13(b)所示截面4个角点上的正应力可知，角点4上的正应力最大Mzc x2a ! Myc x2a,'cF 2Fa x 2a 2Fa x la 八 Fr +； + = 0.572 Ila2 32/ lltz4a2截面核心式(8-6)中的%、Z2均为负值。因此当外力的偏心距(即外，)较小时，横截面上就可 能不消失压应力，即中性轴不与横截面相交。同理，当偏心压力方的偏心距较小时，杆 的横截面上也可能不消失拉应力。在工程中，有不少材料抗拉性能差，但抗压性能好且价 格比拟廉价，如砖、石、混凝土、铸铁等。在这类构件的设计计算中，往往认为其拉伸强 度为零。这就要求构件在偏心压力作用下，其横截面上不消失拉应力，由公式(8-5)可知，对于给定的截面，e对于给定的截面，eJ值越小，、生值就越大，即外力作用点离形心越近，中性轴距形心就越远。因此，当外力作用点位于截面形心四周的一个区域内时，就可保证中性轴 不与横截面相交，这个区域称为截面核心。当外力作用在截面核心的边界上时，与此相对 应的中性轴就正好与截面的周边相切(如图8.14所示)。采用这一关系就可确定截面核心的 边界。eyl ='，=为确定任意外形截面(如图8.14所示)的截面核心边界，可将与截面周边相切的任始终 线看作是中性轴，其在y、z两个形心主惯性轴上的截距分别为4Vl和巩1由式(8-5)确 定与该中性轴对应的外力作用点1,即截面核心边界上一个点的坐标(%,%):同样，分别将与截面周边相切的直线，等看作是中性轴，并按上述方法求得 与其对应的截面核心边界上点2, 3,的坐标。连接这些点所得到的一条封闭曲线，即 为所求截面核心的边界，而该边界曲线所包围的带阴影线的面积，即为截面核心(如 图8.14所示)，下面举例说明截面核心的详细作法。【例题8.4】一矩形截面如图8.15所示，两边长度分别为b和/,求作截面核心。解：先作与矩形四边重合的中性轴、和，采用式(8-5)得a.bh312 bhhb3h2nA 二五 J之A - bh - 124V和牝为中性轴的截距,为相应的外力作用点的坐标。对中性轴，有% =9,生=8,代入式(8-5),得b2h2.21,2ey 人二，J Uay b682一即相应的外力作用点为图8.15上的点lo对中性轴，有% =8,凡="，代入式(8-5),得b2h22 2,e 一上一上一0 , e 心，匕力U , 匕 7)7QV 8 生，6-2即相应的外力作用点为图8.15上的点2o同理，可得相应于中性轴和的外力作用点的位置如图上的点3和点4o图8.15例题8.4图图8.15例题8.4图至于由点1到点2,外力作用点的移动规律如何，我们可以从中性轴开头，绕截面 点A作一系列中性轴(图中虚线)，始终转到中性轴，求出这些中性轴所对应的外力作用 点的位置，就可得到外力作用点从点1到点2的移动轨迹。依据中性轴方程式(8-4),设 6 V和e1为常数，孔和z°为流淌坐标，中性轴的轨迹是一条直线。反之，假设设方和z。为常 数，5和4为流淌坐标，那么力作用点的轨迹也是一条直线。现在，过角点A的全部中性 轴有一个公共点，其坐标心,-4为常数，相当于中性轴方程(8-4)中的y。和z。，而需求 12 2)的外力作用点的轨迹，那么相当于流淌坐标外和e-于是可知，截面上从点1到点2的轨 迹是一条直线。同理可知，当中性轴由绕角点3转到，由绕角点。转到时，外力 作用点由点2到点3,由点3到点4的轨迹，都是直线。最终得到一个菱形(图中的阴影 区)。即矩形截面的截面核心为一菱形，其对角线的长度为截面边长的三分之一。对于具有棱角的截面，均可按上述方法确定截面核心。对于周边有凹进局部的截面 (例如槽形或工字形截面等)，在确定截面核心的边界时，应当留意不能取与凹进局部的周 边相切的直线作为中性轴，由于这种直线明显与横截面相交。【例题8.51一圆形截面如图8.16所示，直径为d,试作截面核心。图8.16例题8. 5图解：由于圆截面对于圆心。是极对称的，因而，截面核心的边界对于圆心也是极对称 的，即为一圆心为O的圆。在截面周边上任取一点A ,过该点作切线作为中性轴，该中 性轴在y、z两轴上的截距分别为d2而圆形截面的哈，将以上各值代入式(8-5),即可得d-上 16 di2yey =二 一 7 = 一 万，生1=二 °48%2从而可知，截面核心边界是一个以。为圆心、以为半径的圆，即图中带阴影的 8区域。8.5扭转与弯曲机械中的传动轴与皮带轮、齿轮或飞轮等连接时，往往同时受到扭转与弯曲的联合作 用。由于传动轴都是圆截面的，故以圆截面杆为例，争论杆件发生扭转与弯曲组合变形时 的强度计算。设有一实心圆轴AB, A端固定，B端连一手柄8C,在。处作用一铅直方向力尸，如 图8.17(a)所示，圆轴承受扭转与弯曲的组合变形。略去自重的影响，将力尸向轴 端截面的形心B简化后，即可将外力分为两组，一组是作用在轴上的横向力耳，另一组 为在轴端截面内的力偶矩=4(如图8.17(b)所示)，前者使轴发生弯曲变形，后者使轴 发生扭转变形。分别作出圆轴AB的弯矩图和扭矩图(如图8.17(c)和图8.17(d)所示)，可 见，轴的固定端截面是危急截面，其内力重量分别为M = Fl, T = M e = Fa在截面A上弯曲正应力。和扭转切应力c均按线性分布(如图8.17(e)和图8.17所 示)。危急截面上铅垂直径上下两端点G和。2处是截面上的危急点，因在这两点上正应力 和切应力均到达极大值，故必需校核这两点的强度。对于抗拉强度与抗压强度相等的塑性 材料，只需取其中的一个点G来争论即可。G点的弯曲正应力和扭转切应力分别为(a)对于直径为d的实心圆截面，抗弯截面系数与抗扭截面系数分别为TT izdT_ - Tzd CYMT/I W =，叽=2W(b)32016围绕G点分别用横截面、径向纵截面和切向纵截面截取单元体，可得G点处的应力 状态(如图8.17(g)所示)。明显，G点处于平面应力状态，其三个主应力为bI > = + yl(y2 + 4r2 ， cr, =06222(b)(b)E J OTfrnTnTnTnmTTTTrrrrTT图6Fa 图 (d)图8.17弯扭组合变形对于用塑性材料制成的杆件，选用第三或第四强度理论来建立强度条件，即4 W a o假设用第三强度理论，那么相当应力为 - % = Vo-2 +4r2(8-7a)假设用第四强度理论，那么相当应力为= Jb； +&+ 3/2(8-7b)将(a)、(b)两式代入式(8-7),相当应力表达式可改写为>/m2+t2 w>/m2+t2 w)叫 7 1 _ J” +0.75T2W 鬲 + wJ = iv(8-8a)(8-8b)在求得危急截面的弯矩M和扭矩T后，就可直接采用式(8-8)建立强度条件，进行强 度计算。式(8-8)同样适用于空心圆杆，而只需将式中的W改用空心圆截面的弯曲截面 系数。应当留意的是，式(8-7)适用于如图8.17(g)所示的平面应力状态，而不管正应力。是 由弯曲还是由其他变形引起的，不管切应力是由扭转还是由其他变形引起的，也不管正应 力和切应力是正值还是负值。工程中有些杆件，如船舶推动轴，有止推轴承的传动轴等除 了承受弯曲和扭转变形外，同时还受到轴向压缩(拉伸)，其危急点处的正应力。等于弯曲 正应力与轴向拉(压)正应力之和，相当应力表达式(8-7)仍旧适用。但式(8-8)仅适用于扭转 与弯曲组合变形下的圆截面杆。通过以上举例，对传动轴等进行静力强度计算时一般可按以下步骤进行。(1)外力分析(确定杆件组合变形的类型)。(2)内力分析(确定危急截面的位置)。(3)应力分析(确定危急截面上的危急点)。(4)强度计算(选择适当的强度理论进行强度计算)。【例题8.6机轴上的两个齿轮(如图8.18(a)所示)，受到切线方向的力片=5kN ,g=10kN作用，轴承A及。处均为较支座，轴的许用应力。= 100MPa,求轴所需的直径d。解：(1)外力分析。把尸|及尸2向机轴轴心简化成为竖向力4、水平力尸2及力偶矩Me = x = P,x- = Wx50xl() 0.75(kN-m)两个力使轴发生弯曲变形，两个力偶矩使轴在段内发生扭转变形。(2)内力分析。3C段内的扭矩为T = Mc= 0.75(kN m)轴在竖向平面内因R作用而弯曲，弯矩图如图8.18(b)所示，引起3、。处的弯矩分 别为(/ + )I + 2。(/ + )I + 2。pa2，MC C1 l + 2a轴在水平面内因P"乍用而弯曲，在B、。处的弯矩分别为言笔好图8.18例题8.6图yB、。两个截面上的合成弯矩为mr=Jm1+m12n y rS Iri ZPl + afa2八小z 、A+ ?-=0.676(kN - m)(/ + 2。)2(/ + 2a)2Mc = JmT+mL轴内每一截面的弯矩都由两个弯矩重量合成，且合成弯矩的作用平面各不相同，但由 于圆轴的任始终径都是形心主轴，抗弯截面系数W都相同，所以可将各截面的合成弯矩 画在同一张图内(如图8.18(c)所示)。(3)强度计算按第四强度理论建立强度条件VI7 兀屋 /(L44xl03)2 + 0.75(0.75 xlO3)2W =三-T32100 xlO6解之得d = 0.051m = 51mm后分别考虑构件在每一种基本变形状况下的应力和变形。最终采用叠加原理，综合考虑各 基本变形的组合状况，以确定构件的危急截面、危急点的位置及危急点的应力状态，并据 此进行强度计算。试验证明，只要构件的刚度足够大，材料又听从胡克定律，那么由上述叠 加法所得的计算结果是足够精确的。反之，对于小刚度、大变形的构件，必需要考虑各基 本变形之间的相互影响，例如大挠度的压弯杆，叠加原理就不能适用。下面分别争论在工程中常常遇到的几种组合变形。8.2斜弯曲前面已经争论了梁在平面弯曲时的应力和变形计算。在平面弯曲问题中，外力作用在 截面的形心主轴与梁的轴线组成的纵向对称面内，梁的轴线变形后将变为一条平面曲线， 且仍在外力作用面内。在工程实际中，有时会遇到外力不作用在形心主轴所在的纵向对称 面内，如上节提到的屋面檀条的受力状况(如图8.2所示)。在这种状况下，杆件可考虑为 在两相互垂直的纵向对称面内同时发生平面弯曲。试验及理论争论指出，此时梁的挠曲线 不再在外力作用平面内，这种弯曲称为斜弯曲。现在以矩形截面悬臂梁为例(如图8.3(a)所示)，分析斜弯曲时应力和变形的计算。这 时梁在Fi和/2作用下，分别在水平纵向对称面(。*z平面)和铅垂纵向对称面(。孙平面)内 发生对称弯曲。在梁的任意横截面/n-m上，由乙和尸2引起的弯矩值依次为My = Fxx, M_ = F2(x-a)在横截面mm上的某点C(y, z)处由弯矩和性引起的正应力分别为，My , Mza = -z ， (J = y4 A依据叠加原理，/和。的代数和即为。点的正应力，即(8-1)(8-1), My M一c + a =-z y式中，/y和/z分别为横截面对y轴和Z轴的惯性矩；必,和 跖分别是截面上位于水平 和铅垂对称平面内的弯矩，且其力矩矢量分别与y轴和Z轴的正向全都(如图8.3(b)所 示)。在详细计算中，也可以先不考虑弯矩My、此和坐标y、z的正负号，以其肯定值代 入，然后依据梁在"和b2分别作用下的变形状况，来推断式(8-1)右边两项的正负号。(a)图8.3斜弯曲(b)为了进行强度计算，必需先确定梁内的最大正应力。最大正应力发生在弯矩最大的截 面(危急截面)上，但要确定截面上哪一点的正应力最大(就是要找出危急点的位置)，应先 确定截面上中性轴的位置。由于中性轴上各点处的正应力均为零，令3, Z。)代表中性轴上的任一点，将它的坐标值代入式(8-1),即可得中性方程(8-2)从上式可知，中性轴是一条通过横截面形心的直线，令中性轴与y轴的夹角为a ,那么 2 M I Itana =-=tan 69% My I/ h式中，角度e是横截面上合成弯矩加="不为的矢量与y轴的夹角(如图8.3(b)所 示)。一般状况下，由于截面的/vwA，因而中性轴与合成弯矩M所在的平面并不垂直。 而截面的挠度垂直于中性轴(如图8.4(a)所示)，所以挠曲线将不在合成弯矩所在的平面 内，这与平面弯曲不同。对于正方形、圆形等截面以及某些特别组合截面，其中/v=/一， y z就是全部形心轴都是主惯性轴，故2 = 0,因而，正应力可用合成弯矩M进行计算。但 是，梁各横截面上的合成弯矩M所在平面的方位一般并不相同，所以，虽然每一截面的 挠度都发生在该截面的合成弯矩所在平面内，梁的挠曲线一般仍是一条空间曲线。可是， 梁的挠曲线方程仍应分别按两垂直平面内的弯曲来计算，不能直接用合成弯矩进行计算。(b)图8.4斜弯曲时横截面上的应力状况确定中性轴的位置后，就可看出截面上离中性轴最远的点是正应力b值最大的点。一 般只要作与中性轴平行且与横截面周边相切的线，切点就是最大正应力的点。如图8.4(b) 所示的矩形截面梁，明显右上角。与左下角。2有最大正应力值，将这些点的坐标8, zD 或。2, Z2)代入式(8-1),可得最大拉应力5 max和最大压应力4.max。在确定了梁的危急截面和危急点的位置，并算出危急点处的最大正应力后，由于危急 点处于单轴应力状态，于是，可将最大正应力与材料的许用正应力相比拟来建立强度条件，进行强度计算。【例题8.1】一长2m的矩形截面木制悬臂梁，弹性模量£ = L0xl()4Mpa,梁上作用 有两个集中荷载£=l.3kN和6=2.5kN ,如图8.5(a)所示，设截面人=0.6人 M = 10MPao试选择梁的截面尺寸，并计算自由端的挠度。CVNTE,=0.337kN产2=2.5 kNFiz=1.26kN(b)图8.5例题8.1图解：(1)选择梁的截面尺寸。将自由端的作用荷载片分解耳v二sinl5'=O.336kNEz =6cosl50=l,256kN此梁的斜弯曲可分解为在盯平面内及z平面内的两个平面弯曲，如图8.5(c)所示。由图8.5可知性和外，在固定端的截面上到达最大值，故危急截面上的弯矩Mz =2.5x1 + 0.336 x 2 = 3.172(kN - m)A/、=L256x2 = 2.215(kN-m)w.=-x 0.6/i-h2=0.1h3z66wv = hb2 = xh- (0.6)A2 = 0.06/z366上式中N与"y只取肯定值，且截面上的最大拉压应力相等，故M, M、3.172xl06 2.512xl06b = - =；1；W=Wy O.l/i3 0.06/z373.587 xlO67 、 J73.587xl06、h N ,-二 194.5(mm)可取 h=200mm, /?二 120mm。(2)计算自由端的挠度。分别计算吗与丝，如图8.5(c)所示，那么2)2)3EL 6EL3Z4)0.336xIO3 x23+ix2.5xl03xl32x(3x2-l)(m)3xl.0xl04xl06x 12=-3.72 xlO-3 m = -3.72(mm)31.256x103x233EIy 3xl.0xl04xl06312(m)= 0.0116m = 11.6(mm)+ (11.6)2 =12.18(mm)w =72.45°/3 - arctan8.3拉伸(压缩)与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合变形是工程中常见的状况。如图8.6(a)所示的起重机横梁 AB,其受力简图如图8.6(b)所示。轴向力乙和尸小.引起压缩，横向力7%, W , F、,引起 弯曲，所以杆件产生压缩与弯曲的组合变形。对于弯曲刚度£7较大的杆，由于横向力引 起的挠度与横截面的尺寸相比很小，因此，由轴向力引起的弯矩可以略去不计。于是，可 分别计算由横向力和轴向力引起的杆横截面上的正应力，按叠加原理求其代数和，即得横 截面上的正应力。下面我们举一简洁例子来说明。悬臂梁A3(如图8.7(a)所示)，在它的自由端A作用一与铅直方向成0角的力"在纵向 对称面孙平面内)。将尸力分别沿l轴y轴分解，可得Fx = Fsin9F = Feos入为轴向力，对梁引起拉伸变形(如图8.7(b)所示)；工为横向力，引起梁的平面弯曲 (如图8.7(c)所示)。距A端的截面上的内力为轴力Fn = F, = Fsin?弯矩Mz = -F、x = -Fcos(p x(b)图8.6起重机在轴向力工作用下，杆各个横截面上有相同的轴力”=工。而在横向力作用下，固 定端横截面上的弯矩最大，A/max =-Fcos(p-l,故危急截面是在固定端。图8.7拉弯组合变形与轴力Fn对应的拉伸正应力5在该截面上各点处均相等，其值为区_里_空吆A 一 A 一 A而与Mmax对应的最大弯曲正应力外，消失在该截面的上、下边缘处，其肯定值为FlcuscpFlcuscp在危急截面上与几，Mmax对应的正应力沿截面高度变化的状况分别如图8.8(a)和图8.8(b)所示。将弯曲正应力与拉伸正应力叠加后，正应力沿截面高度的变化状况如 图8.8(c)所示。假设5外，那么bmin为拉应力；假设那么bmin为压应力。所以bmm之值须视轴向力和横向力分别引起的应力而定。如图8.7(C)所示的应力分布 图是在54的状况下作出的。明显，杆件的最大正应力是危急截面上边缘各点处的拉应力，其值为axFsing + Ficos (p(8-3)由于危急点处的应力状态为单轴应力状态，故可将最大拉应力与材料的许用应力相比 较，以进行强度计算。应当留意，当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时，杆内的最大拉应力和最大压 应力必需分别满意杆件的拉、压强度条件。假设杆件的抗弯刚度很小，那么由横向力所引起的挠度与横截面尺寸相比不能略去，此时 就应考虑轴向力引起的弯矩。图8.8拉弯组合变形的应力叠加【例题8.2最大吊重W = 8kN的起重机如图8.9(a)所示。假设AB杆为工字钢，材料 为Q235钢，b= 100MPa,试选择工字钢型号。解：(1)先求出杆的长度为I = a/2.52+0.8£ = 2.62(m)(2)以A3为争论对象，其受力如图8.9(b)所示，由平衡方程2“4=0，得0 8方x2.5 8x(2.5 + L5) = 02.62F = 42kNXX40kN(c)图8.9例题8.2图把F分解为沿AB杆轴线的重量&和垂直于AB杆轴线的重量尸¥ ,可见AB杆在AC x )段内产生压缩与弯曲的组合变形。=F义笠-2.62= 40(kN)2.62= 12.8(kN)作AB杆的弯矩图和AC段的轴力图如图8.9(c)所示。从图中看出，在C点左侧的截 面上弯矩为最大值，而轴力与其他截面相同，故为危急截面。开头试算时，可以先不考虑轴力网的影响，只依据弯曲强度条件选取工字钢。这时W 三也吧=-Xi。=12x W3(m3) = 120(01?)a100 xlO6查型钢表，选取16号工字钢，W = 141cm3, A = 26.1cm2 o选定工字钢后，同时考虑 轴力不及弯矩"的影响，再进行强度校核。在危急截面。的上边缘各点有最大压应力， 且为区+丝吧A W40xlQ3 12xlQ326.1 xlO4 -141XW6=100.5 x 106(Pa) = 100.5(MPa)结果说明，最大压应力与许用应力接近相等，故无需重新选择截面的型号。8.4偏心拉伸（压缩）作用在直杆上的外力，当其作用线与杆的轴线平行但不重合时，将引起偏心拉伸或偏 心压缩。钻床的立柱（如图8.10（a）所示）和厂房中支承吊车梁的柱子（如图8.10（b）所示）即为 偏心拉伸和偏心压缩。图8.10偏心拉（压）实例8.4.1 偏心拉（压）的应力计算现以横截面具有两对称轴的等直杆承受距离截面形心为e （称为偏心距）的偏心拉力 尸（如图8.11（a）所示）为例，来说明偏心拉杆的强度计算。设偏心力方作用在端面上的K 点，其坐标为（冬,4）。将力耳向截面形心O点简化，把原来的偏心力厂转化为轴向拉力 F；作用在Z平面内的弯曲力偶矩G ；作用在孙平面内的弯曲力偶矩 Me. =F-eyO在这些荷载作用下（如图8.11（b）所示），杆件的变形是轴向拉伸和两个纯弯曲的组合。 当杆的弯曲刚度较大时，同样可按叠加原理求解。在全部横截面上的内力一一轴力和弯矩 均保持不变，即Fn=F，M y = M ey = F - e2, Mz = Mez=F-ey叠加上述三内力所引起的正应力，即得任意横截面mm上某点B（y, z）的应力计算式 FM zMzyFFe.zFe ycr = + + = + + （a）AIy IzA IyI2式中，A为横截面面积；和人分别为横截面对y轴和z轴的惯性矩。采用惯性矩 与惯性半径的关系（参见附录A）,有于是式（a）可改写为(b)(b)1 ezz1+T