教学教案——二项式定理复习.docx
二项式定理复习课一.教案描述教学设想：精心设计例题，用二节课的时间对二项式定理进行复习。除理清基本概念 外，着重训练定理运用中的七个层次，使学生的数学知识和数学思想都得到训练。1、会正用.即套用公式，这一层次的思维量较小，但对理解和巩固定理是完全必要的，例 题安排上由浅入深，复习方法上以提问或学生练习为主，要做到正确、熟练。例1、求，(2 + 3x)6的展开式中含炉的项.解：一最23(3x)3 =4320/例2、求(1-2x)5 (l + 3x)4展开式中前三项之和.解：计算时注意每个因式的展开式只须取前三项即可。(1 一2x)5 (1 +3x)4 = i_5.2x + 10(-2x)2-. l + 4-3x + 6-(3x)2+= (l-10x + 40x2 -)(l + 12x + 54x2 +) =l + 2x-26x2 +一。展开式前三项之和为l + 2x-261.例3、求(2/-3%+ 1)8展开式中1项.解：假设将(23x + l)8化为(2x l)8(x 1)8来确定展开式中工项，解法不甚合理，注意到2/与1项无关，可转化为求(3x + l)8展开式中工项，即C；(3x) = 24x,解法较捷。此题较灵活，有助于提高学生转化能力。2、会反用.逆向思维的训练能加深对定理的理解，培养观察能力，但学生往往不习惯， 例题和习题可逐步加深。例 4、求值 4 + C： 4t + C； 4一2 + +。丁 4 +1 ；(2)1 2C：+2?。；一 + (2)C：.解:原式即为(4 + 1)，的展开式，原式=5.(2)注意符号问题，原式=(1 2) =().例 5、设函数/(x) = l + 5x 10/ +10/ _5x4 +/.求/(X)的反函数/-(I).解：如果/(x)的表达式中第一项1改为7,那么为(l + x)5的展开式. f(x) = (-l + x)5 +2.易得/T(X)= 1 + Vx-2 (%e R)3、会变用.不少问题需要将数式变形后，再运用二项式定理。这一层次要求学生有一定 的分析能力，复习中应引导学生观察数式特征，进行合理变形。例6、求52+4 2)3展开式中的常数项.X解：一般有两种变形方法，其一变形为(，+!)_2，其二变形为(x J_)6 .后者较简，其常数项即为第四项7； =C； =20 .例 7、设 1 X + %3 + , + /6 x= = a。+%(% + ) + a2 (% + 1)2 + , , + %7 (% + I)",求a2 .解：为了比拟系数，招左式变形为1 (X + D 1 + (X + 1) 12(X+D 117 .再展开之，展开式中(x + l)2项的系数即为由, % =C；+C；+C：+ + G； =。；8 =816.4、会设项.这是二项式定理中常用的待定系数法，学生应熟练掌握。例8、(J5 +正)1°°的展开式中含有多少个有理项？配工100-r r解：T =C；2 2 33,耍使其为有理数，即=，-=m (，加为非负整数).，十 I1UVJ3得- = 2(50 )，且 =3根.，r是6的倍数，可取厂=0, 6, 12,96共17个.2_例9、设(3/+始)展开式的各项系数之和为方,其二项式系数之和为"，假设，+力=272,试求展开式中一项的系数.解:此题应先定，令x = l,得，=4.而/ = 2.4+2 =272.得2 =16,.几=4.7；+1 =C：(3/)”(始)由土式+工=2得厂=4.二，项系数为3。：3° =15、会取值.二项式定理提供了从一般到特殊的思维方法训练的好教材，应抓住机遇进行 这一基本思维方法的训练.例10、求(x + 2y)(2x + )之(x + >)3展开式中各项系数的和.解：设原式=劭工6 +a/5y+ 2%4丁2 H1_Q6y6.令 %=, y = l,得 （）+ % + % +，+ & = 216 .在熟知基此题的基础上，可适中选择些灵活性的例题例11、求（4怎-y）”展开式中所有无理系数之和.解：考虑到展开式中无理系数为多，可以从反面求有理系数着手。有理系数项为：（13x）15 =3x15, （y）” =丁5.，有理系数之和为 3 +（i）= 2 .令冗=> =1,得展开式各项系数之和为（我一1）”.展开式中所有无理系数之和为（如一1）” 2.例 12、设（1 + X + X-），Z =+ , , +.求。（）+ 2 + “4 + + a,"的值.解： 令 x 1, 得 g + / + a） + , , += 3".令 x = -1, 得 a。一 a1+ a, , , , + a2” = 1 .,3 +1两式相力口 得 6/q + a0 + Q4 + , , + a） =-在取值过程中，要培养学生观察能力例 13、设（1 + 26°° =aQ+a. （x-1） + 2（x-l）2 + +6z100（x-l）100.求 Q1 + % + , , , + a99 的值解：令 X = 2 ,得。0 +。 +。2 +1-。00 = 51°° ,令 X = 0 ,得。0 _ % +。2 _ . , +。100 = 1 、,5,00-1两式相减，得 Q1 + 4 + , +。99 =*6、会构造.关于组合恒等式的证明，通常需要构造一个恒等式，比拟其二项展开式的系数 而得。这一层次要求有较强的观察分析能力，是个难点，例题和习题不宜太难，讲解 中应慢慢引导，启发学生思维。例14、证明以下各式（1） 1 + 3C +9C； +.+3-匕尸 +3禺=4. 6）2 + （C： ）2 + （C； ）2 + ©）2 = C；n .证：（1）构造二项展开式（a + b） =C，a+C>% +2+ G».令 a = l, b = 3 得（1 + 3>=1 + C：3 + C；32+ 玛,3即 1 + 3C： + 9C； + + 3t C+ 3 C： = 4.构造恒等式(l + x)n (l + x) =(l + x)2n.两边含X项的系数相等，即c：C； + c：C；T + G；c；2 +禺c： = C% c： = C； 0<m<n. (C? )2 + ©)2 + (6)2 + + (C：) = C鼠.7、会综合 在复习中还应注意与其它数学知识的横向联系，尤其与数列、不等式和三角的 综合运用，这一层次的思维更具有广阔性。例15、假设实数x, y满足+y = l,求证：x5 + y5 >、 a 11» s 5 z 1、S/1 x S 15?证： 令 x = + i, y =。，那么+ y = ( + a). + (a) = 一 + a +5a > 一222216 216例16、等差数列及等比数列仍中， =，a2=b29且这两个数列都是递增的正项数列，求证：当 >2时，an < bn证： 设 =4=，a2 =b2 =b, 那么。 =。+ (一1)(人一。)，7/2 a + b a n_ b . a1 rl h a 2- a ?b = a(一)" 二。() =。(1 + ) =41 + Ci + G；i(厂aaaaa+ + () 1 > 6il + (1 1) = Q + ( 1)(Z? Q)= Clnaa利用二项式定理证明不等式，采用“对称法”(例15)及“减项放缩法”(例16)较为普 遍。二.教案评析通过以上七个层次的复习，学生一般都能掌握二项式定理解题的常用方法。数学思想 和方法也得到一次系统的训练，分析和综合能力有所提高，收到了复习的实效。二项式定理是高中数学中较为独特的一局部，教材中只简单地讲述定理的推导、性质 及应用。如果没有认真分析教材，复习课往往容易产生简单化倾向，仅仅要求学生熟记公 式、会代公式而言。其实，二项式定理内容虽不多，但分散于教材及习题的解法却丰富地 展示了待定系数法、构造法、取特殊值法和逆向思维等中学数学的基本思想方法，因此也 是比拟集中复习中学数学思想方法、提高思维能力的好机遇。在复习中，应认真做好基本 方法的梳理工作，精心配置例题和习题，进行知识、方法和技巧的训练，才能真正掌握二 项式定理。同时对学生思维开展、能力的培养和数学素质的提高也是十分有益的。
