第03讲 不等式及性质（原卷版）.docx

第03讲不等式及性质【基础知识网络图】【基础知识全通关】知识点01：两个重要不等式及几何意义.重要不等式：如果a/wR,那么。2+）2 22"（当且仅当 =/?时取等号 J"）.1 .基本不等式：如果。力是正数，那么S之4茄（当且仅当。=/?时取等号.【要点诠释】6?+/ 2 2。人和"2之必两者的异同：2（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求力都是正数;C.假设a>Z?O,且c<0,那么三二 a bD.假设a>b ,且那么必<0 a b9、设 f（x）=ax?+bx,假设 lWf（T）W2, 2Wf W4,那么 f（ 2）的取值范围是10、设ow（0,g,匹|"04那么2a g的取值范围是.JIJI11、（2022 天津模拟）假设a , B满足一方< a8方，那么2 aB的取值范围是（） 乙乙A. - n<2a -0<OB. - n<2a-0<ji3叮jiC. -<2 a - p <D. 0<2a - P < n乙乙12 . M = x? + y2 + z2, N=2x + 2y + 2z兀，那么 M N_（填“”或“=”）.非零实数a, b满足a>b,那么以下结论正确的选项是（填序号）.a'b、2">2 In a2>ln bl.近来鸡蛋价格起伏较大，每两周的价格均不相同，假设第一周、第二周鸡蛋价格分 别为a元/斤、b元/斤，家庭主妇甲和乙买鸡蛋的方式不同：家庭主妇甲每周买3斤鸡蛋, 家庭主妇乙每周买10元钱的鸡蛋，试比拟谁的购买方式更优惠（两次平均价格低视为更优 惠）.（在横线上填甲或乙即可）13 . （2021 浙江宁海中学月考）等比数列a2, a3, aj满足aP （0, 1）, a2e （1,2）, a3e（2, 3）,那么的取值范围是.14 .a+b>0,试比拟工+3与工+；的大小.b a a b/、#、- a+b _c + d.右 be ad20, bd>0,求证：一:-W-:-； b da b(2) c>a>b>0, 求证： >c a c -b.（多项选择）假设 O<a<l, b>c>l,那么（ ）C. ca-l<ba lD. logca<logba.某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：男学生人数多于女学生人数；女学生人数多于教师人数；教师人数的两倍多于男学生人数.假设教师人数为4,那么女学生人数的最大值为.该小组人数的最小值为.19 .实数a, b, c满足b + c = 64a+3a,c-b=44a+a2,那么a, b, c的大小关系 为（）A. abWcB. bWcaC. b<c<aD. b<a<c21.观察以下运算：1X5 + 3X6>1X6 + 3X5, 1 X 5 + 3 X6 + 4X 7>1 X6 + 3 X 5 + 4X 7>1X 7 + 3X6+4X5.（1）假设两组数ai, a2与bi, b2,且aWa2, bWbz,那么ab+a2bzNab+a2bl是否成立,试证明.假设两组数 ai, a2, 与 bi, bz, b3且 aiW&Wg bWbzWbs,对 abs+a2bz+ehbi, ab+a2bl + a3b3, ab + a2b2+a3b3进行大小顺序（不需要说明理由）.分h qb22、设a>b>。,试比拟/而与二的大小.b2 a223、假设a<0, b<0,那么p=十丁与q = a+b的大小关系为（）a DA. p<qB. pWqC. p>qD. pq(2)取等号“二”的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当。=时取等号”。2 12. 1. 1(3) 4+/7222H可以变形为：ab<-，幺上疝可以变形为：ab W ”与2223.如图，是圆的直径，点。是上的一点，AC = a, BC = b,过点。作 交圆于点D,连接A。、BD.易证RrAACDRZADC8,那么 CZ)2=C4-CB,即 CD =旅.这个圆的半径为幺心，它大于或等于CQ,即空2之，而，其中当且仅当点C与圆心重 22合，即。=时，等号成立.【要点诠释】.在数学中，我们称幺心为，涉的算术平均数，称J益为。涉的几何平均数.因此基本 2不等式可表达为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.1 .如果把幺心看作是正数的等差中项，J益看作是正数的等比中项，那么基本 2不等式可以表达为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.知识点02：用基本不等式J工巴心求最大(小)值2在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。一正：函数的解析式中，各项均为正数； 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。知识点03：几个常见的不等式a2 +b2 > 2ab (a.b e R),当且仅当 时取号。1) (a/wR+),当且仅当 a=6 时取“=”号。3)I 22 (tz Z? > 0)；特别地: b a4)总(a + bfI > 4I。b)6Z3 +b3 +c3 > 3abc (a.b,c g 7?+)；5) a + b-c> 3Mabc (a,b,c e R+)知识点04：绝对值不等式的性质1. a-h<a + b<a + b；ci c| +1 c b| ；知识点05：柯西不等式.二维形式的柯西不等式：(1)向量形式：设2,分是两个向量，那么丹区|£|闻，当且仅当斤是零向量或存在实数k,使2 =历 时，等号成立。(2)代数形式:假设a、b、c、d都是实数，那么(qZ+/x*+42)2(00 + 匕1)2,当且仅当ac二bd时，等 号成立；假设a、b、c、d都是正实数，那么J4+/+ 12 2欧+ bd ,当且仅当ac二bd时，等号 成立；假设a、b、c、d都是实数，那么万启万 2|a+庆Z|,当且仅当ac=bd时，等号成立；【要点诠释】柯西不等式的代数形式可以看作是向量形式的坐标化表示；(3)三角形式：设玉，工2，1，2£尺，那么 Jx； +y： + Jx； + 货 / J(X)2 +(y <2尸。1 .三维形式的柯西不等式(代数形式):假设 ，出,?,也也都是实数，那么（。；+4； +；）（"； +Z?2 +3）-（。/1 +。2 人 2 + 33）?当且仅当2 =0,（，= 1,2,3）或存在实数k,使得 =幼。=1,2,3）时，等号成立。2 . 一般形式的柯西不等式（代数形式）：假设，见，。也也，涉，都是实数，那么（a： + a； + , , + a： ）（b： + b： + , + b：） 2（62|Z?| + a+ , , + cinbn ）2,当且仅当e=0,（，= 1,2,）或存在实数k,使得生=幼« = 1,2,力）时,等号成立。【拓展】.两个实数比拟大小的方法a-b>0oa2b作差法< a b = 0u>a三b（a, beR）、a b00a«baaa作商法0 -=l<=>ab(aeR, b>0)ar l=a«b.不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性ab=ba=传递性a>b, bcnac可加性ab=a+c>b + c=可乘性a>b>c0.= acbc注意c的符号a>b c<0.=>ac<bc同向可加性a>b=a+cb + d c>dj=>同向同止口乘性a>b>Cc>d>Cll>=ac>bd )=可乘方性a>b>0=> an>bn (n £N> n21)a, b同为正数可开方性a>b>0=>/a>/b(n£N, n22)a, b同为正数【微思考】.两个正数a, b,如果a>b,那么*与m的大小关系如何？提示如果abO,那么/电.1 .非零实数a, b,如果a>b,贝A与1的大小关系如何？ a b提示 如果ab>0且a>b,那么 a b如果a>Ob,那么一>二. a b【考点研习一点通】考点0L基本不等式J茄(色也求最值问题21 .设>人>0,贝ij/+_L+!一的最小值是ab a(a-b)A. 1B. 2C. 3D. 4【变式1x>y>0,且盯=3,求 的最小值及相应的二y值.xy.【变式2】求以下函数的最大(或最小)值.(1) y = xd(x > 0)；x + 1(2) (2)> = 2x2+ , (%>0)；x95y = x(5-2x)29 (0<%<-)(3) y = x + , (x > 一)；J2x 12 y = 2xJ100-,(0<x<10)_1 9【变式3x>0,y >0,且一+ = 1,求x+y的最小值. x y考点02：利用基本不等式证明不等式2 .0<<1, 0</?<1, 0<c< 1,求证：(-d)b , (1 -b)c , (1一。)中至少有一个小于等于 4【变式1】。、b、c都是正数,求证：a + b)(b + c)(c + a)> Sabc【变式2x、y都是正数，求证：- + ->2o考点03：利用绝对值不等式求最值3 .不等式|x 4| |尤+ 26。对xeR恒成立，那么实数。的取值范围是 ；【变式1】求|工一4|一|九+ 2|的最值【变式2 不等式|1 2x| + |2x + l|对xwR恒成立，那么常数的取值范围 是 ;考点04：利用柯西不等式求最值4.设2x + 3y + 5z = 29,求函数y =+ 网*4 +，5z + 6 的最大值.【变式1】求函数y = 5+ J10 2x的最大值.【考点易错】易错题型01比拟两个数(式)的大小1 (1)(2022 首都师范大学附属中学月考)设M=2a(a2)+7, N= (a-2) (a-3),那么M与N的大小关系是()A. M>NC. M<ND. MWN/、# In 3 In 4 In 5, z(2)右,=丁' b= 丁'。=飞一'那么(A. a<b<cB. c<b<aC. c<a<bD. b<a<c(3)e； /与e； n”的大小关系为.【变式】X24 X-Vx>0, y>0, M=, N=二贝UM和N的大小关系为( x + 2y5A. M>NB. M<NC. M=ND.以上都有可能e2 020+ 1e2 021 + 1M=尸不T那么M, N的大小关系为易错题型02不等式的基本性质2 (1)(2022 新乡模拟)a, b, c, d均为实数，那么以下命题正确的选项是() A.假设 a<b, c<d,那么 ac<bdc dB.假设 abO, bead>0,那么一一二0 a bC.假设 a>b, c>d,那么 a db cD.假设 a>b, c>d>0,那么;（2）（多项选择）假设又（<0,那么以下不等式正确的选项是（） a b1 1_A' a+babB. |a|+b>01 1C. a>bTa bD. In a2>ln b2【变式】（1）假设2m>年，那么以下结论一定成立的是（）A.一B. m|m| >n|n|m nln（m-n）>0D. n m-n< 1（2）（多项选择）设ba>0, ceR,那么以下不等式中正确的选项是（）-i iA. a2 < b2B.->-a ba+2 arrC. o>rD. ac <bc'b十2 b易错题型03不等式性质的综合应用3 （1）一 l<x<4, 2<y<3,那么x y的取值范围是, 3x + 2y的取值范围是（2）3<a<8, 4<b<9,贝片的取值范围是.0【变式】 a>b>c, 2a+b + c = 0,那么一的取值范围是（）aA. - 3<_< 1B. 1<<7aa 3D.zc - az0<P<a W，那么a B的取值范围是.【巩固提升】1、（2022届山东省泰安市高三上期末）均为实数，那么以下命题正确的选项是（ ）A.假设 a>b,c> d , l/iij ac > bdc dB.假设 ab > O,bc-ad > 0,那么>0a bC.假设那么 ca bD.假设a>,c>d>0,那么一一 d c2、假设lVVO,给出以下不等式：|a|+b>0；a，>b； （4）ln a2>lna ba+b aba bb? .其中正确的不等式是（）A.B. C. D.3.a£ （0,1）, a2e （0, 1）,记卜1 = 廊，N=ai + a2-l,那么M与N的大小关系是（）A. M<NB. M>NC. M=ND.不确定4、（2022 邵东创新实验学校高三月考）以下不等式成立的是（）A.假设 a<bV0,那么/>官B.假设 ab = 4,那么 a+b24,_.99什1 b b + mC.右 a>b,那么 ac->bcD.右 a>b>0, m>0,那么一<a a + m5.（多项选择）c<ba,且ac<0,那么以下不等式中，一定成立的是（）A. ab>acB. c （b a） >0C. cb2<ab2D. ac （ac） <06.（多项选择）有外表一样，重量不同的六个小球，它们的重量分别是a, b, c, d, e, f, a+b+c = d+e + f, a+b + ec + d + f, a+b + f<c + d + e, a+e<b.那么以下判断正确的有 （）A. b>c>fB. b>e>fC. c>e>fD. b>e>c 7、（2021届山东省滨州市三校高三上学期联考）（多项选择题）设。1, g,那么下列不等式中恒成立的是（）D. a1 >b2）.1 11 19A. < B. > C. a>a ba b8、（2022江苏盐城中学月考）（多项选择题）以下命题为真命题的是A.假设 a>b ,那么b aa bB.假设a>Z?0, c<d<Q9 那么一< d c