第03讲 不等式及性质（解析版）.docx

第03讲 不等式及性质【基础知识网络图】【基础知识全通关】知识点0L两个重要不等式及几何意义1 .重要不等式：如果a/wR,那么。2+/72 2 2ab （当且仅当 = /?时取等号“二”）.2 .基本不等式：如果力是正数，那么"22J茄（当且仅当=时取等号“二”）.2【要点诠释】/+/ 22"和疝两者的异同：2（1）成立的条件是不同的：前者只要求4/都是实数，而后者要求Q/都是正数;此时，%x = 2同【变式1】求函数y = 5JR + J10 2x的最大值.【解析】函数的定义域为1, 5,且y0,y = 5 x Jx-l + V2 x5-x<752 +（72）2 xVcVxD' + CVx）2=6/3当且仅当5JE = J10 2x时,等号成立，即工=至时函数取最大值，最大值为6行.27【考点易错】易错题型01比拟两个数(式)的大小1 (1)(2022 首都师范大学附属中学月考)设M=2a(a2)+7, N= (a2) (a3),那么M与N 的大小关系是()A. M>NB. M2NC. M<ND. MWN【答案】A【解析】 因为 MN=2a(a2) +7 (a2) (a-3) =a2+a+l = a+2+"1>0,所以 M>N./、什 In 3 In 4 In 5 , z 、 (2)右=， b ， c ， 那么( )345A. a<b<cB. c<b<aC. c<a<bD. b<a<c【答案】B1 n y1 I rj v【解析】 令函数f(x)=,那么f' (x)=, XX易知当x>e时,f(x)<0,函数f(x)单调递减，因为 e<3<4<5,所以 f(3)>f(4)>f(5),即 c<b<a.e： 一与e；一的大小关系为.e n e【解析】e又 0<一<1, 0< n e<l, J In - ep JI1,即f7<1,即 e11 - n e<ee - n ” e 叮思维升华 比拟大小的常用方法(1)作差法：作差；变形；定号；得出结论.作商法：作商；变形；判断商与1的大小关系；得出结论.构造函数，利用函数的单调性比拟大小.【变式】x>0,y>0,2xM=c , N=x + 2y4 x -y r-,那么M和N的大小关系为()A. M>NB.M<NC. M=ND.以上都有可能【答案】【解析】x* 2 4因为 x>0,y>0,所以 M-N=rx yxJ 4xy + 8y2x 2y 2+4y25 x + 2y5 x + 2y>0,即 M>N.2 020 i 1/八乙e +1(2) M= 2 021 I 1 9e +1e 021 eA M>N. 021 + 1N=产行那么M' N的大小关系为【答案】M>N2 020 12 021【解析】方法【解析】方法e+1eM N = 2 021 I 1 2 022 e+1e2 020 I 12 022 I2 021 I 2e +1 e +1 e +1方法二令 f (x)=e'+l e b + 1 +14x+l I 1e +1x+l I 1 e +1=-+-e e11 一一 ex+1+r显然f(x)是R上的减函数，A f(2 020)>f (2 021),即 M>N.易错题型02不等式的基本性质2 (1)(2022 新乡模拟)a, b, c, d均为实数，那么以下命题正确的选项是()A.假设 a<b, c<d,那么 ac<bddB.右 ab>0, be ad>0,那么一一丁0 a bC.假设 a>b, c>d,那么 adb c,a bD.右 a>b, c>d>0,那么：>一 d c【答案】cb c ad【解析】 假设0<a<b, 0<c<d,那么ac<bd,应选项A错误；假设ab>0, be ad>0,那么>0,abcd即一一二>0,应选项B错误；假设a>b, c>d,那么一d> c,所以ad>b c,应选项C正确；假设 a bc>d>0,那么;'>0,假设a>b>0,那么应选项D错误. d cd c(2)(多项选择)假设工<90,那么以下不等式正确的选项是() a b1_ _1_A' a + babB. |a|+b>0aD. In a2>ln b2【答案】AC【解析】 由可知ba0. a bA中，因为a+b<0, ab>0,所以J；>。.故有-:即A正确； a+b ab a+b abB 中,因为 ba0,所以一b>-a>0.故一b>|a|,即 |a|+b0,故 B 错误；C中，因为ba<0,又那么一，>；0,所以a，>b故C正确; a ba ba bD中，因为ba0,根据y = x?在(-8, 0)上单调递减，可得b?%。，而y=lnx在定义域(0, +8)上单调递增，所以in b2>ln a2,故D错误.思维升华判断不等式的常用方法直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意 前提条件.利用特殊值法排除错误答案.利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比拟大小时，可以利用指数函数、对 数函数、幕函数等函数的单调性来比拟.【变式】假设2m>2*那么以下结论一定成立的是()A.'B. m|ni| >n n|m nln(m-n)>0D. nm-n<l【答案】B【解析】 V2m>2n,可取m=2, n=l,可得ACD不成立.(2)(多项选择)设b>a>0, c£R,那么以下不等式中正确的选项是()- 1 1A. a2 < h2B.->-at-/ a c,讦？Ea b【答案】【答案】C. ac3<bc3ABC_L11【解析】因为y=在(o, +8)上是增函数，所以2<。2；因为y=在(0, +8)上是减函数,所以品 当c = 0时，ac3=bc3,所以D不成立.因为a+2b + 2a_2b=">0,所以a+2 a b + 25易错题型03不等式性质的综合应用3 (1)一l<x<4,2<y<3,那么x-y的取值范围是,3x + 2y的取值范围是【答案】(-4,2) (1,18)【解析】V-Kx<4, 2<y<3,-3<-y<-2,4<x y<2.由一lx<4,2<y<3,得一3<3xG2,4<2y<6,AK3x+2y<18.(2)3<a<8, 4<b<9,那么的取值范围是【答案】件2【解析】【解析】又 3<a<8,1 a 1/.rX3<<-X8,即皆<2.3 bc【变式】 ab>c, 2a+b + c = 0,那么一的取值范围是（） a【答案】A【解析】因为a>b>c, 2a+b + c = 0,所以 a>0, c<0, b = 2ac,因为 abc,c所以一2aca,即 3a> c,解得一> 3, a将 b2ac 代入 b>c 中，得一2acc,即 a< c,得21,所以一3<< 1.ji0<3<a <,那么a B的取值范围是【答案】jiji【解析】 < 0< B <,.-< 一 B <0,又 0 a <, /. < a B <,ji又 B < Q , a 0 >0,即 o< a B <【巩固提升】l、（2022届山东省泰安市高三上期末）。d均为实数，那么以下命题正确的选项是（）A.假设 a>b,c>d ,那么 c> 加/c dB.假设 ab > O,bc- ad >。,那么>0C.假设a>4c>d,贝 ca bD.假设。>Z?,c>d>0,那么一 > d c【答案】BC【解析】假设。>0>Z?, 0>c>d,那么故 A 错；假设曲0, bc-ad>0,那么竺*0,化简得£4>0,故B对； aha b假设 cd,那么又 a>，那么故 C 对；abci h假设。=1, b = -2, c = 2, d = L 那么一=1, = 1, = = 1,故 D 错； dcd c应选：BC.2、假设给出以下不等式：|a|+b>0；a，>b：； ln a2>ln a ba+b aba bb?.其中正确的不等式是()A.B. C.D.【答案】C【解析】方法一 因为,2VO,故可取a= 1, b=-2. a b显然|a| +b=l2 = 1<0,所以错误；因为 In a2 = ln( 1)2=0, In b2=ln( 2)2=ln4>0,所以错误.综上所述，可排除A, B, D.方法二由可知bVaVO.中，因为a+b<0, ab>0,所以=;<0, 4>0,故 a ba+b ab有士；，即正确； a+b ab中，因为 bVa<0,所以一b>a>0.故一b>|a|, B|J|a|+b<0,故错误；中，因为 bVa<0,又!<<(),那么一，>一1>0, a ba b所以故正确； a b中，因为bVa<0,根据y = x?在(-8, 0)上为减函数，可得丫>/>0,而y=lnx在定义域(0, +8)上为增函数，所以in b2>ln a2,故错误.由以上分析，知正确.3. a£(0, 1), a2e (0, 1),记、1=&&, N=a1+a21,那么 M 与 N 的大小关系是()A. M<NB. M>NC. M=ND.不确定【答案】B【解析】 M-N=aia2- (ai + a2-1)= ai2-ai-&+l= (ai 1) (a211),又 (0, 1), a2e (0, 1),/.ai KO, a2 KO.A (ai-1) (a2-l)>0,即 MN0, AM>N.4、(2022 邵东创新实验学校高三月考)以下不等式成立的是()A.假设<1)<0,那么/>b2B.假设 ab = 4,那么 a+b24b b + niC.假设>，那么 ac">bc2D.假设 a>b>0, m>0,那么一<a a + m【答案】AD【解析】 对于A,假设avbvO,根据不等式的性质那么，故A正确;对于B,当。=2,匕=一2时，a + b = -4<4,显然B错误;对于C,当c = O时，ac2 = be1 故C错误；对于D,b b + m ba + m) - a(b + in) (b-a)ma a + m a(a + m) a(a + m)，（b-am因为ab>0, m>0,所以Z?-4<0, a + m>0,所以J;<Oaya + m）b b + m 八 （Irl b b + m 、所以< 0,即一 <成立，故I）正确.a a+m a a+m应选AD.方法总结：判断多个不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断 需要利用不等式的性质，常见的反例构成方式可从以下几个方面思考：不等式两边都乘以 一个代数式时，考察所乘的代数式是正数、负数或0;不等式左边是正数，右边是负数, 当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变；不等式左边是正数，右边是负数，当两边 同时取倒数后不等号方向不变等.5.（多项选择）c<b<a,且acO,那么以下不等式中，一定成立的是（）A. ab>acB. c （b a） >0C. cb2<ab2D. ac （ac） <0【答案】ABD【解析】由cba且ac<0知a>0且c<0, b的正负不确定,由b>c且a>0知ba>ca,故A 一定成立；Yba<0 且 c<0, Ac （b a） >0,故 B一定成立；当b = 0时，cb2=ab2=0,故C不一定成立；又 acO 且 acO, Aac （ac） <0,故 D一定成立.6.（多项选择）有外表一样，重量不同的六个小球，它们的重量分别是a, b, c, d, e, f, a+b + c = d+e + f, a+b + e>c + d + f, a+b + f<c + d+e, a+eb.那么以下判断正确的有 （）A. b>c>fB. b>e>fC. c>e>fD. b>e>c【答案】ABD【解析】因为 a+b + c = d + e + f, a+b + ec + d + f,所以e cc e,所以ec,又因为 a+b + c = d + e + f, a+b + fc + d + e,所以c f>f c,所以c>f,所以e>cf,所以C错误；又因为a+eb,所以ab, e<b,所以b>ec, b>e>f, b>c>f均成立,所以ABD正确.7、（2021届山东省滨州市三校高三上学期联考）（多项选择题）设。1,人/0,那么下 列不等式中恒成立的是（）B.一:C. a>b2D. a2 > b2a b1 1A.<- a b【答案】CD【解析】当。=21二满足条件.但,<1不成立，故A错误，2 a b当GZ?>0时，一 < 一,故B错误， a b, /.0<Z?2<b 那么a,/,故 c 正确,a>l> b>-t：.a + b>0,a-b>0, /. a1 -b1 = （a + b）（a-b） >0,故 D 正确.应选：CD.8、（2022江苏盐城中学月考）（多项选择题）以下命题为真命题的是（）.A.假设Q>b,那么b aa bB.假设。>b>0, c<d<Q,那么一< 一 d cC.假设 a>b0 ,且cvO,那么二二crD.假设且那么仍<0 a b【答案】BCD【解析】选项A：当取。=1,人=1时，,<，,本命题是假命题. b a选项 B： a/?0, c< d <0 所以0 ,d cabci b/> , 故一 < 一,.二本命题是真命题.dcd c9 9 1 1选项 C： aZ7>0na>Zr>0n0< < , a Zrc < 0 , /. -z- > z ,本命题是真命题. a b3 H 1 11 1 za b-a选项 D： > > 0 =>> 0,a ba b ab,： a>b, ：. b-a<Q, A ab<0 ,二本命题是真命题.应选：BCD9、设 f(x)=ax?+bx,假设 lWf(1)W2, 2Wf(l)W4,那么 f( 2)的取值范围是. 【答案】5, 10【解析】方法一 设f (2) =mf (1)+nf (1) (m, n为待定系数)，那么4a2b=m(ab) + n (a+b),即 4a2b= (m+n) a+ (nm) b.m+n = 4,fm=3,于是得n解得 n m 2,n 1.f(-2)=3f(-l)+f(l).又Tf(DW2, 2f<4. .53f(-l)+f (1)10,故 5Wf(2) W10.10、设a G (0弓),4G 那么2” ?的取值范围是.【答案】(工，乃) 6【解析工由题设得0<2a<»,0v24工 3 66363jiji11、（2022 天津模拟）假设a , B满足一那么2 aB的取值范围是（） 乙乙A. -n<2a -3<0B, -n<2a-P<n3 n兀C. -<2 a - 13 <D. 0<2a - P< n乙乙【答案】cJIJI【解析 */ < a <, A n <2 a < n . 乙乙JI JTJIJIJI2a -P<乙JI2a -P<乙JI又 a B <0, a <,乙方法总结：求代数式的取值范围 一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围12 . M=x?+y2+z2, N=2x + 2y + 2z兀,那么 M N_(填或“=”)【答案】>【解析】MN=x2+y2+z2 2x 2y 2z+ n=(x 1)2+ (y1)2+ (z 1)2+ n -3三 n 3>0,故 M>N.13 .非零实数a, b满足a>b,那么以下结论正确的选项是(填序号).(D<p a3>b3；2">2% (4)ln a2>ln b2.【答案】【解析】 当a>0, b<0时，,>0>，故不正确； a b由函数y=x y=2'的单调性可知，正确；当 a=l, b= l 时，In a2=ln b2=ln 1 = 0,故不正确.14 .近来鸡蛋价格起伏较大，每两周的价格均不相同，假设第一周、第二周鸡蛋价格分 别为a元/斤、b元/斤，家庭主妇甲和乙买鸡蛋的方式不同：家庭主妇甲每周买3斤鸡蛋,（2）取等号“二”的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当。=。时取等号”。2 . ? 2. 1. 1(3) 4+/72 2 2 ab可以变形为：ab<-,以上可以变形为：ab < (±)2.2 2r3.如图，A3是圆的直径，点。是上的一点，AC = a, BC = b,过点。作。CJ_AB易证R/AACDR/ADC3,那么即CD = M.这个圆的半径为土也，它大于或等于CD,即经拓，其中当且仅当点。与圆心重 22合，即=力时，等号成立.【要点诠释】.在数学中，我们称土心为，力的算术平均数，称J石为/的几何平均数.因此基本 2不等式可表达为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.1 .如果把幺心看作是正数。涉的等差中项，J益看作是正数的等比中项，那么基本 2不等式可以表达为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.知识点02：用基本不等式，区2求最大（小）值2在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。一正：函数的解析式中，各项均为正数； 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。知识点03：几个常见的不等式a2 +b2 >2ab （a,beR）,当且仅当 a当时取“二”号。3)a b 八 - + ->2 b a1） ->/ah (a,bwR+),当且仅当 a=6 时取“=”号。（a-b>0）；特另U地：a + ->2 （a。）；a家庭主妇乙每周买10元钱的鸡蛋，试比拟谁的购买方式更优惠(两次平均价格低视为更优 惠).(在横线上填甲或乙即可)【答案】乙_|_0k q _Lk【解析】由题意得甲购买产品的平均单价为一 =匚厂，乙购买产品的平均单价为20 2ab口 ,T7 77= _|_1 ? 由条件行 a Wb.10 10 a+b一十a ba + b2a + b22ab _ a -ba+b 2 a+b2->o,.a+b 2ab即乙的购买方式更优惠.15 . (2021 浙江宁海中学月考)等比数歹Ia1,a2, a3, &满足aP (0, 1), a2e(l,2), a3G (2, 3),那么出的取值范围是.【答案】(2明，9)【解析】设等比数歹!JE，a2, a3, aj的公比为q,由 aP (0,1), a2e (1,2), a3G 3)可知,0<ai<l®, l<aiq<2(2), 2<aiq2<3(3),由可得l<q<3,4可得q2>2,即4心或q<y2,+可得qL所以镜<q<3,所以 a.i = a3q (2低 9).16 .a+b>0,试比拟总+与与,+!的大小.b a a ba , b (1 ab , b a【解析】解帝+二仁+句=丫+丁=(a b)=(a b)a+b ab 2Va+b>0, (a-b)20,a+b a-b-a+b a-b-2-20.a+b c+d17 .假设 bead20, bd>0,求证：；a bcab>0,求证：r a【解析】证明Ybc沁d,肃。，.标广c , 、a a+b _c + dA-+l-+l, / (2) Vc>a>b>0, /.c a>0, c b>0.Va>b>0, /."<pXVc>0,XVc>0,c -a cba b又 c a0, c b>0又 c a0, c b>0cZa>cZ：b，18 .(多项选择)假设 b>c>l,那么( )Ca-1/i a- 1.c <bCa-1/i a- 1.c <bc a、cBH有D. logca<logba【答案】AD【解析】对于A, ,b>c>l, T>1. ()- 那么gig)，故正确对于 B,假设那么 be ab>bc ac,即 a(c b)>0,这与 Oal, b>c>l 矛盾，故错误. b -a b对于 C, VO<a<l, /.a1<0. Vb>c>l, /.ca-1>b；，-1,故错误.对于 D, VO<a<l, b>c>l, /. logca<logba,故正确.19 .某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：(1)男学生人数多于女学生人数；女学生人数多于教师人数；教师人数的两倍多于男学生人数.假设教师人数为4,那么女学生人数的最大值为.该小组人数的最小值为.【答案】612x>y,【解析】 设男学生人数为X,女学生人数为y,教师人数为z,由得上”，且X,、2zx,V， z均为正整数.当z = 4时，8>x>y>4, x的最大值为7, y的最大值为6,故女学生人数的最大值为6.x5x>yz>7；,当x = 3时，条件不成立，当x = 4时，条件不成立，当x = 5时，5>y>z>,此时 z = 3, y = 4.该小组人数的最小值为12.20 .实数a, b, c满足b + c = 64a+3a之,cb = 44a+a2,那么a, b, c的大小关系为()A. abWcB. bWcaD. b<a<cD. b<a<cC. b<c<a【答案】A【解析】c-b = 4 4a+a2= (a2)20, /.cb, 又 b + c = 6 4a+3acb = 44a+a2,两式相减得2b = 2 + 2a2即b=l+a2,b a=a2+l a/. b>a, .aVbWc.21 .观察以下运算：1X5 + 3X6>1X6 + 3X5,1 X 5 + 3 X 6 + 4X 7>1 X 6 + 3 X5 + 4X7>1X7 + 3X 6+4X5.假设两组数ai, 国与bi, b2,且aWa2, bWb2,那么abi+a2b22ab+a2bl是否成立,试证明.(2)假设两组数 a” &,为与 bi, bz, b3且 aiWazWa?, bib2b3,对 ab+a2bz+asbi, ab+a2bl + a3b3, ab + a2b2+a3b3进行大小顺序(不需要说明理由).【解析】解(1)成立，证明如下：aibi + a2b2- (aibz+azbi) =ai (bi b2) +a2(b2 bi) = (ai a2) (bi b2), 又 a】Wa2, biWbz, /. (aia2) (bib2) NO,即 ab + a2b22ab+a2bl.(2)aib3+a2b2+a3b 1 ai b2+a2b 1 + a3b3 W ai b 1 + a2b2+a3b3.22、设a>b>0,试比拟a2 b2 Hab + b2a+b的大小.【解析】解法一(作差法)：a?b' a-b (a + /-(4-匕乂/+匕?)I+r a+b(".a + b)_ (a-b)(a +)2 -(/ +/) _2ab(a-b)(tz2 +Z?2)(tz + Z?)(6Z + Z?)(CZ2 +Z?2)因为 a>b>0,所以 a+b>0, a-b>0, 2ab>0.所以2aba-b(4 + 6)(/ +/)>0,所以a2 b2 a ba2+b2>a+b>解法二（作商法）：2_i 2_i因为a>b>0,所以4三口>0, 妥0.a十ba十ba2 b2所以所以a2 + b2(a + Z?) a2+b2+2ab0a2+b2a+ba2+b2= 1+4>1 +b2 ,所以a2 b' a -b a2 + b2a + b*b2 a223、假设a<0, b<0,那么p=£+万与q=a+b的大小关系为（A. p<qB. pWqC. p>qD. peq【答案】：Bi 22【解析】(作差法)p q=2+/ab a b(b2a，(ba) (b a)2(b + a) abab因为 a<0, b<0,所以 a+b<0, ab>0. 假设 =>那么 p q = 0, 故p = q； 假设 aWb,那么 p q0,故 pq.综上，pWq.应选B.八 ci2 +Z?2a + br-r lab ( t J>>ah >(力$R+)V 22a+b ')(a + Z?/l 2 4 a b)4) a2, +b3 +c3 > 3abc (a,b,c e /?+)；a + b + c> 3abc (p,b,c w R1知识点04：绝对值不等式的性质a-b<a±b<a + b；1. ci - b： a - c + c - b ；知识点05：柯西不等式1 .二维形式的柯西不等式：(1)向量形式：设工区是两个向量，贝力8豆区|£|用，当且仅当其是零向量或存在实数匕使2 =切 时，等号成立。(2)代数形式：假设a、b、c、d都是实数，那么(/+。2)(/+/)之(qc +人d)2 ,当且仅当既二bd时，等 号成立；假设a、b、c、d都是正实数，那么a/片+，J。+ .2 >ac + bd .当且仅当ac二bd时，等号 成立；假设a、b、c、d都是实数，那么Jo? +/+d2 ac + bd,当且仅当ac二bd时，等号成立；【要点诠释】柯西不等式的代数形式可以看作是向量形式的坐标化表示；(3)三角形式：设玉，工2，口，2£火，那么 Jx； +必2 + JX； + y； N J(X| 一九2尸 +(y 一2尸。2 .三维形式的柯西不等式(代数形式): 假设 4，2，3/1 也也都是实数，那么（。：+ a2 +。；）（月 + 后 +Z?3 ） - （。1 4 + a2b2 +。3b3）2 .当且仅当2=0,0 = 123）或存在实数k,使得q 二幼（i=123）时，等号成立。3 . 一般形式的柯西不等式（代数形式）: 假设，。，也也，包，都是实数，那么(a； + a； + , , , + a； )(b； + b： + , , + b：) N (。自 + a2bl + +，当且仅当月=0,（，= 12,）或存在实数匕 使得% =既式，=1,2,）时，等号成立。【拓展】.两个实数比拟大小的方法a-b>0a>b作差法ab = 0=a三b（a, beR）口一b00a、bra/>l=a>bb 一(2)作商法V 2=loa三b(a£R, b>0)a，loabLb -1 .不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性a>b=b<a=传递性a>b,b>c=>a>c=>可加性a>b=a+c>b + cQ可乘性a>b| c>0.=>ac>bc注意c的符号a>bl c<ojnac<bc同向可加性a>bc>dna+cb + d=>同向同正可乘性a>b>Cc>dX)=>ac>bd=>可乘方性a>b>0=> 址枝(n £ N, n21)a, b同为正数可开方性a>b>0=><>ya>/b (n£N, nN2)a, b同为正数【微思考1 .两个正数a, b,如果a>b,那么%与电的大小关系如何?提示如果a>b>0,那么徐怖,.非零实数a, b,如果ab,贝A与的大小关系如何？ a b提示如果ab>0且ab,那么,白 a b如果a>O>b,那么a b【考点研习一点通】考点01：基本不等式必("求最值问题 21.设>人>0,那么/+-L+一!一的最小值是 ab a(a-b)A. 1B. 2C. 3D. 4【解析】2 1 1 2 , , 1 1ci H1- a - ab + ab H1ab a(a-b)ab a(a-b)ci(ci - /?) H- (cib -)a(a-b) ab>4a(a b) =当且仅当a(a-b)即。=叵。=上时取等号.712ab =ab【答案】D2 .2 _ 2【变式1x>y>0,且孙=3,求一匕二的最小值及相应的值. x-y.【解析x> >0, /. x->0,又=3,x + y2 (x y)2 + 2xy 244:+h 卜x = 3时取等号 y = ix>y >0当且仅当< xy = 34 xy =x-y2 .2当x = 3,y = l时，-_乙二取最小值4. 工一丁【变式2】求以下函数的最大(或最小)值.(1) y = x H-(% > 0)；x + 19 5(2) (2) y = 2，+_, (x>0)；x95y = x(5-2x), (0 < x < )2y = x + / 1, (x/)；4112y = 2x7100-x2，(0<x<10)【解析】(1) <* x > 0 , x+1 > 1, y = x + l-1 > 2a/(x +1)()1 = 1x+l V x+1当且仅当x + l = L,即x = 0时取等号 x + 1二.x = 0 口寸，ymin = 1(2) Vx>0, A= 2x2 +- = 2x2 + + > 33/2x2A = 2, 100x 2x 2x v 2x 2x 2当且仅当2-=工即1=：3时，ymin=-V100.2x V4 /mm 2< 0 < x < ， * 52x > 02.c、21 4 c x/-1 4% + 5 2x + 5 2x 31 IO? 250/. y x(5 - 2x) = x 4x(5 - 2x)(5 2x) < 一 () ,=4434 2727当且仅当4x = 5 2光即x = »时，=空6，max cr27(3) >.* x >- 92x - 1 > 0y x ," 2% - 1h/1T/1 T2J2x 12 J2x 1 J2x 1 2引（2）高.正+ ； = 2当且仅当2x-l=-=即X = 1时、为in=2. HZ(4) V0<x<10, A 100-x2 >0 y = 2xV100-x2 = 2J，(ioo九2)< / + 100_ = 100当且仅当f=ioo f即x = 5五时，ymax =1009【变式3x>0,y >0,且一H = 1,求x+y的最小值. x y一1 9【解析】方法一：< x>0,y >0,且一+ = 1 x yQvO veyO 丫 x+y = (_ + )(x+y) = 10 +2+ 210 + 2x3=16 (当且仅当 2 = 即xy工)xyx = 4, y = 12时等号成立).x+y的最小值是16.t 19V方法二：由一+ = 1,得x =3一，x yy-9/x>0,y > 0 , y >9y99I 9：.x+y = -+y = l + y +- = (-9) +- + 10>2 (y-9)- + 10 = 16y-9y-9y-9y-99当旦仅当y 9 =，即> =12时取等号，此时x = 4. y 9x+y的最小值是16.1 9方法三：由一+ = 1得丁 + 9%=冲，(1 1)(丁-9) = 9% y X+y = 10 + (1)+ (y 9)N 10 + 27155 = 10 + 6 = 16.x-l = y-9 rx 4当且仅当<1 9 即 时取等号，-+ = 1y = 12x+y的最小值是16.考点02：利用基本不等式证明不等式2.0<<1, 0<Z?< 1, 0<c<L 求证：(l-a)b , (1-Z?)c , (l-c)a 中至少有一个小于等于4证明：假设(1 c)a>；那么有J(l_q)Z?+叫c +&一山 >；(*)又*-a)b + J(1 -Z7)c + J(1 c)a1 a + b 1Z? + c 1 c + a 3 , / 、 <+= 与*)矛盾2222【变式1】。、b、c都是正数，求证：(a + b)(Z? + c)(c + a) 2 8abe【解析】、b、c都是正数：.a + b> 2ylab > 0 (当且仅当 二0寸，取等号)b + c>2yfbc>0 (当且仅当b = c时，取等号) c + a > 2而> 0 (当且仅当c = 时，取等号)/.(6Z + b)(b + c)(c + a)> 2yab - 2bc - 2y/ca = Sabc (当且仅当 q = Z? = c时，取等号)即(a + b)(b + c)(c + a)> Sahc .【变式2x、y都是正数，求证： + ->2o % y【解析】:、y都是正数，.2>0,)>0, y x.- + >2 -=2 (当且仅当上=色即x = y时，等号成立) y x xx y故 2 +土 >2.x y考点03：利用绝对值不等式求最值3 .不等式|九4| |x + 2|2a对xeR恒成立，那么实数