31、勾股定理知识点与常见题型总结.docx
勾股定理复习一.知识归纳.勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为b,斜边为C,那么勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较 短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾 三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的 平方和等于斜边的平方.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4s八+ S正方形mg” = S正方形abcd，4x：ab + S-a）2=c2,化简可证方法二:四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为5 =+ /2大正方形面积为S = （q + /?）2 =a2 + 2ab + b所以 a? + / =化简得证方法三：S梯形二（Q + b）（Q + b）, S梯形=2s AADEB h C勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝 角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 4 .勾股定理的应用直角三角形的任意两边长，求第三边在 AABC 中，NC = 90。，那么,b = ylc2-a2 , a = y/c2-h2知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系可运用勾股定理解决一些实际问题.勾股定理的逆定理如果三角形三边长Q, b,。满足片+尸:/,那么这个三角形是直角三角形，其中。为斜边勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定 三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和/+/与较长边的平方作比拟，假设它们相 等时，以。，b, C为三边的三角形是直角三角形；假设片+从<02,时，以，人,C为三边的三角形是钝 角三角形；假设时，以。，b,。为三边的三角形是锐角三角形；定理中Q, b, C及/+=，只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如假设三角形三边长Q, b, C 满足"+02=，那么以八。为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角 形是直角三角形.勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即/+=/中，b, c为正整数时， 称，b, c为一组勾股数记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5； 6,8,10； 5,12,13； 7,24,25等用含字母的代数式表示组勾股数：n2 -1,2h,/?2 +1 （ n > 2, n 为正整数）;2 + 1,22 +2,2鹿2 +2 + 1 （ n 为正整数）m2 - m2,2mn.m1 + n2 （ m>n, m , 为正整数）5 .勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.在使 用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用 勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求 解.8.勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比拟，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边 的平方比拟而得到错误的结论.9 .勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体.通常既要通过逆 定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决. 常见图形：题型一：直接考查勾股定理例 1 .在 A43c 中，ZC = 90°.(DAC = 6, BC = 8.求AB的长AB = 17, AC = 15,求的长 分析：直接应用勾股定理+从=/解：(1) AB = y/AC2 + BC2 =10(2) BC = ylAB2-AC2 =8题型二：应用勾股定理建立方程例2 .在 AA3C 中，ZACB = 90° , AB = 5 cm , BC = 3 cm , CD工AB于D, CD=直角三角形的两直角边长之比为3:4,斜边长为15,那么这个三角形的面积为直角三角形的周长为30 cm,斜边长为13cz,那么这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积.有时可根据 勾股定理列方程求解解：(1) AC = yjAB2 - BC2 = 4, CD=AC BC = 2AAB设两直角边的长分别为女，4Z.(3Z)2+(4Q2=152,.攵=3, 5 = 54设两直角边分别为。，b,那么a + b = 17, /+02 =289,可得H=60.S=Lb = 30 d2例 3 .如图 AABC 中，NC = 90。，N1 = N2, CD = L5, BD = 2.5 ,求 AC 的长分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来解：作。石，AB于石， N1 = N2, ZC = 90° . DE = CD = L5在ABZ)石中 /BED = 90°, BE = <BD? - DE? = 2Rt/ACD = RtAED,AC = AE在心AA3c 中，ZC = 90° AB2 = AC2 + BC2, (AE + EB)2 = AC2+42 AC = 3例4.如图用AABC, NC = 90。AC = 3,3C = 4,分别以各边为直径作半圆，求阴影局部面积答案：6 题型三：实际问题中应用勾股定理例5,如图有两棵树，一棵高8 cm,另一棵高2 cm,两树相距8 cm, 一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 m分析：根据题意建立数学模型，如图43 = 8加，CD = 2 m , BC = 8 m ,过点。作DELAB,垂足为石, 那么AE=6m，DE=Sm在&AADE中，由勾股定理得/。=，4£2 +。石2 =1。答案：10/n题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6.三角形的三边长为a, b, C ,判定AABC是否为用52 4 = 1.5，b = 2, c = 2.5 a = _ , b = l, c = 解:2+/=1.52 + 22 = 6.25, <? =2.52=6.25.AABC是直角三角形且NC = 90。,/+/=U, / =空,+/=/.枷。不是直角三角形916例7.三边长为q, b , c满足 +力=10,次? = 18, c = 8的三角形是什么形状？解：此三角形是直角三角形理由：./+/=( + /?)?-2ab = 64 , _M c2 =64/+/=， 所以此三角形是直角三角形题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例 8 . AABC 中，AB = 13cm, BC = 10 cm, 3c 边上的中线 AD = 12 cm ,求证：AB = AC证明:AD为中线，.BD = DC = 5cm在 MB。中，vAZ>2+BZ)2=169, AB2 = 169 /. AD1 + BD2 = AB2 , .ZADB=90°, AC2 = AD2-DC2 =169, AC = 13 cm 9 :.AB = AC
