奇异值与主成分分析.docx

奇异值与主成分分析（PCA）：主成分分析在上一节里面也讲了一些，这里主要谈谈如何用SVD去解 PCA的问题。PCA的问题其实是一个基的变换，使得变换后的数据有着最大的方 差。方差的大小描述的是一个变量的信息量，我们在讲一个东西的稳定性的时 候，往往说要减小方差，假如一个模型的方差很大，那就说明模型不稳定了。 但是对于我们用于机器学习的数据（主要是训练数据），方差大才有意义，不 然输入的数据都是同一个点，那方差就为。了，这样输入的多个数据就等同于 一个数据了。以下面这张图为例子：这个假设是一个摄像机采集一个物体运动得到的图片，上面的点表示物体运动的位置，假如我们想要用一条直线 去拟合这些点，那我们会选择什么方向的线呢？当然是图上标有signal的那 条线。假如我们把这些点单纯的投影到x轴或者y轴上，最终在x轴与y轴上 得到的方差是相像的（由于这些点的趋势是在45度左右的方向，所以投影到 x轴或者y轴上都是类似的），假如我们使用原来的xy坐标系去看这些点，简 洁看不出来这些点真正的方向是什么。但是假如我们进行坐标系的变化，横轴 变成了 signal的方向，纵轴变成了 noise的方向，那么就很简洁觉察什么方向的 方差大，什么方向的方差小了。一般来说，方差大的方向是信号的方向，方差小的方向是噪声的方向， 我们在数据挖掘中或者数字信号处理中，往往要提高信号与噪声的比例，也就 是信噪比。对上图来说，假如我们只保存signal方向的数据，也可以对原数据 进行不错的近似了。PCA的全部工作简洁点说，就是对原始的空间中挨次地找一组相互正交 的坐标轴，第一个轴是使得方差最大的，其次个轴是在与第一个轴正交的平面 中使得方差最大的，第三个轴是在与第1、2个轴正交的平面中方差最大的， 这样假设在N维空间中，我们可以找到N个这样的坐标轴，我们取前r个去近 似这个空间，这样就从一个N维的空间压缩到r维的空间了，但是我们选择的 r个坐标轴能够使得空间的压缩使得数据的损失最小。还是假设我们矩阵每一行表示一个样本，每一列表示一个feature,用 矩阵的语言来表示，将一个m * n的矩阵A的进行坐标轴的变化，P就是一个 变换的矩阵从一个N维的空间变换到另一个N维的空间，在空间中就会进行一 些类似于旋转、拉伸的变化。nixn而将一个m * n的矩阵A变换成一个m * r的矩阵，这样就会使得原来 有n个feature的，变成了有r个feature 了 (r < n),这r个其实就是对n 个feature的一种提炼，我们就把这个称为feature的压缩。用数学语言表示 就是：A p - A但是这个怎么和SVD扯上关系呢？之前谈到，SVD得出的奇异向量也是从奇异值由大到小排列的，按PCA的观点来看，就是 方差最大的坐标轴就是第一个奇异向量，方差次大的坐标轴就是其次个奇异向 量我们回忆一下之前得到的SVD式子：A H U工尸nixnrxr rxw在矩阵的两边同时乘上一个矩阵V,由于V是一个正交的矩阵，所以V转置乘以V得到单位阵I,所以可以化成后 面的式子4, 么 -么4，匕 x Unr4，匕 x Unr将后面的式子与A * P那个m * n的矩阵变换为m * r的矩阵的式子比照看看，在这里，其实V就是P,也就是一个变化的向量。这里是将一个m * n的矩阵压缩到一个m * r的 矩阵，也就是对列进行压缩，假如我们想对行进行压缩(在PCA的观点下，对 行进行压缩可以理解为，将一些相像的sample合并在一起，或者将一些没有 太大价值的sample去掉)怎么办呢？同样我们写出一个通用的行压缩例子：Arxn这样就从一个m行的矩阵压缩到一个r行的矩阵了，对SVD来说也是一样的，我们对SVD分解的式子两边乘以U的转置U'U 1A V1 rxmrxr rxn这样我们就得到了对行进行压缩的式子。可以看出，其实PCA几乎可以说是对SVD的一个包装，假如我们实现了 SVD,那也就实现了 PCA 了，而且更好的地方是，有了 SVD,我们就可以得到 两个方向的PCA,假如我们对A，A进行特征值的分解，只能得到一个方向的 PC Ao