数学分析考研试题集锦.doc

数学分析考研试题集锦一. 连续性问题1 设f(x)是a,b上连续函数,f(a)<0,f(b)>0,求证:存在cÎ(a,b),使f(c)=0,且对任何,有f(x)>0(华东理工大学2004年)1设在0,1上一致收敛于f(x),且每个有界，求证：(1)极限函数f(x)在0,1上有界；(2) 函数列在0,1上一致有界(华东理工大学2004年)2. 设fn(x)是定义在(-¥,+¥)上可导函数列,且存在常数M>0,对所有n和xÎ(-¥,+¥),有假设对任意xÎ(-¥,+¥),有那么g(x)在(-¥,+¥)上连续.证明:对任意x0Î (-¥,+¥),有对任意e>0,由于对任意xÎ(-¥,+¥),有所以存在正整数N,当n>N时,有由微分中值定理,其中x在x与x0之间,故取当|x-x0|<d时,有故当|x-x0|<d时即f(x)在x0连续,由x0任意性,知f(x)在(-¥,+¥)上连续.三连续性设为一区间，f(x)在上一致连续，假设对任意xÎI,f(x)³0,试证：在上一致连续(华东理工大学200年)四定积分2设有二阶连续偏导数，证明： 证明：设，那么所以由于所以华中科技大学3设讨论积分敛散性.解: ,故P>1时积分收敛,p£1时积分发散.数学分析考研题集锦1 设函数为上非负递减函数,且收敛,那么证明：由于收敛，根据柯西准那么，对任意e,存在,对任意,有因此当时, 但为上非负递减函数,所以,故(南京理工大学2001年)在上一阶连续可导,证明存在M>0,使得证明：由于所以故取得证. 南京理工大学3 设是上连续函数,证明: 证明: 由积分中值定理 .故由定积分定义, 南京理工大学4 设函数在上可导,且积分与都收敛,证明存在且为0. 南京理工大学证: 由于收敛,所以有故存在.假设不妨设,那么存在当时,有即从而不收敛,矛盾,因此计算东南大学2001设在上二阶连续可导，设证明：东南大学2001证明：由泰勒公式两式相减得所以因此 设在上连续非负,且积分收敛，证明：南京理工大学20007. 设a,b>0,证明不等式:证: 设那么令得由于因此f(x)在取最小值,所以对(0,1)任意x,有故8. 设f(x)在a,b上二次连续可微,证明: 9. 证明:其中C是与n无关常数,证:由于故另一方面,假设设那么 故数列单调递减有下界,因此那么其中C是与n无关常数,求极限解: 设由拉格朗日定理,其中由于故所以11设是a,b上连续函数，当时，一致收敛于f(x)，每个在a,b上有零点，f(x)在a,b上至少有一个零点。证：设在a,b上零点为xn，那么为有界点列，从而必有收敛子列，设.由于一致收敛于f(x),对任意e>0,存在正整数N,当n>N时,对任意有从而故即f(x)在a,b上至少有一个零点.12. 设f(x,y)在x,y³0上连续,在x,y>0内可微,存在唯一(x0,y0)使得设证明: 是f(x,y)在x,y³0上最大值.证:设,由于故对任意e>0,存在R>0,对任意x>R,或y>R,有记,那么f(x,y)在D上连续,故f(x,y)在D上必取最大值M,且下面证明:(1) M是f(x,y)在X上最大值.对任意点,当时,有x>2R或y>2R,所以时显然有(2) 由于D边界是线段故对OA和OC上任意点(x,y),由条件可知f(x,y)=0<M,对AB上任意点(x,y)有x=2R>R,而对BC上任意点(x,y)有y=2R>R,所以故f(x,y)在最大值M在D内部取得,因此M也是f(x,y)极大值,由极值必要条件,极大值点(x,y)必满足由条件是满足唯一点,故12. 设f(x)是区间0,1上可微函数,f(0)=f(1)=0.当0<x<1时,证明:存在,使得证明:设,那么F(0)=F(1)=0,且F(x)在0,1上可微,由洛尔定理,存在,使得故有所以13.设f(x)在0,+¥)上连续,广义积分绝对收敛,试证:证:由于所以由于f(x)在0,+¥)上连续,广义积分绝对收敛,根据黎曼引理,故14. 假设h(x)是处处不可导连续函数,以此为根底构造连续函数f(x),使f(x)仅在两点可导,并说明理由.所以f(x)在x=a可导,且同理f(x)在x=b可导,且而对任意x0¹a,b,由于 由条件,h(x)不可导,因此不存在,而故不存在,故f(x)在x00任意性,f(x)在x0¹a,b,时不可导.15 设函数f在a,b上连续,且f>0,记证明:并应用上述等式证明: 证明: