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第一章 函数与极限第一节 映射与函数一、集合常用数集：自然数集：整数集：有理数集：实数集：开区间：闭区间：半开区间：； ；邻域：去心邻域：二、函数定义：都有唯一与之对应，记为。三、函数性质讨论函数：，讨论区间：1、有界性 有界：假设，使得，称在区间上有界无界：对，总，使得，那么称在区间上无界上界、下界：假设，使得，称在区间上有上界；假设，使得，称在区间上有下界定理：假设在区间上有界在区间上有上界也有下界。2、单调性 严格单调增减：假设，且，恒有广义单调增减：假设，恒有，3、奇偶性 偶函数：奇函数：常见奇函数：等常见偶函数：等4、周期性 周期函数：，对，有，且，那么称为周期为周期函数。常见周期函数：等【例1】87二是 （A） 有界函数. B单调函数. C周期函数. D偶函数.四、复合函数与反函数1、复合函数 设定义域为，定义域为，值域为，且，在定义域上有复合函数。【例2】 88一二，且，求并写出它定义域.2、反函数 将函数称为直接函数，函数称为反函数。与图形关于直线对称。五、 初等函数第二节 数列和函数极限一、数列极限定义数列：，称为整标函数。其函数值：叫做数列序列。数列每一个数称为项，第项称为数列一般项。简记数列为数列极限：已给数列和常数，如果对于，都，使得对于，不等式恒成立，那么称当时，以为极限，或收敛于，记为或。反之，假设无极限，说发散。二、函数极限定义1：设函数在内有定义，为一常数，假设对于，都，使有，那么称当时，以为极限，记为或。单侧极限：左极限： 。右极限： 定理：2：设函数在充分大时有定义，为一常数，假设对于，都，使都有，那么称当时，以为极限，记为或。单侧极限：；定理：【例1】设为常数，求值，使得存在。三、极限性质性质1 极限唯一性数列假设存在，那么极限值是唯一。函数假设存在，那么其极限值是唯一。性质2 有界性数列如果收敛，那么一定有界。全局有界性注：有界数列不一定收敛。函数如果，那么存在常数和，使得当时，有。函数极限局部有界性性质3 保号性数列，那么，当时，都有。推论：如果数列从某一项起，且，那么注：结论中“中等号不能去掉，前提中等号可以去掉。函数假设，且，那么必存在，使得，都有。推论：设，且在内，那么注：结论中“中等号不能去掉，前提中等号可以去掉。【例2】 设在点某邻域内有定义，且，那么必存在某邻域，使得 (A) (B) (C) (D)不能判断大小性质4 数列与子列关系假设，那么它任一子数列也收敛，且极限也为。注：假设两个子数列极限不相等，那么该数列发散。性质5 数列极限与函数极限存在存在且为同一值反之：假设，而，那么不存在。第三节 无穷小与无穷大一、无穷小量 假设，那么称当时，是无穷小量。注：无穷小量是一个变化中过程量，它趋向于零，但不一定等于0。函数极限与无穷小关系定理为一常数，且二、无穷大量如果当时，对应函数值绝对值无限增大，那么称当时，是无穷大量。或：假设对无论多么大，总，有，那么称当时，是无穷大量，记为。注：说明极限不存在，说明为无穷大量； 无穷大量是一个变化中过程量，是一个持续变化量； 无穷大一定是无界函数，但无界函数不一定为无穷大。【例1】87二函数 （A） 当时为无穷大.B在内有界.C在内无界D当时有有限极限.【答案】C【例2】91三设数列通项为：那么当，是 （A） 无穷大量. B无穷小量. C有界变量. D无界变量.【答案】D二、无穷小与无穷大关系定理：【例3】90二，其中是常数，那么A. B.C. D.【答案】C三、无穷小性质1有限个无穷小代数和仍是无穷小。2有界函数与无穷小乘积仍是无穷小注：常数与无穷小乘积仍是无穷小两个无穷小乘积仍是无穷小；有限个无穷小乘积仍是无穷小。【例4】07数二【答案】0第四节 极限运算法那么一、极限四那么运算公式以下公式中，自变量是同一变化趋势。设，那么有12假设是常数，那么3假设，4设，而，那么必有。【例1】92一二当时，函数极限（A） 等于2 B等于0 C为 D不存在但不为【答案】D【例2】求以下极限并总结规律123【答案】12；2；30总结：【例3】设，那么以下命题中不正确是 （A） BC D【答案】B【例4】设，不，不，那么以下结论正确是 （A） 不 B不C不 D不【答案】D3、复合函数极限运算法那么定理 复合函数极限运算法那么假设，且存在，当时，有，那么。第五节 极限存在准那么 两个重要极限一、准那么一 夹挤准那么 1、假设数列，及满足以下条件：，当时，有成立，那么存在，且。2、 假设函数，及满足以下条件：在内，有成立那么存在，且。3、假设函数，及满足以下条件：在内有成立那么存在，且。【例1】95二 【例2】设，都有，求，。【答案】；二、准那么二 单调有界准那么为单调增数列：为单调减数列：极限存在单调有界准那么：假设单调数列是有界，那么存在。【例3】96一设，试证数列极限存在，并求此极限.三、重要极限重要极限一：重要极限二：；利用重要极限求极限：【例4】求极限【例5】89二 .【例6】91三以下各式中正确是 A. B.C. D.【例7】90一设为非零常数，那么 .【例8】92二求.【例9】95一 .第六节 无穷小比拟一、无穷小比拟定义 设，是两个无穷小都是同一个自变量在同一变化过程中无穷小量，且与之比也是同一个自变量，同一变化过程中极限：如果，就说是比高阶无穷小，记为 ；如果，就说是比低阶无穷小；如果，就说与是同阶无穷小；如果，就说与是等价无穷小；如果，就说是阶无穷小。二、等价无穷小替换定理设，且存在，那么存在，且。常用重要等价无穷小：当时，注；1、等价无穷小替换定理是等价无穷小因子替换定理，只有因子可以替换，只有在乘除法中因子才可以替换。2、等价无穷小与变量替换结合,当时【例1】91一当时，与是等价无穷小，那么常数 .【例2】92三当时，以下四个无穷小量中，哪一个是比其它三个更高阶无穷小量？（A） . B. C. D.【例3】95二求.【例4】89三设，那么当时，（A） 是等价无穷小. B与是同阶但非等价无穷小.C是比更高阶无穷小. D是比拟低阶无穷小.【例5】91一求.【例6】求.【例7】91三求极限.第七节 函数连续性与连续点一、函数连续性定义在处连续：，其中，假设在内每一点处都连续，那么称在内连续，记为，称为连续区间。单侧连续：假设，那么称在点左连续；假设，那么称在点右连续。【例1】判定在处连续性【例2】88二设在内连续，那么 .【例3】94二假设在上连续，那么 .二、函数连续点连续点：假设函数在点不连续，那么称为连续点。连续点分类：为第一类连续点：假设，都存在假设，那么为跳跃连续点假设，那么为可去连续点【例】，为可去连续点； ，为跳跃连续点；第二类连续点：假设，中至少有一个不存在，那么为函数第二类连续点具体分为：无穷连续点；震荡连续点【例】，所以是第二类连续点 ，不存在，所以是第二类连续点【例4】设，那么 （A） 在点连续，在点连续 B在点连续，在点连续C在点，都连续 D在点，都连续【例5】设，讨论函数连续性。【例6】92三设函数，问函数在处是否连续？假设不连续，修改函数在处定义，使之连续.第八节 连续函数运算、初等函数连续性及闭区间上连续函数性质一、初等函数连续性一切根本初等函数在其有定义点都连续。假设函数与在点连续，那么函数、及在点连续。假设函数在点处连续，设，而函数在点处连续，那么复合函数：在点处连续。结论：初等函数在其定义域内都是连续。由于函数在其连续点满足：，那么初等函数在其有定义点处求极限问题就转化为：求这一点函数值。也就是：求极限代入求值。【例】；二、闭区间上连续函数性质定理1最值与有界性定理 设函数在闭区间上连续，那么在该区间必有最大值和最小值且有界。几何意义：一段连续曲线必有最高点和最低点，相应地有最大值和最小值。 定理2介值定理设函数在闭区间上连续，那么对介于和之间任何值，在开区间内至少存在一点，使。几何意义是：连续曲线与水平直线至少相交于一点。定理3零点定理假设与异号即，那么连续曲线与轴至少有一个交点，亦即方程在区间内至少有一个实根也就是至少有一个零点。【例1】 证明在区间内至少有一个根。