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一类生物数学模型的动力学研究 摘 要生物数学模型设计生活中的方方面面，可以通过它，定量的定性的了解具体的事例，应用比较广的有人口模型，传染病模型，生态物种模型，企业模型等等。在这些模型中涉及了微分方程的定性理论。如几何分支法，李亚普诺夫方法等。可以分析不同情况下对应的状态。本文主要讨论了关于微分方程稳定性的一些问题。 ABSTRACTMathematical biology model design in all aspects of life, through it, quantitative and quantative understanding of specific examples, the widespread application of population model, infectious disease model, ecological species model, business model and so on. In these models relates to the qualitative theory of differential equations. Such as geometry method, Lyapunov method. Can analyze the state corresponding to different situations. This paper mainly discusses some problems about the stability of the differential equation.关 键 字 几何分支 李亚普诺夫函数 微分方程稳定性1 引言 生物数学是在生物学的不同领域中应用数学工具对生命现象进行研究的学科。其一般方法是建立被研究对象的数学模型并对其进行定性和定量研究。 比较著名的生物模型方法有马尔萨斯人口模型，传染病模型，生态物种模型，企业模型等。用数学语言表现和描述真实世界某些现象、特征和状况。在建立生态数学模型时 ，人们越来越多地意识到空间因素的必要性从生物学观点来看 ，每个生物个体都分布于空间中并与周围环境以及 附近的其他生物个体相互作用研究生物数学模型有多种研究方法，平衡点理论，李亚普诺夫函数法，区域法，数值方法，纯数学方法等。2生物数学研究背景 数学模型能定量地描述生命物质运动的过程，一个复杂的生物学问题借助数学模型能转变成一个数学问题，通过对数学模型的逻辑推理、求解和运算，就能够获得客观事物的有关结论，达到对生命现象进行研究的目的。 比如描述生物种群增长的费尔许尔斯特-珀尔方程，就能够比较正确的表示种群增长的规律；通过描述捕食与被捕食两个种群相克关系的洛特卡-沃尔泰拉方程，从理论上说明：农药的滥用，在毒杀害虫的同时也杀死了害虫的天敌，从而常常导致害虫更猖獗地发生等。马尔萨斯生物总数增长定律指出：在孤立的生物群体中，生物总数的变化率与生物总数成正比，其数学模型为（1）其中为常数. 方程（1）的解为（2）因此，遵循马尔萨斯生物总数增长定律得任何生物都是随时间按指数方式增长，在此意义下，马尔萨斯方程（1）又称指数增长模型。人作为特殊的生物总群，人口的增长也应满足马尔萨斯生物总数增长定律，此时的（1）式称为马尔萨斯人口方程。英国人口学家马尔萨斯根据百余年的人口统计资料，于1798年提出了人口指数增长模型。根据马尔萨斯人口方程预测的结果有可能会与实际数据相差较大。造成误差过大的主要原因是人口的增长率不是常数，它是随时间而变化的，很多试验和事实也证明是时变的。为此修改马尔萨斯人口方程为(3)其中为时变人口增长率，为定常参数。求解微分方程（3），得其特解为（4）人口增长的logistic模型这里的为一个常数（内禀增长率），k>0是一个常数，通常称为环境容纳量。一种捕食与被捕食的关系的模型. 例如在海洋中生活的鬚鲸和南极虾之间的关系. 设南极虾的数量是x(t), 鲸的数量是y(t), 鬚鲸以南极虾为主食, 没有了南极虾, 鬚鲸的数量将指数式地下降: , 是常数. （5）但有了南极虾x(t)时, 鬚鲸的数量的变化关系（1）要改为:, 是常数. (6)而南极虾被鬚鲸捕食, 它的数量的变化服从以下关系: , . 是常数. (7)我们同样可以通过研究方程组(6),(7)的轨道来讨论鬚鲸与南极虾数量的变化规律. 一种竞争关系的模型,例如一个池塘里饲养两种食用鱼，鳟鱼和鲈鱼之间的关系。. 设它们在时刻t的尾数分别是x(t)和y(t). 假定鳟鱼的尾数x(t)的增长速度正比于鳟鱼尾数x(t), 增长率为k; 即. (8)由于鲈鱼的存在而争夺食物、减小了鳟鱼的增长率. 鲈鱼越多，鳟鱼的增长率越小，可设鳟鱼的增长率k = a by, 其中a>0, b>0是常数. 因此我们可以写出如下的描述鳟鱼尾数的微分方程:, , . (9)同理由于鳟鱼的存在而争夺食物、减小了鲈鱼的增长率. 我们可得到描述鲈鱼尾数的微分方程:, (10)其中 m>0, n>0是常数.当鳟鱼的尾数x(t) > m/n, 鲈鱼的尾数 y(t)<a/b时, 由方程 (10)可见鲈鱼的尾数y将减少, 由方程 (9)可见鳟鱼将增加. 反之, 当鳟鱼的尾数x(t) < m/n, 鲈鱼的尾数 y(t)>a/b时, 由方程 (10)可见鲈鱼的尾数y将增加, 由方程 (9)可见鳟鱼尾数x(t)将减少. 综述：由于那些片面的、孤立的、机械的研究方法不能完全满足生物学的需要，因此，在非生命科学中发展起来的数学，在被利用到生物学的研究领域时就需要从事物的多方面，在相互联系的水平上进行全面的研究，需要综合分析的数学方法。多元分析就是为适应生物学等多元复杂问题的需要、在统计学中分化出来的一个分支领域，它是从统计学的角度进行综合分析的数学方法。多元统计的各种矩阵运算，体现多种生物实体与多个性状指标的结合，在相互联系的水平上，综合统计出生命活动的特点和规律性。 生物数学中常用的多元分析方法有回归分析、判别分析、聚类分析、主成分分析和典范分析等。生物学家常常把多种方法结合使用，以期达到更好的综合分析效果。 多元分析不仅对生物学的理论研究有意义，而且由于原始数据直接来自生产实践和科学实验，有很大的实用价值。在农、林业生产中，对品种鉴别、系统分类、情况预测、生产规划以及生态条件的分析等，都可应用多元分析方法。医学方面的应用，多元分析与电脑的结合已经实现对疾病的诊断，帮助医生分析病情，提出治疗方案。 生命现象常常以大量、重复的形式出现，又受到多种外界环境和内在因素的随机干扰。因此概率论和统计学是研究生物学经常使用的方法。生物统计学是生物数学发展最早的一个分支，各种统计分析方法已经成为生物学研究工作和生产实践的常规手段。 20世纪50年代以来，生物学突飞猛进地发展，多种学科向生物学渗透，从不同角度展现生命物质运动的矛盾，数学以定量的形式把这些矛盾的实质体现出来。从而能够使用数学工具进行分析；能够输入电脑进行精确的运算；还能把来自名方面的因素联系在一起，通过综合分析阐明生命活动的机制。 总之，数学的介入把生物学的研究从定性的、描述性的水平提高到定量的、精确的、探索规律的高水平。生物数学在农业、林业、医学，环境科学、社会科学和人口控制等方面的应用，已经成为人类从事生产实践的手段。当今的生物数学仍处于探索和发展阶段，生物数学的许多方法和理论还很不完善，它的应用虽然取得某些成功，但仍是低水平的、粗略的、甚至是勉强的。许多更复杂的生物学问题至今未能找到相应的数学方法进行研究。因此，生物数学还要从生物学的需要和特点，探求新方法、新手段和新的理论体系，还有待发展和完善。3研究方法 3.1一维微分方程的稳定性判别： 3 1：右端不显含自变量t的微分方程称为自治方程（自制系统）。在这里我们仅讨论右端不显含自变量t的一阶微风方程。形如 2：代数方程f（x）=0的实根x=x0 称为微分方程的平衡点。 3：从x0某领域的任意值出发，使方程中的解x（t）满足 ，则称x0是稳定的，否则是不稳定的。 判定稳定点稳定性的方法方法一：通过求解方程的解，通过极限运算来判断稳定解与否。方法二：不求方程式的解x(t)。该方法将f（x)在x0出作泰勒展开，只取易一次项，有微分方程（1）可近似为 称为近似方程，x0也是平衡点。的解为因为 ，所以有下列结论。若f(x)<0,则称为方程的稳定的平衡点。若f(x0)>0,则称x0为方程的不稳定平衡点。例1：讨论logistic模型 的平衡点的稳定性。解：方法一，根据定义2，Logistic模型的两个平衡点为：x=0，x=xm，模型的解为：x（t）=，当t，总有x(t) xm，则平衡点x = xm是稳定的平衡点，平衡点x = 0是不稳定的平衡点。方法二：，则有，则，则，x = 0是不稳定平衡点； ，x = xm是稳定的平衡点。分析：从平衡点的稳定性来看，随着时间的推移，人口的增长在x = xm处趋于稳定，也就是人口达到了自然资源和环境条件所容纳的最大人口数量xm。符合Logistic模型的假设。 3.2二维微分方程的平衡点及其稳定性 右端不显含自变量t的微分方程组是自治方程(系统)。方程可以表示为两个代数方程组，其组成的点P(x0，y0)称为自治系统(4)的平衡点。 对于自治系统的平衡点P(x0，y0)，类似前面的定义，若以所有可能的初始条件出发的解x(t),y(t)满足limx(t)=x0，limy(t)=y0，则称平衡点P稳定；否则称P不稳定。判定平衡点稳定性的方法 为了用直接法讨论系统平衡点的稳定性，要先研究线性常系数微分方程组的平衡点及其稳定性。P(x0，y0)是上式的唯一的平横点，他的特征方程是det（I - A)=0,记A=, p=-(a+d), q=det(A) , 特征根为一般解得形式为或，所以根据稳定性的判定定理可得：关于的平衡点的稳定性，有如下结论着p>0且q>0，则(5)式的平衡点P(0，0)稳定；若p<0或q<0，则(5)式的平衡点P(0，0)不稳定；对于非线性系统平衡点的稳定性，可以用线性近似方法来判断，将在点P作泰勒展开，只取一次项，得在P处的线性近似方程为：上面的微分方程有下列结论成立。在非临界的情况下（p,q0)(4) 式平衡点P(x0，y0)的稳定性与线性近似的平衡点P(x0，y0)的稳定性相同。稳定性理论就是通过一些的定量计算来研究系统的稳定状态，即系统在收到干扰项偏离平衡状态后能否恢复到平衡状态或平衡状态附近。3.3下面摘录一些平衡点的分布 2 1结点型如果在某奇点附近的轨线具有如图5-1的分布情形，我们就称这奇点为稳定结点.因此，当0时，原点O是 (6.3)(5.4)式的稳定结点. 图 6-1 图 6-2如果在某奇点附近的轨线具有如图5-2的分布情形，我们就称这奇点为不稳定结点.因此，当0时，原点O是(5.4)的不稳定结点.如果在奇点附近的轨线具有如图5-3和图5-4的分布，就称这奇点为临界结点. 图 6-3 图 6-4 当0时，轨线在t时趋近于原点. 这时，我们称奇点O为稳定的临界结点；当0时，轨线的正向远离原点， 我们称奇点O为不稳定的临界结点. 如果在奇点附近轨线具有如图5-5及图5-6的分布，就称它是退化结点.当0时，轨线在t时趋于奇点，称这奇点为稳定的退化结点；当0时，轨线在t时远离奇点，称这奇点为不稳定的退化结点. 图 6-5 图 6-62鞍点型如果在某奇附近的轨线具有如图5-7或图5-8的分布情形，我们称这奇点为鞍点.因此，当，异号时，原点O是(5.25)的鞍点. 图 6-7 图 6-83焦点型如果在某奇附近的轨线具有如图5-9的分布情形，我们称原点O是稳定焦点；而当0时，相点沿着轨线远离原点，这时，称原点是不稳定焦点 (见图5-10).图 6-9图 6-104中心型如0，则轨线方程成为： 或 它是以坐标原点为中心的圆族.在奇点附近轨线具有这样的分布，称奇点为中心. 图 6-11 图 6-12综上所述，方程组 (6.4)经过线性变换，可化成标准型 (6.5)由A的特征根的不同情况，方程的奇点可能出现四种类型：结点型，鞍点型，焦点型，中心型. 当，根据A的特征根的不同情况可有如下的类型： 同号结点 相异（非零）实根 实根 异号鞍点 临界结点 重（非零）实根 退化结点 实部不为零焦点 复根 实部为零中心 因为A的特征根完全由A的系数确定，所以A的系数可以确定出奇点的类型.3.4一个具体的例子：解 1） 先求出奇点。解方程组得所以方程组1）有奇点为和。 再研究驻定解的稳定性态。零解的稳定性态。奇点的一次近似方程组为其特征根，有正实部的特征根，原系统的零解不稳定。5 12驻定解的稳定性态。令将1）中方程组化为一次近似方程组为有正实部的特征根，可知平衡点不稳定。1 1 驻定解的稳定性态令将1）中方程组化为一次近似方程组为其特征根，可知平衡点渐近稳定。坐标轴改成X、Y轴11 54李亚普诺夫方法1简介：从19世纪末以来，李雅普诺夫稳定性理论一直指导着关于稳定性的研究和应用。不少学者遵循李雅普诺夫所开辟的研究路线对第二方法作了一些新的发展。一方面，李雅普诺夫第二方法被推广到研究一般系统的稳定性。例如，1957年，祖博夫将李雅普诺夫方法用于研究度量空间中不变集合的稳定性。随后，J.P.拉萨尔等又对各种形式抽象系统的李雅普诺夫稳定性进行了研究。在这些研究中，系统的描述不限于微分方程或差分方程，运动平衡状态已采用不变集合表示，李雅普诺夫函数是在更一般意义下定义的。1967年，D.布肖对表征在集合与映射水平上的系统建立了李雅普诺夫第二方法。这时，李雅普诺夫函数已不在实数域上取值，而是在有序定义的半格上取值。另一方面，李雅普诺夫第二方法被用于研究大系统或多级系统的稳定性。此时，李雅普诺夫函数被推广为向量形式，称为向量李雅普诺夫函数。用这种方法可建立大系统稳定性的充分条件。4.1李雅普诺夫第一法利用状态方程的解的特性来判断系统稳定性的方法，它适用于线性定常、线性时变及可线性化的非线性系统。线性定常系统的特征值判据 系统渐近稳定的充要条件是：系统矩阵A的全部特征值位于复平面左半部，即 （5）证明 假定A有相异特征值，根据线性代数理论，存在非奇异线性变换（P由特征值对应的特征向量构成，为一常数矩阵），可使对角化，有变换后状态方程的解为 由于 ，故原状态方程的解为 有 将上式展开，的每一元素都是的线性组合，因而可写成矩阵多项式故可以显式表出与i的关系当式（8-74）成立时，对于任意x（0），均有，系统渐近稳定。只要有一个特征值的实部大于零，对于,便无限增长，系统不稳定。如果只有一个（或一对，且均不能是重根）特征值的实部等于零，其余特征值实部均小于零，便含有常数项或三角函数项，则系统是李雅普诺夫意义下稳定的。4.2李雅普诺夫稳定性直接判别法李雅普诺夫第二法（直接法）是利用李雅普诺夫函数直接对平衡状态稳定性进行判断，无需求出系统状态方程的解，它对各种控制系统均适用。根据物理学原理，若系统贮存的能量（含动能与位能）随时间推移而衰减，系统迟早会到达平衡状态。实际系统的能量函数表达式相当难找，因此李雅普诺夫引入了广义能量函数，称之为李雅普诺夫函数。它与及t 有关，是一个标量函数，记以；若不显含t ，则记以。考虑到能量总大于零，故为正定函数，能量衰减特性用表示。遗憾的是至今仍未形成构造李雅普诺夫函数的通用方法，需要凭经验与技巧。实践表明，对于大多数系统，可先尝试用二次型函数作为李雅普诺夫函数。李雅普诺夫第二法诸稳定性定理 设系统状态方程为，其平衡状态满足,不失一般性，把状态空间原点作为平衡状态，并设系统在原点邻域存在对的连续的一阶偏导数。定理1 若正定，负定；则原点是渐近稳定的。负定表示能量随时间连续单调地衰减，故与渐近稳定性定义叙述一致。定理2 若正定；负半定，且在非零状态不恒为零；则原点是渐近稳定的。负半定表示在非零状态存在，但在从初态出发的轨迹上，不存在的情况，于是系统将继续运行至原点。状态轨迹仅是经历能量不变的状态，而不会维持在该状态。定理3 若正定；负半定，且在非零状态恒为零；则原点是李雅普诺夫意义下稳定的。沿状态轨迹能维持，表示系统能维持等能量水平运行，使系统维持在非零状态而不运行至原点。定理4 若正定；正定；则原点是不稳定的。正定表示能量函数随时间增大，故状态轨迹在原点邻域发散。参考定理2可推论：正定，当正半定，且在非零状态不恒为零时，则原点不稳定。以上定理按照连续单调衰减的要求来确定系统稳定性，并未考虑实际稳定系统可能存在衰减振荡的情况，因此其条件是偏于保守的，故借稳定性定理判稳定者必稳定，李雅普诺夫第二法诸稳定性定理所述条件都是充分条件。具体分析时，先构造一个李雅普诺夫函数，通常选二次型函数，求其导数，再将状态方程代入，最后根据的定号性判别稳定性。例：（为参数） 取定正函数则当时，常负，方程组的零解是稳定的；当时，方程组的线性近似方程组具有正实部的特征根：，因而方程组的零解是不稳定的。5本文的主要研究工作本文要讨论 模型，解释模型的背景及参数的意义。1、稳定性理论分析 令解得两组解：下面分情况讨论平衡点的存在性和稳定性(1) 当，平衡点是（K,0)时，故点（N，0）渐近稳定，在区域内部。（2） 当时，平衡点有,q>0,p>0, 因此平衡点稳定，而 平衡点（N,0)在此处不稳定。下面分情况讨论之。两个基本的传染病动力学模型 2 在传染病动力学中，长期以来主要使用的数学模型是所谓的“仓室”模型，他的基本思想由kermack和McKendrick创立于1927年，但一直到现在仍然被广泛地使用和不断地发展着。线面我们以他提出的两个经典的基本模型为例，来阐述创立仓室模型的基本思想和有关基本概念，并显示有模型所能得到的主要结论。Kermack-McKendrick 的SIR 仓室模型 所谓SIR仓室模型就是针对某类传染病将该地区的人群分成以下三类（即三个仓室）易感者类 其数量记为S(t)，表示t时刻为染病但有可能被该类疾病传染的人数 染病者类 其数量记为I(t)，表示t时刻已被感染成病人而且具有传染力的人数移出者类 其数量记为R(t),表示t时刻已从染病这类移出的人数。设总人口为N(t)，则有N(t)=S(t)+I(t)+R(t).K-M的SIR模型的建立基于以下三个假设。（1） 不考虑人口的出生，死亡，流动等种群动力因素。（2） 一个病人一旦与易感者接触就必然具有一定的传染力。这里假设t时刻单位时间内，一个病人能传染的易感者数目与此环境内易感者总数S(t)成正比，比例系数为beta，从而在t时刻单位时间内被所有病人传染的人数为（3） T时刻，单位时间内从染病者类移出的人数与病人数量成正比，比例系数为r,从而单位时间内移出者的数量为rI（t）。 给定出生率和死亡率为b，易感染者数量S，感染者数量I，回复率系数r，总人口k，系数B。5.1情形一例当时，根据情况给一组具体数据来看轨线分布情况。解方程组：得和所以方程组1）有奇点为和，（1,0）。再研究平衡点的稳定性态。解1的稳定性态。奇点的一次近似方程组为其特征根，有一正一负实部的特征根，原系统的解不稳定。b）解2的稳定性态。奇点（1，0）的一次近似方程组为其特征根，有负实部的特征根，原系统的解稳定。5.2情形二当时，根据情况给一组具体数据来看轨线分布情况。解方程组：得和 所以方程组1）有奇点为（1,8）和（5,0）。 再研究平衡点的稳定性态。解1的稳定性态。奇点（1，8）的一次近似方程组为其特征根，有负实部的特征根，原系统的解稳定。b）解2的稳定性态。奇点（5，0）的一次近似方程组为其特征根，有一正一负实部的特征根，原系统的解不稳定。选用ode23计算，其相对误差限为10-3,绝对误差限为10-6，分别画出初值条件为x0,y0=1,2,1,5,1,8,1,11和1,12解得相平面轨迹图。5.3 变系数模型的数值模拟引入扰动变量sin(t)，来看前后结果的不同。添加扰动项后变成5.4常系数模型与变系数模型的稳定性的比较图1表示添加扰动向后的图形，图2是添加扰动后和未添加时的变化情况，从图中可以看出图形的大致变化方向没有发生变化，但由于微分系统具有的非线性及扰动的情况，图形没有吻合。说明了扰动项在微分方程系统里的作用不可忽视。6本文研究结论及意义通过本文的研究，学习了判定系统是否稳定的方法，尤其是非线性系统，由于其不好把握，需要由线性系统转化。在文章里，我们细致的探讨了不同情况的定性问题，对不同的问题有不同的分析。其中，微分方程与实际问题的结合往往显得很重要，对我们分析实际问题有所提示。参考文献：1 张锦炎，冯贝叶 微分方程几何理论与分支问题 北京大学出版社 1981年7月2 马知恩，周义仓 传染病动力学的数学建模与研究 科学出版社 2004年8月3 王景艳,杨艳丽 微分方程的平衡点及稳定性分析 4 朱道宇 一类具扩散的SIR传染病模型的稳定性分析 常熟理工学院学报 2012年 10月5 郭玉翠 常微分方程：理论、建模与发展 清华大学出版社 2010年8月6 曾金平 杨余飞 关力 微分方程数值解 科学出版社 2011年6月7 陈兰荪 宋新宇 陆征一 数学生态学模型与研究方法 四川科学出版社 2003年8月8 盛骤 常微分方程与稳定性分析 1986年8月