对数函数知识点总结.docx
对数函数（一）对数1对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：（ 底数， 真数， 对数式）说明： 注意底数的限制，且； 注意对数的书写格式两个重要对数： 常用对数：以10为底的对数； 自然对数：以无理数为底的对数的对数（二）对数的运算性质如果，且，那么：·；注意：换底公式（，且；，且；）利用换底公式推导下面的结论（1）；（2）（二）对数函数1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+）注意： 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数 对数函数对底数的限制：，且2、对数函数的性质：a>10<a<1定义域x0定义域x0值域为R值域为R在R上递增在R上递减函数图象都过定点（1，0）函数图象都过定点（1，0）对数函数·例题解析例1求下列函数的定义域：（1） ； （2）； （3）解：（1）由>0得，函数的定义域是；（2）由得，函数的定义域是；（3）由9-得-3，函数的定义域是例2求函数和函数的反函数。解：（1）； （2） 例4比较下列各组数中两个值的大小： （1），； （2），； （3），.解：（1）对数函数在上是增函数，于是；（2）对数函数在上是减函数，于是；（3）当时，对数函数在上是增函数，于是， 当时，对数函数在上是减函数，于是例5比较下列比较下列各组数中两个值的大小：（1），； （2），； （3），； （4），解：（1）， ，； （2）， ，(3）， ， ， （4）， 例7求下列函数的值域：（1） ；（2）；（3）（且）解：（1）令，则， ， ，即函数值域为 （2）令，则， ， 即函数值域为 （3）令， 当时， 即值域为， 当时， 即值域为例8判断函数的奇偶性。解：恒成立，故的定义域为， ，所以，为奇函数。例9求函数的单调区间。解：令在上递增，在上递减，又， 或，故在上递增，在上递减， 又为减函数，所以，函数在上递增，在上递减。例10若函数在区间上是增函数，的取值范围。解：令， 函数为减函数，在区间上递减，且满足，解得，所以，的取值范围为解 (2)1(xa)0，(xa)1当a1时，0xaa，函数的定义域为(a，0)当0a1时，xaa，函数的定义域为(0，)域和值域反函数的定义域为(0，1)，值域为yR【例3】 作出下列函数的图像，并指出其单调区间(1)(x)(2)21|解 (1)(x)的图像与的图像关于y轴对称，如图283所示，单调减区间是(，0)解 (2)先作出函数2的图像，再把它的图像向左平移1个单位就得y21|的图像如图284所示单调递减区间是(，1)单调递增区间是(1，)的图像，保留其在x轴及x轴上方部分不变，把x轴下方的图像以x轴为所示单调减区间是(1，2单调增区间是2，)解 (4)函数2(x)的图像与函数2x的图像关于y轴对称，故可先作2(x)的图像，再把y2(x)的图像向右平移1个单位得到2(1x)的图像如图286所示单调递减区间是(，1)【例4】 图287分别是四个对数函数，的图像，那么a、b、c、d的大小关系是 AdcbaBabcdCbadcDbcad解 选C，根据同类函数图像的比较，任取一个x1的值，易得ba1dc【例5】 已知33，试确定a和b的大小关系解法一 令y1，y2，3，即取x3时，y1y2，所以它们的图像，可能有如下三种情况：(1)当330时，由图像288，取3，可得ba1(2)当033时，由图像289，得0ab1(3)当303时，由图像2810，得a1b0顺序是：奇偶性解法一 已知函数的定义域为R，则xRf(x)是奇函数解法二 已知函数的定义域为R1=0f(x)=f(x)，即f(x)为奇函数单元测试一、选择题（每小题5分，共50分）.1对数式中，实数a的取值范围是（ ）AB(2,5)CD 2如果35，那么（ ）A3bcB C D3c33设函数(x25x)的定义域为M，函数(x5)的定义域为N，则（ ）AMB C D4若a0，b0，1，2，则与的关系是（ ）A BC D5若函数2(2+43)的定义域为R，则k的取值范围是（ ）A BC D6下列函数图象正确的是（ ） A B C D7已知函数，其中2f(x)=2x，则g(x) （ ）A是奇函数又是减函数 B是偶函数又是增函数C是奇函数又是增函数 D是偶函数又是减函数9如果2a1x在(0，+)内是减函数，则a的取值范围是（ ）Aa1Ba2Ca D10下列关系式中，成立的是（ ）AB CD二、填空题：（每小题6分，共24分）.11函数的定义域是，值域是.12方程2(21)2(21+2)=2的解为.13将函数的图象向左平移一个单位，得到图象C1，再将C1向上平移一个单位得到图象C2，作出C2关于直线对称的图象C3，则C3的解析式为.14函数的单调递增区间是.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分).15（12分）已知函数.(1)求函数f (x)的定义域；(2)求函数f (x)的值域.16 （12分）设x，y，z，且346z.(1)求证：; (2)比较3x，4y，6z的大小.17（12分）设函数.(1)确定函数f (x)的定义域；(2)判断函数f (x)的奇偶性；(3)证明函数f (x)在其定义域上是单调增函数；(4)求函数f(x)的反函数.18现有某种细胞100个，其中有占总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过个？（参考数据：）.20（14分）已求函数的单调区间.必修1数学章节测试（7）第二单元（对数函数）一、 二、11 ， ； 120； 13； 14 ；三、15 解：(1)函数的定义域为(1，p).(2)当p3时，f (x)的值域为(，22(1)2)；当1p3时，f (x)的值域为(，12(1).16 解：(1)设346. x0，y0，z0，t1，0，.(2)3x4y6z.17解： (1)由得xR，定义域为R. (2)是奇函数. (3)设x1，x2R，且x1x2，则. 令，则. = = =x1x20，t1t20，0t1t2，f (x1)f (x2)1=0，即f (x1)f (x2)，函数f(x)在R上是单调增函数. (4)反函数为().18解：现有细胞100个，先考虑经过1、2、3、4个小时后的细胞总数， 1小时后，细胞总数为；2小时后，细胞总数为；3小时后，细胞总数为；4小时后，细胞总数为；可见，细胞总数与时间（小时）之间的函数关系为： ，由，得，两边取以10为底的对数，得， ，. 答：经过46小时，细胞总数超过个.19解：（1）过,分别作111垂直于x轴，垂足为A111，则梯形1B1梯形1C1CS梯形1C1C.（2）因为在上是增函数,且v5, 上是减函数，且1<u; S上是增函数，所以复合函数(t) 上是减函数（3）由（2）知1时，S有最大值，最大值是f (1) 20解：由>0得0<x<1，所以函数的定义域是(0,1)因为0<=，所以，当0<a<1时, 函数的值域为;当a>1时, 函数的值域为当0<a<1时，函数在上是减函数，在上是增函数；当a>1时，函数在上是增函数，在上是减函数.
