三角形的边角之间的关系(4页).doc

-三角形的边角之间的关系-第 4 页三角形的边角之间关系（1）三角形三内角和等于180°（在球面上，三角形内角之和大于180°）； （2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和； （3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角； （4）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； （5）在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边. （6）三角形中的四条特殊的线段：角平分线，中线，高，中位线. （7）三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心，它是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等. （8）三角形的外接圆圆心，即外心，是三角形三边的垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等. （9）三角形的三条中线的交点叫三角形的重心，它到每个顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍。 （10）三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。 （11）三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的1/2。 （12）三角形的一边与另一边延长线的夹角叫做三角形的外角。注意: 三角形的内心、重心都在三角形的内部 . 钝角三角形垂心、外心在三角形外部。 直角三角形垂心、外心在三角形的边上。（直角三角形的垂心为直角顶点，外心为斜边中点。）锐角三角形垂心、外心在三角形内部。三角形相关定理重心定理 三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍上述交点叫做三角形的重心.外心定理 三角形的三边的垂直平分线交于一点这点叫做三角形的外心.垂心定理 三角形的三条高交于一点这点叫做三角形的垂心.内心定理 三角形的三内角平分线交于一点这点叫做三角形的内心.旁心定理 三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点这点叫做三角形的旁心三角形有三个旁心三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心它们都是三角形的重要相关点 中位线定理 三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半三边关系定理 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边勾股定理在Rt三角形ABC中，A90度，则AB·AB+AC·AC=BC·BC梅涅劳斯定理梅涅劳斯（Menelaus）定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出：如果一条直线与ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。证明：过点A作AGBC交DF的延长线于G,则AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG。三式相乘得：AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=1它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1，则F、D、E三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。塞瓦定理设O是ABC内任意一点，AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则 BD/DC*CE/EA*AF/FB=1证法简介（）本题可利用梅涅劳斯定理证明：ADC被直线BOE所截， CB/BD*DO/OA*AE/EC=1 而由ABD被直线COF所截， BC/CD*DO/OA*AF/BF=1÷:即得：BD/DC*CE/EA*AF/FB=1（）也可以利用面积关系证明BD/DC=SABD/SACD=SBOD/SCOD=(SABD-SBOD)/(SACD-SCOD)=SAOB/SAOC 同理 CE/EA=SBOC/ SAOB AF/FB=SAOC/SBOC ××得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点:设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F，根据塞瓦定理逆定理，因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=(CD*ctgA）/(CD*ctgB）*(AE*ctgB)/(AE*ctgC)*(BF*ctgC)/(AE*ctgB)=1，所以三条高CD、AE、BF交于一点。莫利定理将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形。这个三角形常被称作莫利正三角形。