三角形的三条中线交于一点(4页).doc

-三角形的三条中线交于一点-第 4 页为什么三角形的三条中线交于一点？（1.相似三角形法）（附图）（原创）已知：ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连接并延长BO，交AC于点E。求证：AE=CE证明：如图，过点O作MNBC，交AB于点M，交AC于点N；过点O作PQAB，交BC于点P，交AC于点Q。MNBCAMOABD，ANOACDMO/BD=AO/AD，NO/CD=AO/ADMO/BD=NO/CDAD是ABC的一条中线BD=CDMO=NOPQABCPOCBF，CQOCAFPO/BF=CO/CF，QO/AF=CO/CFPO/BF=QO/AFCF是ABC的一条中线AF=BFPO=QOMO=NO，MOP=NOQ，PO=QOMOPNOQ(SAS)MPO=NQOMPAC（内错角相等，两条直线平行）BMRBAE，BPRBCEMR/AE=BR/BE，PR/CE=BR/BEMR/AE=PR/CEMNBC，PQAB四边形BMOP是平行四边形MR=PR（平行四边形的对角线互相平分）AE=CE命题得证。下面的是第二种方法：面积法已知：ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连接并延长BO，交AC于点E。求证：AE=CE证明：如图，点D是BC的中点，点F是AB的中点SCAD = SBAD，SCOD = SBODSCAD - SCOD = SBAD - SBOD即SAOC（绿） = SAOB（红）SACF = SBCF，SAOF = SBOFSACF - SAOF = SBCF - SBOF即SAOC（绿） = SBOC（蓝）SAOB（红） = SBOC（蓝）SAOE:SAOB（红） = OE:OB，SCOE:SBOC（蓝） = OE:OBSAOE:SAOB（红） = SCOE:SBOC（蓝）SAOB（红） = SBOC（蓝）SAOE = SCOEAE=CE命题得证。下面的是第三种方法：中位线法已知：ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连接并延长BO，交AC于点E。求证：AE=CE证明：如图，延长OE到点G，使OG=OB。OG=OB点O是BG的中点又点D是BC的中点OD是BGC的一条中位线ADCG（三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半）点O是BG的中点，点F是AB的中点OF是BGA的一条中位线CFAGADCG，CFAG四边形AOCG是平行四边形AC、OG互相平分AE=CE命题得证。