三角形ABC中三边平方之间的关系八年级数学上册(4页).doc

-三角形ABC中三边平方之间的关系八年级数学上册-第 4 页三角形ABC中三边平方之间的关系三角形ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,若角C=90°,根据勾股定理则a²+b²=c²,若三角形ABC不是直角三角形,请类化勾股定理，证明a²+b²与c²的关系。解：若ABC是锐角三角形，则有a2+b2c2（1分）若ABC是钝角三角形，C为钝角，则有a2+b2c2（2分）当ABC是锐角三角形时，证明：过点A作ADBC，垂足为D，设CD为x，则有BD=a-x（3分）根据勾股定理，得b2-x2=AD2=c2-（a-x）2即b2-x2=c2-a2+2ax-x2a2+b2=c2+2ax（5分）a0，x0，2ax0a2+b2c2（6分）当ABC是钝角三角形时，证明：过B作BDAC，交AC的延长线于D设CD为x，则有BD2=a2-x2（7分）根据勾股定理，得（b+x）2+a2-x2=c2即a2+b2+2bx=c2（9分）b0，x0，2bx0，a2+b2c2解：当ABC为锐角三角形时，做BC边上的高ADBC于D，ADC=ADB=90°。设CD为x，BD为a-x。在RtACD和RtABD中，ADC=ADB=90°。由勾股定理得：AD²=b²-x²=c²-（a-x）²，b²-x²=c²-a²+2ax-x²，a²+b²-2ax=c²。2ax>0，a²+b²>c²当ABC为钝角三角形时，做BC边上的高ADBC的延长线于D，D=90°。设CD为y，BD为a+y。在RtACD和RtABD中，D=90°，由勾股定理得：AD²=b²-y²=c²-（a+y）²，b²-y²=c²-a²-2ay+y²，a²+b²+2ay=c²，2ay>0，a²+b²解：若ABC是锐角三角形，则有a2+b2c2 若ABC是钝角三角形，C为钝角，则有a2+b2c2当ABC是锐角三角形时， 证明：过点A作ADBC，垂足为D，设CD为x，则有BD=ax根据勾股定理，得b2x2=AD2=c2（ax）2即b2x2=c2a2+2axx2a2+b2=c2+2axa0，x0，2ax0a2+b2c2当ABC是钝角三角形时， 证明：过B作BDAC，交AC的延长线于D 设CD为x，则有BD2=a2x2 根据勾股定理，得（b+x）2+a2x2=c2即a2+b2+2bx=c2b0，x0，2bx0，a2+b2c2当c为最大边时： 1)若ABC为锐角三角形，那么就有：c2a2+b2 2)若ABC为钝角三角形，那么就有：c2a2+b2 当然，3）若ABC为直角三角形，那么就有：c2=a2+b2当ABC为锐角三角形时，作CDAB,垂足D,设AD=m,则BD=c-m根据勾股定理有：b²-m²=CD²，（a-m)²+CD²=c²即（a-m)²+b²-m²=c²a²-2am+b²=c²a²+b²-c²=2am0（a,m都是正数）所以a²+b²c²若ABC为钝角三角形，b²-m²=CD²，（a+m)²+CD²=c²a²+2am+b²=c²c²-（a²+b²）=2am0所以c²a²+b²