专题一：用导数求切线方程的四种类(23页).doc

-专题一：用导数求切线方程的四种类-第 23 页用导数求切线方程的四种类型求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为下面例析四种常见的类型及解法类型一：已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数，并代入点斜式方程即可例1曲线在点处的切线方程为（） 1解：由则在点处斜率，故所求的切线方程为，即，因而选练习：1设f(x0)0，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线()A不存在B与x轴平行或重合C与x轴垂直 D与x轴斜交答案B2.已知函数yf(x)的图像如右图所示，则f(xA)与f(xB)的大小关系是()Af(xA)>f(xB)Bf(xA)<f(xB)Cf(xA)f(xB)D不能确定答案B2曲线y2x21在点(0,1)处的切线的斜率是()A4B0C4 D不存在答案B10已知曲线y2x3上一点A(1,2)，则A处的切线斜率等于()A2 B4C66·x2·(x)2 D6答案D4函数ysin2x的图像在处的切线的斜率是()A. B.C. D.答案D分析将函数ysin2x看作是由函数yu2，usinx复合而成的解析y2sinxcosx，y|x2sincos2曲线yx32在点(1，)处切线的倾斜角为()A30° B45°C135° D60°答案B6yx3的切线倾斜角的范围为_答案0，)解析ky3x20.8设点P是曲线yx3x上的任意一点，点P处切线倾斜角为，则角的取值范围是()A. B.C. D.答案D解析由y3x2，易知y，即tan.0<或<.14已知曲线C：yx3，求在曲线C上横坐标为1的点处的切线方程解析将x1代入曲线C的方程得y1，切点P(1,1)y 3x23xx(x)23x2，y|x13.过P点的切线方程为y13(x1)，即3xy20.14求曲线ysinx在点A(，)处的切线方程解析ysinx，ycosx.y|xcos，k.切线方程为y(x)化简得6x12y60.6曲线y在点(1，1)处的切线方程为()Ayx2 By3x2Cy2x3 Dy2x1答案D例3求曲线y在点(4，)处的切线方程【思路分析】将函数变形为y(x23x)，将其看做是由函数yu、ux23x复合而成【解析】y(x23x)，y(x23x)·(x23x)(x23x)·(2x3)曲线y在点(4，)处的切线斜率为ky|x4(423×4)·(2×43).曲线在点(4，)处的切线方程为y(x4)，即5x16y280.探究3本题不要将函数y看做是由y，u，vx23x三个函数复合而成的，这样求导就麻烦了思考题3(1)曲线y在点(1,2)处的切线方程为_【答案】3x2y10(2)y的水平切线方程是_【解析】令y0，得x0，y1.12求曲线y2xx3在点(1，1)处的切线的方程及此切线与x轴、y轴所围成的平面图形的面积答案xy20；28曲线ye x在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()A.e2 B4e2C2e2 De2答案D解析y·e x，切线的斜率ky|x4e2.切线方程为ye2e2(x4)横纵截距分别为2，e2，Se2，故选D.11已知函数yf(x)的图像在点M(1，f(1)处的切线方程是yx2，则f(1)f(1)_.答案3解析f(1)，f (1)×12，f(1)f(1)3.5如图是函数f(x)及f(x)在点P处切线的图像，则f(2)f(2)_.答案解析由题图知，切线方程为1，f(2)4.5·(1)，f(2).f(2)f(2).类型二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决例2与直线的平行的抛物线的切线方程是（） 2 解：设为切点，则切点的斜率为由此得到切点故切线方程为，即，故选评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用法加以解决，即设切线方程为，代入，得，又因为，得，故选练习：3曲线yx3在点P处的切线斜率为3，则点P的坐标为()A(2，8) B(1,1)，(1，1)C(2,8) D(，)答案B13若曲线y2x3上某点切线的斜率等于6，求此点的坐标解析y|xx0 6x0，6x06.x0±1.故(1,2)，(1，2)为所求3已知曲线y3lnx的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为()A3 B2C1 D.答案A解析yx3，由x.得x3或xx>0，所以x3.3已知曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线方程为2xy10，那么()Af(x0)0 Bf(x0)<0Cf(x0)>0 Df(x0)不能确定答案B5如果曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为x2y30，那么()Af(x0)>0 Bf(x0)<0Cf(x0)0 Df(x0)不存在答案B7在曲线yx2上切线的倾斜角为的点是()A(0,0) B(2,4)C(，) D(，)答案D2若曲线yx4的一条切线l与直线x4y80垂直，则l的方程为()A4xy30Bx4y50C4xy30 Dx4y30答案A解析l与直线x4y80垂直，l的斜率为4.y4x3，由切线l的斜率是4，得4x34，x1.切点坐标为(1,1)切线方程为y14(x1)，即4xy30.故选A.11已知P(1,1)，Q(2,4)是曲线yx2上的两点，则与直线PQ平行的曲线yx2的切线方程是_答案4x4y10解析k1，又y2x，令2x1，得x，进而y，切线方程为y1·(x)，即4x4y10.13如果曲线yx2x3的某一条切线与直线y3x4平行，求切点坐标与切线方程答案切点坐标为(1，1)，切线方程为3xy4013曲线yx33x26x10的切线中，斜率最小的切线方程为_答案3xy110解析y3x26x63(x1)233，当且仅当x1时取等号，当x1，时y14.切线方程为y143(x1)，即3xy110.9设直线yxb是曲线ylnx(x>0)的一条切线，则实数b的值为_答案ln214设曲线yax2在点(1，a)处的切线与直线2xy60平行，则a等于()A1 B.C D1答案A14设曲线yeax在点(0,1)处的切线与直线x2y10垂直，则a_.答案2解析由题意得yaeax，y|x0aea×02，a2.10函数f(x)asinax(aR)的图像过点P(2，0)，并且在点P处的切线斜率为4，则f(x)的最小正周期为()A2 BC. D.答案B解析f(x)a2cosax，f(2)a2cos2a.又asin2a0，2ak，kZ.f(2)a2cosk4，a±2.T.6曲线yln(2x1)上的点到直线2xy30的最短距离是()A. B2C3 D0答案A解析y2，x1.切点坐标为(1,0)由点到直线的距离公式，得d.19曲线yx(x1)(2x)有两条平行于yx的切线，则两切线之间的距离为_答案解析yx(x1)(2x)x3x22x，y3x22x2，令3x22x21，得x11或x2.两个切点分别为(1,2)和(，)切线方程为xy10和xy0.d.类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法6下列说法正确的是()A曲线的切线和曲线有交点，这点一定是切点B过曲线上一点作曲线的切线，这点一定是切点C若f(x0)不存在，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处无切线D若曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处有切线，则f(x0)不一定存在答案D例3 求过曲线上的点的切线方程3解：设想为切点，则切线的斜率为切线方程为又知切线过点，把它代入上述方程，得解得，或故所求切线方程为，或，即，或评注：可以发现直线并不以为切点，实际上是经过了点且以为切点的直线这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法练习：类型四：已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解例4 求过点且与曲线相切的直线方程4解：设为切点，则切线的斜率为切线方程为，即又已知切线过点，把它代入上述方程，得解得，即评注：点实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性例5已知函数，过点作曲线的切线，求此切线方程5解：曲线方程为，点不在曲线上设切点为，则点的坐标满足因，故切线的方程为点在切线上，则有化简得，解得所以，切点为，切线方程为评注：此类题的解题思路是，先判断点A是否在曲线上，若点A在曲线上，化为类型一或类型三；若点A不在曲线上，应先设出切点并求出切点练习：17已知曲线方程为yx2，求过A(3,5)点且与曲线相切的直线方程解析解法一设过A(3,5)与曲线yx2相切的直线方程为y5k(x3)，即ykx53k.由得x2kx3k50.k24(3k5)0，整理得(k2)(k10)0.k2或k10.所求的直线方程为2xy10,10xy250.解法二设切点P的坐标为(x0，y0)，由yx2，得y2x.y|xx02x0.由已知kPA2x0，即2x0.又y02x0，代入上式整理，得x01或x05.18已知曲线S：y3xx3及点P(2,2)，则过点P可向S引切线，其切线条数为()A0 B1C2 D3答案D解析显然P不在S上，设切点为(x0，y0)，由y33x2，得y|xx033x0.切线方程为y(3x0x0)(33x0)(xx0)P(2,2)在切线上，2(3x0x0)(33x0)(2x0)，即x03x020.(x01)(x02x02)0.由x010，得x01.由x02x020，得x01±.有三个切点，由P向S作切线可以作3条综合练习：10已知f(x)x22xf(1)，则f(0)等于()A0 B4C2 D2答案B解析f(x)2x2f(1)，令x1，得f(1)22f(1)，f(1)2.f(0)2f(1)4.12设函数f(x)g(x)x2，曲线yg(x)在点(1，g(1)处的切线方程为y2x1，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率为()A4 BC2 D答案A解析依题意得f(x)g(x)2x，f(1)g(1)24，选A.15(1)求过曲线yex上点P(1，e)且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程；(2)曲线yx5上一点M处的切线与直线yx3垂直，求此切线方程解析(1)yex，曲线在点P(1，e)处的切线斜率是y|x1e.过点P且与切线垂直的直线的斜率为k.所求直线方程为ye(x1)，即xeye210.(2)切线与yx3垂直，切线斜率为1.又yx4，令x41，x±1.切线方程为5x5y40或5x5y40.4yax21的图像与直线yx相切，则a()A. B.C. D1答案B解析由已知有唯一解，即xax21，ax2x10有唯一解，14a0，a.15点P在曲线yf(x)x21上，且曲线在点P处的切线与曲线y2x21相切，求点P的坐标解析设P(x0，y0)，则y0x1.f(x0) 2x0.所以过点P的切线方程为yy02x0(xx0)，即y2x0x1x.而此直线与曲线y2x21相切，所以切线与曲线y2x21只有一个公共点由得2x22x0x2x0.即4x8(2x)0.解得x0，y0.所以点P的坐标为(，)或(，)17若直线ykx与曲线yx33x22x相切，求k的值解析设切点坐标为(x0，y0)，y|xx03x6x02k.若x00，则kx00，由y0kx0，得k.3x6x02，即3x6x02.解之，得x0.k3×()26×2.综上，k2或k.16已知函数f(x)2x3ax与g(x)bx2c的图像都过点P(2,0)，且在点P处有公共切线，求f(x)、g(x)的表达式解析f(x)2x3ax的图像过点P(2,0)，a8.f(x)2x38x.f(x)6x28.对于g(x)bx2c的图像过点P(2,0)，则4bc0.又g(x)2bx，g(2)4bf(2)16.b4.c16.g(x)4x216.综上可知，f(x)2x38x，g(x)4x216.1已知直线l1为曲线yx2x2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1l2.(1)求直线l1，l2的方程；(2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积分析(1)求曲线在某点处的切线方程的步骤：先求曲线在这点处的导数，这点对应的导数值即为过此点切线的斜率，再用点斜式写出直线方程；(2)求面积用Sa·h即可完成解析(1)因为y2x1，则直线l1的斜率k12×113，则直线l1的方程为y3x3，设直线l2过曲线yx2x2上的点B(x0,y0)，因为l1l2。则l2的方程为,所以，所以直线l2的方程为yx.(2)解方程组得所以直线l1和l2的交点坐标为(，)，l1，l2与x轴交点的坐标分别为(1,0)，(，0)所以所求三角形的面积S××|.17求证：双曲线C1：x2y25与椭圆C2：4x29y272在第一象限交点处的切线互相垂直证明联立两曲线的方程，求得它们在第一象限交点为(3,2)C1在第一象限的部分对应的函数解析式为y，于是有：y(x25) ，k1y|x3.C2在第一象限的部分对应的函数解析式为y.y.k2y|x3.k1·k21，两切线互相垂直重点班·选做题18曲线ye2xcos3x在(0,1)处的切线与l的距离为，求l的方程解析由题意知y(e2x)cos3xe2x(cos3x)2e2xcos3x3(sin3x)·e2x2e2xcos3x3e2xsin3x，曲线在(0,1)处的切线的斜率为ky|x02.该切线方程为y12xy2x1.设l的方程为y2xm，则d.解得m4或m6.当m4时，l的方程为y2x4；当m6时，l的方程为y2x6.综上，可知l的方程为y2x4或y2x6.下面例析四种常见的类型及解法（学生用）类型一：已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数，并代入点斜式方程即可例1曲线在点处的切线方程为（） 类型二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决例2与直线的平行的抛物线的切线方程是（） 类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法例3 求过曲线上的点的切线方程类型四：已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解例4求过点且与曲线相切的直线方程例5已知函数，过点作曲线的切线，求此切线方程