中点模型的构造、等积模型(6页).doc
-中点模型的构造、等积模型-第 3 页几何综合题型一：中点模型的构造中点模型中线（点）：倍长（类）中线两中点：中位线等腰三角形底边中点：三线合一直角三角形斜边中点：斜边中线=斜边一半构造两等腰中垂线：中垂线上的点连两端点有些题目的中点没有直接给出，此时需要挖掘题目中隐含的中点条件，并适时添加辅助线 典题精练【例1】 如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD的中点，过点C作AB的垂线交AB于点E，若EMD = 3MEA求证：BC=2AB【解析】证法一：如右图（a），延长EM交CD的长线于点，连结CMABCD，ME'D =MEA 又AM = DM ，AME =DME' AFM EM =ABCD，CEAB，ECCDCM是Rt斜边的中线，=MCEMC = 2= 2AEM EMD =3MEA，CMD =DCM，MD = CD AD = 2DM，AB = CD ，AD = BC，BC = 2AB 证法二：如右图(b)，过点M作交BC于，过点作交AB的延长线于点，连接点是的中点，点是RtEBC斜边BC的中点，EMD = 3MEA，BC = 2AB【例2】 如图所示，分别以ABC的边AB、AC为边，向三角形的外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，点M为BC中点， 求证：AMEG ； 求证：EG = 2AM【解析】 如图所示，延长AM到N，使MN = AM,延长MA交EG于点P，连接BN、NCBM = CM，四边形ABNC是平行四边形BN = AC = AGEAG +BAC = ， ABN +BAC = ，EAG =ABNAE = AB，EAGABNAEG =BAN又EAB = ，EAP +BAN = AEP +EAP = MAEG 证明：EAGABN，EG = AN = 2AM题型二：平移及等积变换典题精练【例3】 已知：如图，正方形ABCD中，E是AB上一点，FGDE于点H 求证：FG = DE 求证：FD + BG 【解析】延长GC到点P，使得GP = DF，连接EP，DP DFGP，GP = DF四边形DFGP为平行四边形FG = DP，FGDP又FGDE，DPDEADE =CDP在ADE和CDP中ADECDPDE = DP = FG 由知道DEP为等腰直角三角形在EGP中，EG + DF = EG + GPPE = FG当EGFD时，取到等号【例4】 如下图，过平行四边形ABCD内的一点P作边的平行线EF、GH，若PBD的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF的面积比平行四边形PGAE的面积大多少平方分米？【解析】根据差不变原理，要求平行四边形PHCF的面积与平行四边形PGAE的面积差，相当于求平行四边形BCFE的面积与平行四边形ABHG的面积差如右图，连接CP、AP可得：所以而，所以(平方分米)题型三：旋转典题精练【例5】 已知ABC和ADE都是等腰直角三角形,ABC=ADE=90°，点M是CE的中点，连接BM. 如图，点D在AB上，连接DM，并延长DM交BC于点N，可探究得出BD与BM的数量关系为 如图，点D不在AB上，中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由 【解析】 BD = 结论成立，证明：连接DM，过点C作CFED，与DM的延长线交于点F，连接BF，可证得MDEMFC,DM = FM，DE = FC，AD = ED = FC，作ANEC于点N，由已知ADE =90°，ABC =90°，可证得1 =2，3 =4，CFED，1 =FCM，BCF =4 +FCM = 3 +1 =3 +2 =BAD.BCFBAD,BF = BD，5 =6，DBF =5 +ABF =6 +ABF =ABC = 90°，DBF是等腰三角形，点M是DF的中点，则BMD是等腰三角形，BD =【例6】 已知正方形，在边上取一点，作交的外角平分线于，求证：【解析】 法一：如图，连接，过作，交于又为等腰直角三角形，又，故法二：如图，过作，交的延长线于，连接，则，而，又，有，法三：在AB上截取BN=BE，证明即可；思维拓展训练(选讲)训练1. 如图所示 ，等腰梯形ABCD中，ABCD，AD = BC，AC与BD交于点O，AOB=，P、Q、R分别是OA、OB、OC的中点，求证：PQR是正三角形 【解析】证明：如右图，连接BP、CR四边形ABCD是等腰梯形，AD = BC，OA = OB，OC = ODAOB = 60°，AOB、COD都是正三角形P是OA的中点，R是OD的中点，BPOA，CRODPR是ODA的中位线，PR = PR = PQ = QRPQR是正三角形训练2. 如图，四边形中，若，则必然等于请运用结论证明下述问题：如图，在平行四边形中取一点，使得，求证：【分析】此题为信息题，难点在于如何理解已知条件，经观察我们发现，若和，位置为时可得出和相等（本质为四点共圆）图中，与关系并不像条件所示，因此，需要改变角位置，而这点可以通过构造平行四边形来解决而构造平行四边形，恰可以达到改变角位置作用，为使与成形，我们可有如下四种方法【解析】分别过点、作，交于点，连接四边形为平行四边形 在四边形中， （5不动移6） （5，6不移动） （5，6不移动）训练3. 已知：在ABC中，BC = a，AC = b，以AB为边作等边三角形ABD探究下列问题： 如图(a)，当点D与点C位于直线AB的两侧时，a = b = 3，且ACB =60°，则CD = _； 如图(b)，当点D与点C位于直线AB的同侧时，a = b = 6，且ACB =90°，则CD = _； 如图(c)，当ACB变化，且点D与点C位于直线AB的两侧时，求CD的最大值及相应的ACB的度数【解析】 ； 如图（d），以点D为中心，将DBC逆时针旋转60°，则点B落在点A，点C落在点E，连接AE、CE、DECD = ED，CDE = 60°CDE为等边三角形CE = CD当点E、A、C不在一条直线上时，有CD = CE < AE + AC = a + b；如图(e),当点E、A、C在一条直线上时，CD有最大值，CD = CE = a + b；此时CED =BCD =ECD =60°，ACB =120°因此当ACB =120°时，CD有最大值是a + b
