高三数学导数应用测试题.doc
浙江省平阳县第三中学高三数学 导数的应用测试题类型一 利用导数研究切线问题导数的几何意义(1)函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)就是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，即kf(x0)；(2)曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)例1(2021年高考安徽卷改编)设函数f(x)aexb(a>0)在点(2，f(2)处的切线方程为yx，求a，b的值跟踪训练函数f(x)x3x.(1)求曲线yf(x)的过点(1，0)的切线方程；(2)假设过x轴上的点(a，0)可以作曲线yf(x)的三条切线，求a的取值范围类型二 利用导数研究函数的单调性 例2(2021年高考山东卷改编)函数f(x)(k为常数，e2.718 28是自然对数的底数)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间跟踪训练假设函数f(x)ln xax22x存在单调递减区间，求实数a的取值范围类型三 利用导数研究函数的极值与最值 例3(2021年高考北京卷)函数f(x)ax21(a>0)，g(x)x3bx.(1)假设曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a24b时，求函数f(x)g(x)的单调区间，并求其在区间(，1上的最大值跟踪训练(2021年珠海摸底)假设函数f(x)，在2，2上的最大值为2，那么a的取值范围是()Aln 2，)B0，ln 2 C(，0 D(，ln 2导数应用同步作业一、选择题1设a为实数，函数f(x)x3ax2(a2)x的导函数是f(x)，且f(x)是偶函数，那么曲线yf(x)在原点处的切线方程为()Ay2xBy3x Cy3x Dy4x2函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2xf(1)lnx，那么f(1)()Ae B1 C1 De3函数f(x)3x2lnx2x的极值点的个数是()A0 B1 C2 D无数个4(2021·浙江高考)设函数f(x)ax2bxc(a，b，cR)假设x1为函数f(x)ex的一个极值点，那么以下图像不可能为yf(x)图像的是()二、填空题5(2021·嘉兴模拟)函数f(x)xex，那么f(x)_；函数f(x)的图像在点(0，f(0)处的切线方程为_6函数f(x)mx2lnx2x在定义域内是增函数，那么实数m的取值范围为_7函数f(x)ax3bx2cx，其导函数yf(x)的图像经过点(1,0)，(2,0)，如下图，那么以下说法中不正确的选项是_当x时函数取得极小值； f(x)有两个极值点；当x2时函数取得极小值； 当x1时函数取得极大值三、解答题8函数f(x)ax33x21(aR且a0)，试求函数f(x)的极大值与极小值9函数f(x)x3ax2bxc在(，0)上是减函数，在(0,1)上是增函数，函数f(x)在R上有三个零点，且1是其中一个零点(1)求b的值；(2)求f(2)的取值范围10(2021·江苏高考)a，b是实数，函数f(x)x3ax，g(x)x2bx，f(x)和g(x)分别是f(x)和g(x)的导函数，假设f(x)·g(x)0在区间I上恒成立，那么称f(x)和g(x)在区间I上单调性一致(1)设af(x)和g(x)在区间1，)上单调性一致，求b的取值范围；(2)设a0且ab.假设f(x)和g(x)在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|ab|的最大值第三讲导数的应用聚焦突破类型一 利用导数研究切线问题导数的几何意义(1)函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)就是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，即kf(x0)；(2)曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)例1(2021年高考安徽卷改编)设函数f(x)aexb(a>0)在点(2，f(2)处的切线方程为yx，求a，b的值解析f(x)aex，f(2)ae2，解得ae22或ae2(舍去)，所以a，代入原函数可得2b3，即b，故a，b.跟踪训练函数f(x)x3x.(1)求曲线yf(x)的过点(1，0)的切线方程；(2)假设过x轴上的点(a，0)可以作曲线yf(x)的三条切线，求a的取值范围解析：(1)由题意得f(x)3x21.曲线yf(x)在点M(t，f(t)处的切线方程为yf(t)f(t)(xt)，即y(3t21)·x2t3，将点(1，0)代入切线方程得2t33t210，解得t1或，代入y(3t21)x2t3得曲线yf(x)的过点(1，0)的切线方程为y2x2或yx. (2)由(1)知假设过点(a，0)可作曲线yf(x)的三条切线，那么方程2t33at2a0有三个相异的实根，记g(t)2t33at2a.那么g(t)6t26at6t(ta)当a>0时，函数g(t)的极大值是g(0)a，极小值是g(a)a3a，要使方程g(t)0有三个相异的实数根，需使a>0且a3a<0，即a>0且a21>0，即a>1；当a0时，函数g(t)单调递增，方程g(t)0不可能有三个相异的实数根；当a<0时，函数g(t)的极大值是g(a)a3a，极小值是g(0)a，要使方程g(t)0有三个相异的实数根，需使a<0且a3a>0，即a<0且a21>0，即a<1.综上所述，a的取值范围是(，1)(1，)类型二 利用导数研究函数的单调性函数的单调性与导数的关系在区间(a，b)内，如果f(x)>0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递增；如果f(x)<0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递减例2(2021年高考山东卷改编)函数f(x)(k为常数，e2.718 28是自然对数的底数)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间解析(1)由f(x)，得f(x)，x(0，)由于曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线与x轴平行，所以f(1)0，因此k1.(2)由(1)得f(x)(1xxln x)，x(0，)令h(x)1xxln x，x(0，)，当x(0，1)时，h(x)>0；当x(1，)时，h(x)<0.又ex>0，所以当x(0，1)时，f(x)>0；当x(1，)时，f(x)<0.因此f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，)跟踪训练假设函数f(x)ln xax22x存在单调递减区间，求实数a的取值范围解析：由题知f(x)ax2，因为函数f(x)存在单调递减区间，所以f(x)0有解又因为函数的定义域为(0，)，那么应有ax22x10在(0，)上有实数解(1)当a>0时，yax22x1为开口向上的抛物线，所以ax22x10在(0，)上恒有解；(2)当a<0时，yax22x1为开口向下的抛物线，要使ax22x10在(0，)上有实数解，那么>0，此时1<a<0；(3)当a0时，显然符合题意综上所述，实数a的取值范围是(1，)类型三 利用导数研究函数的极值与最值1求函数yf(x)在某个区间上的极值的步骤(1)求导数f(x)；(2)求方程f(x)0的根x0；(3)检查f(x)在xx0左右的符号；左正右负f(x)在xx0处取极大值；左负右正f(x)在xx0处取极小值2求函数yf(x)在区间a，b上的最大值与最小值的步骤(1)求函数yf(x)在区间(a，b)内的极值(极大值或极小值)；(2)将yf(x)的各极值与f(a)，f(b)进展比拟，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值例3(2021年高考北京卷)函数f(x)ax21(a>0)，g(x)x3bx.(1)假设曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a24b时，求函数f(x)g(x)的单调区间，并求其在区间(，1上的最大值解析(1)f(x)2ax，g(x)3x2b，因为曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)g(1)，且f(1)g(1)即a11b，且2a3b.解得a3，b3. (2)记h(x)f(x)g(x)当ba2时，h(x)x3ax2a2x1，h(x)3x22axa2.令h(x)0，得x1，x2.a>0时，h(x)与h(x)的变化情况如下：00所以函数h(x)的单调递增区间为(，)和(，)；单调递减区间为(，)当1，即0<a2时，函数h(x)在区间(，1上单调递增，h(x)在区间(，1上的最大值为h(1)aa2.当<1，且1，即2<a6时，函数h(x)在区间(，)上单调递增，在区间(，1上单调递减，h(x)在区间(，1上的最大值为h()1.当<1，即a>6时，函数h(x)在区间(，)上单调递增，在区间(，)上单调递减，在区间(，1上单调递增，又因为h()h(1)1aa2(a2)2>0，所以h(x)在区间(，1上的最大值为h()1.跟踪训练(2021年珠海摸底)假设函数f(x)，在2，2上的最大值为2，那么a的取值范围是()Aln 2，)B0，ln 2C(，0 D(，ln 2解析：当x0时，f(x)6x26x，易知函数f(x)在(，0上的极大值点是x1，且f(1)2，故只要在(0，2上，eax2即可，即axln 2在(0，2上恒成立，即a在(0，2上恒成立，故aln 2.答案：D导数应用同步作业一、选择题1设a为实数，函数f(x)x3ax2(a2)x的导函数是f(x)，且f(x)是偶函数，那么曲线yf(x)在原点处的切线方程为()Ay2xBy3xCy3x Dy4x解析：由得f(x)3x22axa2，因为f(x)是偶函数，所以a0，即f(x)3x22，从而f(0)2，所以曲线yf(x)在原点处的切线方程为y2x.答案：A2函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2xf(1)lnx，那么f(1)()Ae B1C1 De解析：f(x)2f(1)，令x1，得f(1)2f(1)1，f(1)1.答案：B3函数f(x)3x2lnx2x的极值点的个数是()A0 B1C2 D无数个解析：函数定义域为(0，)，且f(x)6x2，由于x>0，g(x)6x22x1中20<0，g(x)>0恒成立，故f(x)>0恒成立，即f(x)在定义域上单调递增，无极值点答案：A4(2021·浙江高考)设函数f(x)ax2bxc(a，b，cR)假设x1为函数f(x)ex的一个极值点，那么以下图像不可能为yf(x)图像的是()解析：假设x1为函数f(x)ex的一个极值点，那么易得ac.因选项A、B的函数为f(x)a(x1)2，那么f(x)exf(x)exf(x)(ex)a(x1)(x3)ex，x1为函数f(x)ex的一个极值点满足条件；选项C中，对称轴x0，且开口向下，a0，b0.f(1)2ab0.也满足条件；选项D中，对称轴x1，且开口向上，a0，b2a.f(1)2ab0.与图矛盾答案：D二、填空题5(2021·嘉兴模拟)函数f(x)xex，那么f(x)_；函数f(x)的图像在点(0，f(0)处的切线方程为_解析：f(x)1·exx·ex(1x)ex；f(0)1，f(0)0，因此f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y0x0，即yx.答案：(1x)exyx6函数f(x)mx2lnx2x在定义域内是增函数，那么实数m的取值范围为_解析：f(x)mx20对一切x>0恒成立，m()2，令g(x)()2，那么当1时，函数g(x)取得最大值1，故m1.答案：1，)7函数f(x)ax3bx2cx，其导函数yf(x)的图像经过点(1,0)，(2,0)，如下图，那么以下说法中不正确的选项是_当x时函数取得极小值；f(x)有两个极值点；当x2时函数取得极小值；当x1时函数取得极大值解析：从图像上可以看到：当x(0,1)时，f(x)0；当x(1,2)时，f(x)0；当x(2，)时，f(x)0，所以f(x)有两个极值点1和2，且当x2时函数取得极小值，当x1时函数取得极大值只有不正确答案：三、解答题8函数f(x)ax33x21(aR且a0)，试求函数f(x)的极大值与极小值解：由题设知a0，f(x)3ax26x3ax(x)令f(x)0，解之得x0或x.当a>0时，随x的变化，f(x)与f(x)的变化情况如下：x(，0)0(0，)(，)f(x)00f(x)极大值极小值f(x)极大值f(0)1，f(x)极小值f()1.当a<0时，随x的变化，f(x)与f(x)的变化情况如下：x(，)(，0)0(0，)f(x)00f(x)极小值极大值f(x)极大值f(0)1，f(x)极小值f()1.综上，当aR，且a0时，f(x)极大值f(0)1，f(x)极小值f()1.9函数f(x)x3ax2bxc在(，0)上是减函数，在(0,1)上是增函数，函数f(x)在R上有三个零点，且1是其中一个零点(1)求b的值；(2)求f(2)的取值范围解：(1)f(x)x3ax2bxc，f(x)3x22axb.f(x)在(，0)上是减函数，在(0,1)上是增函数，当x0时，f(x)取到极小值，即f(0)0.b0.(2)由(1)知，f(x)x3ax2c，1是函数f(x)的一个零点，即f(1)0，c1a.f(x)3x22ax0的两个根分别为x10，x2.f(x)在(0,1)上是增函数，且函数f(x)在R上有三个零点，x2>1，即a>.f(2)84a(1a)3a7>.故f(2)的取值范围为.10(2021·江苏高考)a，b是实数，函数f(x)x3ax，g(x)x2bx，f(x)和g(x)分别是f(x)和g(x)的导函数，假设f(x)·g(x)0在区间I上恒成立，那么称f(x)和g(x)在区间I上单调性一致(1)设af(x)和g(x)在区间1，)上单调性一致，求b的取值范围；(2)设a0且ab.假设f(x)和g(x)在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|ab|的最大值解：f(x)3x2a，g(x)2xb.(1)由题意知f(x)g(x)0在1，)上恒成立因为a0，故3x2a0，进而2xb0，即b2x在1，)上恒成立，所以bb的取值范围是2，)(2)令f(x)0，解得x± .假设b0，由a0得0(a，b)又因为f(0)g(0)ab0，所以函数f(x)和g(x)在(a，b)上不是单调性一致的因此b0.现设bx(，0)时，g(x)0；当x(，)时，f(x)0.因此，当x(，)时f(x)g(x)0.故由题设得a且b，从而a0，于是b0.因此|ab|，且当a，b0时等号成立又当a，b0时，f(x)g(x)6x(x2)，从而当x(，0)时f(x)g(x)0，故函数f(x)和g(x)在(，0)上单调性一致因此|ab|的最大值为.
