投资学6投资组合有效边界计算.docx

6最优投资组合选择最优投资组合选择的过程就是投资者将财富分配到不同资产从而使自己的效用达到最大的过程。然而，在进行这一决策之前，投资者首先必须弄清楚的是市场中有哪些资产组合可供选择以及这些资产组合的风险-收益特征是什么。虽然市场中金融资产的种类千差万别，但从风险-收益的角度看，我们可以将这些资产分为两类：无风险资产和风险资产。这样一来，市场中可能的资产组合就有如下几种：一个无风险资产和一个风险资产的组合；两个风险资产的组合；一个无风险资产和两个风险资产的组合。下面分别讨论。一、 一个无风险资产和一个风险资产的组合当市场中只有一个无风险资产和一个风险资产的时候，我们可以假定投资者投资到风险资产上的财富比例为w，投资到无风险资产上的财富比例为1-w，这样一来，投资组合的收益就可以写为：其中，为风险资产收益，这是一个随机变量；为无风险资产的收益，这是一个常数。这样，资产组合的期望收益和标准差就可以写出下述形式：(因为,=0)其中为风险资产的标准差。根据上两式，我们可以消掉投资权重，并得到投资组合期望收益与标准差之间的关系： 3-1当市场只有一个无风险资产和一个风险资产时，上式就是资产组合所以可能的风险-收益集合，又称为投资组合的可行集合。在期望收益-标准差平面上，3-1是一条直线，我们称这条直线为资本配置线。随着投资者改变风险资产的投资权重，资产组合就落在资本配置线上的不同位置。具体来说，如果投资者将全部财富都投资到风险资产上，资产组合的期望收益和方差就是风险资产的期望收益和方差，资产组合与风险资产重合。如果投资者将全部财富都投资在无风险资产上，资产组合的期望收益和方差就是无风险资产的期望收益和方差，资产组合与无风险资产重合。风险资产与无风险资产将配置线分为三段，其中，无风险资产和风险资产之间的部分意味着投资者投资在风险资产和无风险资产上的财富都是正值；此时。风险资产的右侧的部分意味着投资者以无风险收益率借入部分资金，然后将其全部财富和借入的资金一起投资到风险资产中。此时。由于我们没有考虑卖空风险资产的问题，所以不存在的情况。资本配置线的斜率等于资产组合每增加一单位标准差所增加的期望收益，即每单位额外风险的额外收益。因此我们有时也将这一斜率称为报酬与波动性比率。在资本配置线的推导中，我们假设投资者能以无风险收益率借入资金。然而，在实际的资本市场中，投资者在银行的存贷利率是不同的。一般来说，存款利率要低于贷款利率。因此如果把存款利率视为无风险收益率，那么投资者的贷款利率就要高于无风险资产收益率。在这种情况下，资本配置线就变为一条折线。我们可以假设无风险资产收益率为，投资者向银行贷款的利率为。在这种情况下，若投资者需要借入资金投资到风险资产时，资本配置线的斜率就应该等于，该斜率小于。此时，在期望-收益差平面上，资本配置线就变成了如下的形状。其中资本配置线在风险资产右侧的斜率要低于其左侧部分。二、 两个风险资产的组合当市场中的资产是两个风险资产时，比如一只股票和一个公司债券，且投资到股票上的财富比例为w，我们可以将该资产组合的收益写为：此时资产组合的期望收益和标准差分别为：其中为股票和债券收益率的相关系数。此时，根据期望的表达式，我们可以求出投资权重为：将其代入到标准差方程，可以得到该资产组合期望收益和标准差之间的关系式： 3-2其中当市场中存在两个风险资产的情况下，3-2描述了资产组合所有可能的期望收益和标准差的组合，当取不同的值时，上述关系是在期望收益-标准差平面中的形状也有所不同，我们对此分三种情况进行讨论。（1）=1在这种情况下，两个资产的收益率是完全相关的，这时，标准差变为：在不考虑卖空或借贷的情况下，即，标准差可写为结合期望收益式子，可以求出当两个风险资产完全正相关时，上式是资产组合期望收益和标准差的关系。该式子在期望收益-标准差平面上是一条通过1点和2点的线段。（2）=-1在这种情况下，两个资产的收益率是完全负相关的，这时，标准差变为：该方程对应着再结合期望收益的表达式，可以求得资产组合期望收益和标准差之间的关系如下：上式对应着两条斜率相反的折线，折线的一部分通过1点和E1点；另一部分则通过2点和E1点，其中E1点的坐标为（0，），为时资产组合可行集内的最小方差点。见图3-3在完全正相关时，一种证券收益率高，另一种证券的收益率也高。这样，在做卖空时，可以从多头（购入方）位置中获益，而从空头（销售方）位置中受损，但得利于多投资的证券。当两种证券的收益率都低时，可以从多头中受损，而从空头中获益，投资较多的证券收益与卖空证券收益将相互抵消，投资组合的总体收益将较稳定。在完全负相关时，一种证券收益率高，另一种证券的收益率总是相对要低。如果卖空高收益证券，而做多低收益证券，则投资组合的两部分都遭受损失。另一方面，如果做多高收益证券，卖空低收益证券，则两部分都获利。因此，在完全负相关时，投资组合的风险较高，其结果要么是“盛宴”，要么是“饥荒”。我们总结如表6-1所示。表6-1两证券收益率完全相关时投资组合有卖空正相关负相关高高低低卖空高做多低卖空低做多高收益多头(购入方)空头多头、空头受损空头(销售方)多头多头、空头总体得利于多投资的证券稳定(相互抵消)“饥荒”“盛宴”（3）此时3-2在期望收益-标准差平面对应着两条双曲线。考虑到经济意义，我们只保留双曲线在第一象限的部分。这条双曲线的顶点E2是时资产组合可行集内的最小方差点。从图中可看出，E12和E22，期望收益随方差的增大而降低，这部分的资产组合是无效的。投资者只选择1 E1和1E22上的点。例如：两个风险资产和一个无风险资产的最优投资组合的案例。股票、债券和国库券的有关数据见下表资产期望收益率%风险sigma%股票11320债券2812国库券5其中股票1和债券2之间相关系数=0.3，要得出最优风险资产组合，首先要建立1,2有效集，然后利用无风险资产建立资本配置线与有效集相切，切点即为最优风险组合所在的点。1确定两种风险资产的比例数学表达即为：=max满足把x1,x2求出来2引入无风险资产C=F+P引入效用函数根据,又有三、 一个无风险资产两个风险资产的组合前面分别考察了一个无风险资产和一个风险资产构成的资产组合以及两个风险资产构成的资产组合。在此基础上，我们将这两种情况进行融合，进而引入第三种资产组合一个无风险资产和二个风险资产构成的资产组合。下面我们考察这种情况下投资组合可行集的状态。我们首先假设两个风险资产的投资权重分别为和，这样一来，无风险资产的投资组合权重就是。由于我们可以将两个风险资产视为一个风险资产组合，因此三个资产构成的投资组合可行集就等价于一个风险资产组合与一个无风险资产构成的可行集。但与前面不同，随着和变化，风险资产组合的期望收益和方差并不是确定的值，而是不断变化的。在图3-3中的收益-方差平面中，风险资产组合的位置不再是3-1中确定的一点，而是图3-3中的某一点。给定和的某一比例k，在期望收益-方差平面中就对应着一个风险资产组合。该组合与无风险资产的连线形成了一条资本配置线，如图3-4。这条资本配置线就是市场中存在三个资产时的投资组合可行集。随着我们改变投资比例k，风险资产组合的位置就会发生变化，资本配置线也相应产生变化。资本配置线从图3-4可以看出，两个风险资产组成的效率边界上的任何一点与无风险资产的连线都能构成一条资本配置线。然而，比较图3-4中的两条资本配置线CAL0和CAL1可以发现，对于任一标准差，资本配置线CAL0上资产组合的期望收益率都比CAL1上的高。换句话说，相对于CAL0上的资产组合，CAL1上的资产组合是无效率的。事实上，我们可以很容易地发现，在所有的资本配置线中，斜率最高的资本配置线在相同标准差水平下拥有最大的期望收益率。从几何角度讲，这条资本配置线就是通过无风险资产并与风险资产组合的有效边界相切的一条线，我们称这条资本配置线为最优资本配置线。相应地，切点组合P0被称为最优风险资产组合。因此，当市场中有一个无风险资产和两个风险资产的时候，有效地投资组合可行集就是通过无风险资产和风险资产组合，且斜率达到最大的资本配置线。3.1投资组合最小方差集合与有效边界一般地，我们现假定由n个风险资产（比如证券）构成的投资组合，由于权重不同而有无穷多个投资组合，所有这些证券组合构成一个可行集（feasible set）。投资者不需要评估可行集中的所有投资组合，只分析任意给定风险水平有最大的预期回报或任意给定预期回报有最小风险的投资组合，满足这两个条件的投资组合集合叫做投资组合的有效边界(集合)efficient frontier(set)。给定一个证券投资组合X，它的预期收益率和标准差确定了一个点对，当这个证券组合的权重发生变化时，我们得到一条曲线我们将其称为组合线。组合线上的每一点，表示一个权数不同的证券组合。因此组合线告诉我们的预期收益率与风险怎样随着证券组合权重的变化而变化。在上一章里，我们给出了单个证券或证券组合的预期收益率和投资组合风险的度量。上面我们又分析了在给定证券的条件下，如何决定其证券投资组合。然而当投资者用一定资本进行证券投资时，他追求的投资目标是高收益低风险，那么如何在众多的证券中建立起一个高收益低风险的证券组合呢？下面我们讨论这个问题。给定一组不同的单个证券，我们可以用它们构造不同的证券组合，这样，每个证券或证券组合我们称为一个投资机会，全部投资机会的集合，称为机会集合。对机会集合中的每一个元素X，我们用它的预期收益率和风险来描述它的实绩，因此每一个机会X都对应了数组（，）或（，），这样机会集合可以用预期收益率-标准差（方差）二维空间的一个集合表示。对于一个聪明理智的投资者来说，如果给定风险水平或者说标准差，他喜欢预期收益率高的投资机会；如果给定预期收益率水平，他喜欢风险低的投资机会。于是我们定义如下的最小方差集合：机会集合中的一个证券投资组合，如果具有没有其他的证券组合在与之相同的预期收益率水平下能达到更小的风险（标准差）的性质，则我们称它为最小方差证券组合。最小方差证券组合的全体，我们称为最小方差集合。显然，最小方差集合是机会集合的子集，是由证券组合的组合线上具有最小风险的证券组合的包络线组成。由于投资者所面临的投资条件不同，受到的投资约束不同，最小方差集合的形状也不同，因此最小方差集合的确定依赖于不同的约束条件。下面我们来寻求最小方差集合，为此考虑一个组合X，它由n个证券组成，每个证券的预期收益率为，方差记为，证券之间的协方差记为，i、j=1，2，n。于是证券组合的收益率和风险可以表示成在给定预期收益率之下，如何选择证券组合的权重，使证券组合X具有最小方差呢？3.1马科维茨模型的求解记，为确定最小方差集合，我们考虑如下优化模型，即一般的马柯维茨模型引入拉格朗日乘子来解决这一规划问题。构造拉格朗日函数如下：上式左右对进行求导，即一阶条件为0。首先讨论两个变量的情况，然后推广到n个变量的情况。因此令上两式等于0，考虑到以上两等式与两个约束条件的等式联立，可以解出。一般地，对于均值为的有效投资组合（允许卖空），其n个投资组合权数与两个拉格朗日乘数满足： （1） （2） （3）（1）有n个方程，加上（2）与（3），一共得到n+2个方程组成的方差组，相应地有n+2个未知量。注意到所有n+2个方程都是线性的，因此可以通过线性代数方法加以解决。例：假设有三项不相关的资产。每一资产的均值分别为1，2，3。方差都为1。根据（1）、（2）、（3），我们有：由上面三个方程解出，并将其代入下面两个方程，得到：解得，将其代入上面三式，得到：将代入标准差，有：当时，我们有上述分析假设允许资产卖空，如果不允许卖空，则可行集将缩小。3.2马科维茨模型的矩阵解法这是一个等式约束的极值问题，我们可以构造Lagrange函数：1）其中，1是分量均为1的列向量，为Lagrange乘数。根据Lagrange乘数法应有使在X0处有1=0 （3-17）=0 （3-18）1=0 （3-19）（3-17）式左乘XT得 （3-20）又由（3-17）得1 （3-21）（3-21）分别左乘1T和T得1=1TV-1+1T V-11 （3-22）=TV-1 +T V-11 （3-23）记于是解方程组得将代入（3-21）得 （3-24） 第9章是其中再将代入（3-20）得到或 （3-25）（3-24）给出了投资组合权重与预期收益率的关系。（3-25）给出了投资组合预期收益率与方差的关系，且说明在平面上可有双曲线形式，而在平面上可有抛物线形式。在平面上双曲线的两条渐进线的斜率为，顶点为（），如图3-2（a）所示。在平面上，其顶点在（），如图3-2（b）所示。A/C图3-2(a) 双曲线与顶点图A/C1/C图3-2(b) 抛物线与顶点图通过上面的讨论，在平面上最小方差集合是双曲线型，它能分成两:部分上半部和下半部，两部分以顶点为分界点，分界点代表了一个具有最小标准差的投资组合。显然我们希望持有的投资组合是在顶点的上半部，而不是在顶点的下半部。最小方差集合在顶点上半部的投资组合集合称为有效集合。有效集合中所有投资组合符合：给定某一标准差，有效集合中的投资组合具有可获得的最大预期收益率的准则。显然最小方差集合在顶点的下半部分对应的预期收益率最低。在上面确定最小方差集合的过程中，权重约束为，求得的结果xi中可能有正的也有负的，它反映了允许卖空的情形。实例讲解见61Excel文件。在有些情形下，投资者把不进行卖空作为一种投资策略，因此，讨论在不允许卖空的约束下如何确定最小方差集合是必要的。这时在约束条件中需要加入xi大于0，i=1,n。相应的模型为这一模型不能被简化为一种线性方程式的求解问题。由于该模型的求解目标为二次的而限制条件为线性的（一次的）等式与不等式，因此，它称为二次规划，解决这类问题需要专门的计算机程序，对于中等规模的模型可以应用表格加以解决。在金融领域有许多专门设计的程序来解决由数百乃至千计所组成的模型。两个模型的区别在于当允许卖空时，大部分（如果不是全部）最优的有非零值（或正或负），因此大体上所有资产都被使用。而当不允许卖空时，许多最优的值为零。例：考虑前面的三项资产，但本例不允许卖空。在本例中模型不能被简化为一组方程式的形式，但考虑不同资产的两两组合，我们能得到有效边界。一般的解法如下所示。表 组合收益与风险01/3对于一般的不允许卖空模型解法，要表示出它的表达式相当困难，但我们可以编制如下程序解决。设：myrange1 = "b" & 12 & ":" & Chr(65 + n) & 12 '各个证券收益率数据区域myrange2 = "b16" & ":" & Chr(65 + n) & 15 + n '协方差矩阵数据区域myrange3 = "b" & 19 + n & ":" & Chr(65 + n) & 19 + n '投资比例结算结果数据区域Cells(20 + n, 2) = "=sumproduct(" & myrange1 & "," & myrange3 & ")"Cells(21 + n, 2) = "=sqrt(sumproduct(" & myrange3 & ",mmult(" & myrange3 & "," & myrange2 & ")"Cells(19 + n, n + 2) = "=sum(" & myrange3 & ")"x1 = Chr(66 + n) & 19 + n '投资组合比重合计率数据区域x2 = "b" & 21 + n '投资组合标准差数据区域x3 = "b" & 20 + n '投资组合预期收益率数据区域Range(myrange3).NumberFormat = "0.00%"Range(x1).NumberFormat = "0.00%"Range(x2).NumberFormat = "0.00%"Range(x3).NumberFormat = "0.00%"'开始利用规划求解工具计算SolverResetSolverOk setcell:=x2, MaxminVal:=2, ValueOf:="0", byChange:=myrange3SolverAdd CellRef:=x1, Relation:=2, FormulaText:="100%"SolverAdd CellRef:=x3, Relation:=3, FormulaText:="$b$7"SolverAdd CellRef:=myrange3, Relation:=3, FormulaText:="0"SolverSolve (True)End Sub下面我们再来看最小方差集合的投资组合权重对于一个由n个证券组成的投资组合X，它的预期收益率和方差分别为给定预期收益率时，证券的组合权重变化使我们可以得到一系列的投资组合，它们具有相同的预期收益率。这些投资组合的权重所在的平面我们称为预期收益率平面。变化可以得到一族平行的等预期收益率平面。同样给定投资组合收益率的方差时，投资组合权重的变化也会使我们得到一系列的投资组合，它们具有相同预期收益率的方差。这些投资组合的权重所在的曲面我们称为等方差椭球面。变化可以得到一族相似的等方差椭球面，它们的轴越短方差越小。我们将等预期收益率平面和等方差椭球面放在同一个（x1，x2，xn）空间上。于是给定预期收益率平面后，我们可以找到一个等方差椭球面与之相切，其切点坐标即为具有最小方差的投资组合权重。等预期收益率平面与等方差椭球面的切点轨迹我们称为临界线。由于等预期收益率平面都是平行的，等方差椭球面以一个公共点为中心对称，可以证明临界线是直线。由于临界线是直线，可以得出最小方差集合中所有的投资组合具有如下两个重要性质：性质1 如果把最小方差集合中的两个或两个以上的投资组合进行组合，则可得到最小方差集合上的另一种投资组合。这个性质告诉我们，如果每个投资者都持有一个有效的投资组合，那么他们的投资组合的组合，也将是一个有效的组合。这个性质引出了资本资产定价模型的中心论断。在本节最后，我们给出最小方差集合的另一个重要性质，它是第9章将要介绍的资本资产定价模型（CAPM）的核心。根据性质1，如果市场中每个投资者都是理性的，他们都将持有一个有效的投资组合，于是将他们的投资组合组合在一起仍将是一个有效组合，该组合恰好为市场全部资产所构成，它可以视为市场中投入资金最大的市场投资组合，可见，市场投资组合位于有效集合上。性质2 给定市场证券总体，以M代表最小方差集合上的市场投资集合，则对任意证券J，其预期收益率rJ与其风险因子之间呈线性关系，即其中是最小方差集合上市场投资组合M点处的切线在轴上的截距。M图6-3图6-3中所示是给定证券总体，在允许卖空情形下的最小方差集合，其中的M点代表最小方差集合上的市场投资组合，J是任意证券。为导出这个性质，要注意到这样一个事实：即每个证券和市场投资组合作为一个证券的组合线，必在最小方差集合上的市场投资组合位置相切。我们考察证券J与M的投资组合X，则由投资组合的预期收益率和标准差的定义，有当y变化时，我们得到J与M的组合线。组合线在任一点的斜率，可由下式得到因为该组合线与最小方差集合在M点相切，故在M点有y=0，。过M点作切线，该切线与E（ r）轴相交于rF，则切线的斜率为从而由组合线与切点在M点处有相同的斜率，可得整理得注意所以得此即为性质2所指出的结论。我们还可以看到，若以最小方差集合上的投资组合M代表市场投资组合，那么任一个证券的因子均能通过下式计算把性质2所描述的线性关系，放在平面，这条直线在资本资产定价模型中被称为证券市场线。图6-4给出了已知市场投资组合与证券市场线之间的关系。图6-4市场投资组合与证券市场线之间的关系