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数列大题训练50题1 数列的前n项和为，且满足，.1求的通项公式； 2求和Tn =.2 数列，a1=1，点在直线上.1求数列的通项公式；2函数，求函数最小值.3 函数 (a，b为常数)的图象经过点P1，和Q4，8(1) 求函数的解析式；(2) 记an=log2,n是正整数，是数列an的前n项和，求的最小值。4 yf(x)为一次函数，且f(2)、f(5)、f(4)成等比数列，f(8)15 求f(1)f(2)f(n)的表达式5 设数列的前项和为，且，其中是不等于和0的实常数.1求证: 为等比数列；2设数列的公比，数列满足，试写出 的通项公式，并求的结果.6 在平面直角坐标系中,An(n,an)、Bn(n,bn)、Cn(n-1,0)(nN*)，满足向量与向量共线，且点Bn(n,bn) (nN*)都在斜率为6的同一条直线上.(1)试用a1,b1与n来表示an;(2)设a1=a,b1=-a,且12<a15，求数列an中的最小项.7 数列的前三项与数列的前三项对应一样，且对任意的N*都成立，数列是等差数列1求数列与的通项公式；2问是否存在N*，使得？请说明理由8 数列I试求a2，a3的值；II假设存在实数为等差数列，试求的值.9 数列的前项和为，假设，1求数列的通项公式;2令，当为何正整数值时，：假设对一切正整数，总有，求的取值范围。10数列的前n项和是n的二次函数，满足且1求数列的通项公式； 2设数列满足，求中数值最大和最小的项. 12数列中，且当时，1求数列的通项公式；2假设的前项和为，求。13正数数列的前项和，满足，试求：I数列的通项公式；II设，数列的前项的和为，求证：。14函数=,数列中,2an+12an+an+1an=0，a1=1,且an0, 数列bn中, bn=f(an1)1求证：数列是等差数列；2求数列bn的通项公式；(3)求数列的前n项和Sn.15函数a·bx的图象过点A4，和B5，11求函数解析式；2记anlog2 nN*，是数列的前n项和，解关于n的不等式 16数列的前项的和为，且，.1求证：为等差数列；2求数列的通项公式17在平面直角坐标系中，、，满足向量与向量共线，且点都在斜率6的同一条直线上.1证明数列是等差数列；2试用与n来表示；3设，且12，求数中的最小值的项.18设正数数列的前n项和满足I求数列的通项公式；II设，求数列的前n项和19等差数列an中，a1=1,公差d>0，且a2、a5、a14分别是等比数列bn的第二项、第三项、第四项.()求数列an、bn的通项an、bn;()设数列cn对任意的nN*，均有+an+1成立，求c1+c2+c2005的值.20数列满足，且1求证：数列是等差数列；2求数列的通项公式；3设数列的前项之和，求证：。21设数列an的前n项和为=2n2，bn为等比数列，且a1=b1，b2(a2 a1) =b1。1求数列an和bn的通项公式；2设cn=, 求数列cn的前n项和Tn.22函数与函数0)的图象关于对称.(1) 求;(2) 假设无穷数列满足,且点均在函数上,求的值,并求数列的所有项的和(即前项和的极限)。23函数1求证：数列是等差数列；2假设数列的前n项和24数列和满足：，且是以为公比的等比数列I证明：；II假设，证明数列是等比数列；III求和：25a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中n=1，2，3，1证明数列lg(1+an)是等比数列；2设Tn=(1+a1) (1+a2) (1+an)，求数列an的通项及Tn；26等差数列是递增数列，前n项和为，且a1，a3，a9成等比数列， (1)求数列的通项公式； (2)假设数列满足，求数列的前n项的和27向量且.假设与共线,1求数列的通项公式；2求数列的前项和.28：数列满足.1求数列的通项；2设求数列的前n项和Sn.29对负整数a，数可构成等差数列.1求a的值；2假设数列满足首项为，令，求的通项公式；假设对任意，求取值范围.30数列1求证：数列是等比数列；2求数列的通项公式；3假设31二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。、求数列的通项公式；、设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；32数列an的前n项和为Sn，且满足判断是否为等差数列？并证明你的结论； 求Sn和an20070209求证：33假设和分别表示数列和的前项和，对任意正整数有。1求；2求数列的通项公式；3设集合，假设等差数列的任一项为哪一项的最大数，且，求的通项公式。34点列在直线l：y = 2x + 1上，P1为直线l与 y轴的交点，等差数列an的公差为 求an、bn的通项公式；，求和：C2 + C3 + +Cn；假设，且d1 = 1，求证数列为等比数列：求dn的通项公式 35数列是首项为，公比的等比数列，设，数列满足.求证：数列成等差数列；求数列的前n项和；假设对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围36数列an的前n项和为Sn，且1求证：是等差数列；2求an；3假设，求证：37当，时，问分别取何值时，函数取得最大值和最小值，并求出相应的最大值和最小值；假设在R上恒为增函数，试求的取值范围;常数，数列满足,试探求的值，使得数列成等差数列38在数列I求数列的通项公式；II求证：39设函数f(x)的定义域为，且对任意正实数x，y都有恒成立，1求的值；2判断上单调性；3一个各项均为正数的数列an满足：其中Sn是数列an的前n项和，求Sn与an的值.40定义在1,1上的函数f (x)满足，且对x,y时，有。I判断在(1，1)上的奇偶性，并证明之； II令，求数列的通项公式；III设Tn为数列的前n项和，问是否存在正整数m，使得对任意的，有成立？假设存在，求出m的最小值；假设不存在，那么说明理由。41，且1求的表达式；2假设关于的函数在区间-，-1上的最小值为12，求的值。42设不等式组所表示的平面区域为，记内的整点个数为 。整点即横坐标和纵坐标均为整数的点I求数列的通项公式；II记数列的前n项和为，且，假设对于一切的正整数n，总有，求实数m的取值范围。43在数列中，其中 求数列的通项公式；求数列的前项和；证明存在，使得对任意均成立 44设数列an是首项为4，公差为1的等差数列，Sn为数列bn的前n项和，且I求an及bn的通项公式an和bn.II假设成立？假设存在，求出k的值；假设不存在，说明理由；III假设对任意的正整数n，不等式恒成立，求正数a的取值范围. 45函数的最小值为且数列的前项和为求数列的通项公式；假设数列是等差数列，且，求非零常数；假设，求数列的最大项46设数列的各项均为正数，它的前项的和为，点在函数的图像上；数列满足其中求数列和的通项公式；设，求证：数列的前项的和 47设数列；1证明：数列是等比数列；2设数列的公比求数列的通项公式；3记；48二次函数满足，且对一切实数恒成立.1求 2求的表达式；3求证：.49在数列中，假设对于，均有成立，求的值； 假设对于，均有成立，求的取值范围； 请你构造一个无穷数列，使其满足以下两个条件，并加以证明： ； 当为中的任意一项时，中必有某一项的值为1.50对任意都有求和的值数列满足：=+，数列是等差数列吗？请给予证明；令试比拟与的大小数列大题训练50题参考答案1 解：1 ，两式相减，得， 2 2 解 1在直线xy+1=0上， 故是首项为1，公差为1的等差数列.2 的最小值是 3 解：(1)因为函数f(x)=abx(a,b为常数)的图象经过点P，Q那么有(2)an = log2(n) = log2 = 2n - 5 因为an+1 - an=2(n + 1)- 5 -(2n -5) = 2 ;所以an是首项为-3，公差为 2的等差数列 所以 当n=2时，取最小值 - 4 4 解：设yf(x)kxb( k0)，那么f(2)2kb，f(5)5kb，f(4)4kb，依题意：f(5)2f(2)·f(4)即：(5kb)2(2kb)(4kb)，化简得k(17k4b)0k0，bk 又f(8)8kb15 将代入得k4，b17 Snf(1)f(2)f(n)(4×117)(4×217)(4n17)4(12n)17n2n215n 5 1，所以是等比数列2，所以是等差数列36 解：(1)点Bn(n,bn)(nN*)都在斜率为6的同一条直线上，=6，即bn+1-bn=6,于是数列bn是等差数列，故bn=b1+6(n-1). 共线.1×(-bn)-(-1)(an+1-an )=0,即an+1-an=bn 当n2时，an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+ +(an-an-1)=a1+b1+b2+b3+bn-1=a1+b1(n-1)+3(n-1)(n-2) 当n=1时，上式也成立.所以an=a1+b1(n-1)+3(n-1)(n-2).(2)把a1=a,b1=-a代入上式，得an=a-a(n-1)+3(n-1)(n-2)=3n2-(9+a)n+6+2a.12<a15,当n=4时，an取最小值，最小值为a4=18-2a. 7 解：1N*) 时，N*) -得，求得，在中令，可得得，所以N*) 由题意，所以，数列的公差为,N*) 2，当时，单调递增，且，所以时，又，所以，不存在N*，使得 8 I解 依a1=5可知：a2=23, a3=95 II解 设 假设bn是等差数列，那么有2b2=b1+b3 即 得事实上，因此，存在、公差是1的等差数列9 解：1令，即由，即数列是以为首项、为公差的等差数列， 2，即，又时，各项中数值最大为，对一切正整数，总有恒成立，因此10依题意设1， 又 由、得所以又而符合上式， 2当时，是增函数，因此为的最小项，且又，所以中最大项为，最小项为。111由y得 x，又an1f-1ann，an1a1 ,an1 ，annN且是以2007为首项, 2为公差的等差数列为所求2由1知bn，记gn2n20212n2021nN 当1n1004时,gn单调递减且gminng10043此时bn>0且bn的最大值为; 当n1005时,gn1;当n1006时,gn单调递增且gminng10063此时bn>0且bn的最大值为;综上：bn的最大值为,最小值为1121 等差数列 2错位相减，13I由，得 作差，得。又因为正数数列，所以，由，得II，所以=14解：12an+12an+an+1an=0 an0, 两边同除an+1an 数列是首项为1,公差为的等差数列 2=an1=bn=f(an1)=f()=n+6 (nN)3 n+6 (n6, nN)= n6 (n>6, nN) (n6, nN) Sn= (n>6, nN) 151 2n=5，6，7，8，9 16解：1当时， ， 数列为等差数列 2由1知，当时，17解：1点都在斜率为6的同一条直线上，于是数列是等差数列，故 2共线，当n=1时，上式也成立. 所以 3把代入上式，得当n=4时，取最小值，最小值为18解：当时， . (n. ，得 ，整理得， ，即. 故数列是首项为，公差为的等差数列.19解：()由题意，有 (a1+d)(a1+13d)=(a1+4d)2.而a1=1,d>0.d=2,an=2n-1.公比q=3,a2=b2=3.bn=b2·qn-2=3·3 n-2=3 n-1.()当n=1时，=a2,c1=1×3=3.当n2时，,得cn=2bn= cn=c1+c2+c3+c2005=3+2(31+32+33+32004) =3+2· 20(1)21解：1当n=1时 ，a1=S1=2；当n2时，an=Sn Sn1=2n2 2(n1)2=4n2.故数列an的通项公式an=4n2，公差d=4.设bn的公比为q，那么b1qd= b1，d=4，q=.bn=b1qn1=2×=,即数列 bn 的通项公式bn=。2Tn=1+3·41+5·42+······+(2n1)4n14Tn=1·4+3·42+5·43+······+(2n1)4n两式相减得3Tn=1241+42+43+······+4n1+(2n1)4n=Tn=22(1)(2) 在上 ,当时 等比且公比为,首项为 等比公比为,首项为1 ,所以的各项和为23解：1由得：是首项为1，公差d=3的等差数列2由24解法：I证：由，有， II证：，是首项为5，以为公比的等比数列III由II得，于是当时，当时，故25解：1由，两边取对数得，即是公比为2的等比数列. 2由1知 26(1)解：设数列公差为d(d0)a1，a3，a9成等比数列，即 整理得： ， 由得：， (2) 27(1) 取得得：中的奇数项是以为前项，4为公比的等比数列，偶数项是以的前项，4为公比的等比数列2当为偶数时，当为奇数时，28验证n=1时也满足上式：291 又2又 即而30解1由题意知：是等比数列2由1知数列以是a2a1=3为首项，以2为公比的等比数列，所以故a2a1=3·20，所以a3a2=3·21，a4a3=3·22，所以3设2得：31解：设这二次函数f(x)ax2+bx (a0) ,那么 f(x)=2ax+b,由于f(x)=6x2,得a=3 , b=2, 所以 f(x)3x22x.又因为点均在函数的图像上，所以3n22n.当n2时，anSnSn13n22n6n5.当n1时，a1S13×1226×15，所以，an6n5 由得知，故Tn1.因此，要使1<成立的m,必须且仅须满足，即m10，所以满足要求的最小正整数m为10.32解证： 当n2时， 故是以2为首项，以2为公差的等差数列. 由得 当n2时，当n=1时， 33解：1，数列是以为首项，-1为公差的等差数列，2由，得。而当时，。3对任意，所以，即。是中的最大数，。设等差数列的公差为，那么。是一个以-12为公差的等差数列，34解：在直线 P1为直线l与y轴的交点，P10，1 ， 又数列的公差为1 是以2为公比，4为首项的等比数列，35解：由题意知， 数列是首项，公差的等差数列，其通项为 于是两式相减得 当时，当时，即当时，取最大值是 又对一切正整数n恒成立 即得或 361，又 数列是等差数列，且2当时，当n=1时，不成立. 3，.左边显然成立.37解：当时， 1时，当时，；当时， 2当时，当时，；当时， 综上所述，当或4时，；当时， 在上恒为增函数的充要条件是，解得 当时，即 1当n=1时，；当n2时， 212得，n2时，即 又为等差数列， 此时 当时 ，即 假设时，那么3，将3代入1得，对一切都成立另一方面，当且仅当时成立，矛盾不符合题意，舍去. 综合知，要使数列成等差数列，那么 38I解：由从而由的等比数列故数列 II391°40解：I令x=y=0，得f(0)=0。又当x=0时，即。对任意时，都有。为奇函数。II满足在上是奇函数， ，即。是以为首项，以2为公比的等比数列。 III=。假设存在正整数m，使得对任意的，有成立，即对恒在立。只需，即故存在正整数m，使得对，有成立。此时m的最小值为10。41解12，当即时，函数在区间-,-1上是减函数当时，即，又,该方程没有整数解； 当，即时，解得或舍去综上所述，为所求的值42解：I由，得或内的整点在直线和上，记直线为l，l与直线的交点的纵坐标分别为，那么II当时，且是数列中的最大项，故 43 解：由，可得，所以为等差数列，其公差为1，首项为0，故，所以数列的通项公式为 解：设，当时，式减去式，得，这时数列的前项和 当时， 这时数列的前项和 证明：通过分析，推测数列的第一项最大，下面证明：由知，要使式成立，只要，因为所以式成立 因此，存在，使得对任意均成立 44解：III假设符合条件的k(kN*)存在，由于 当k为正奇数时，k + 27为正偶数由 舍当k为正偶数时，k + 27为正奇数，由 即舍因此，符合条件的正整数k不存在 III将不等式变形并把代入得设又，45解：由由题意知：的两根，为等差数列，经检验时，是等差数列，46由条件得， 当时， 得：，即，数列的各项均为正数，又，；两式相减得，47解：1由相减得：是等比数列2，3，得：，所以：48解： 1根据对一切实数恒成立，令，可得，； 2设，那么，解得又恒成立，即恒成立，解得， 3由2得，49解：依题意，所以，解得，或，符合题意. 解不等式，即， 得所以，要使成立，那么 1当时，而，即，不满足题意. 2当时，满足题意.综上，. 解：构造数列：， . 那么 . 不妨设取，那么，. 由，可得， ，.因为，所以.又，所以数列是无穷数列，因此构造的数列符合题意. 50解：因为所以 令，得，即 又两式相加所以， 又故数列是等差数列分所以