第15章 章末复习课.docx

章末复习课知识网络理清脉络纲举目张、独立事件对立事件互斥事件事件的和与积古典概型样本空间随机事件突破重点抓住核心考点突破一、随机事件的概率1 .通过具体实例，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性.了解概率的意义及频率与 概率的区别.2 .掌握随机事件概率的应用，提升数学抽象和数学运算素养.例1对某市今年4月份的天气情况进行统计，结果如下：日期123456789101112131415天气晴雨阴阴阴雨阴晴晴晴阴晴晴晴晴日期161718192021222324252627282930天气晴阴雨阴阴晴阴晴晴晴阴晴晴晴雨在4月份任取一天，估计该市在该天不下雨的概率；（2）该市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的 概率.解（1）在容量为30的样本中，不下雨的天数是26,以频率估计概率，4月份任选一天，该市不下雨的概率为尸称相邻的两个日期为“互邻日期对“（如，1日与2日，2日与3日等），这样，在4月份中, 前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨7的频率为土7以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为靛 O 反思感悟(1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率.(2)概率是一个确定的常数，是客观存在的，在实验前已经确定，与试验无关，可以用频率估 计概率.跟踪训练1电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.从电影公司提供的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； 随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假 设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加01，哪类电影的 好评率减少0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值到达最大(只需写 出结论)？解(1)由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2 000, 第四类电影中获得好评的电影部数是200X0.25 = 50.故所求概率为瑞3=0025.由题意知，样本中获得好评的电影部数是140X0.4+50X0.2+300X0.15 + 200X0.25 + 800X0.2+510X0.1= 56+10+45 + 50+160+51= 372.372故所求概率估计为1言念=0.814.增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率.二、古典概型.古典概型是一种最基本的概率模型，是学习其他概率模型的基础，解题时要紧紧抓住古典 概型的两个基本特征，即有限性和等可能性.在应用公式P(A)=：时，关键在于正确理解试 验的发生过程，求出试验的样本空间的样本点总数和事件A的样本点个数九1 .掌握古典概型的概率公式及其应用，提升数学抽象、数据分析的数学素养.例2袋中装有除颜色外其他均相同的6个球，其中4个白球、2个红球，从袋中任取两球, 求以下事件的概率.(1)A：取出的两球都是白球；(2)B：取出的两球一个是白球，另一个是红球.解 设4个白球的编号为1,2,342个红球的编号为5,6.从袋中的6个球中任取2个球，样本 空间。=(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,4), (3,5), (3,6), (4,5), (4,6), (5,6),共15个样本点，且每个样本点出现的可能性相同.(1) “从袋中的6个球中任取两球，所取的两球全是白球”为事件4,那么4= (1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4),共含有6个样本点.所以尸(4)=鲁=|.(2) “从袋中的6个球中任取两球，其中一个是白球，另一个是红球”为事件&那么3=(1,5), Q6), (2,5), (2,6), (3,5), (3,6), (4,5), (4,6),共含有 8 个样本点，所以。(5)=记.反思感悟 在古典概型中，计算概率的关键是准确找到样本点的数目，这就需要我们能够熟 练运用图表和树形图，把样本点一一列出.而有许多试验，它们的可能结果非常多，以至于 我们不可能将所有结果全部列出，这时我们不妨找找其规律，算出样本点的数目.跟踪训练2某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况,数据如下表: (单位：人)参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团85未参加演讲社团230从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学4,42,43, A4, 4,3名 女同学8, B2, 现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求4被选中且囱未被 选中的概率.解(1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人， 故至少参加上述一个社团的共有45 30=15(人)，所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为。=亲=.从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的样本空间0= A15, 482, 483, A2B1, A282,A381, A3B2, A383, 44囱，4482, A483, AsB, A582,&&,共含15个样本点.根据题意这些样本点出现的可能性相等.事件“4被选中且5未被选中”所包含的样本点有 AiB3,共 2 个.2所以其概率为。=宜 三、互斥事件、对立事件与相互独立事件1 .互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要 求二者必须有一个发生.因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对 立事件是互斥事件的特殊情况.2 .假设事件A, 8满足P(AB) = P(A)P(3),那么事件A, 3相互独立，且当A与8相互独立时，A 与石，下"与3,又与石也相互独立.3 .掌握互斥事件和对立事件的概率公式、相互独立事件的判断方法及应用，提升逻辑推理和 数学运算素养.例3 (1)把标有1,2的两张卡片随机地分给甲、乙，把标有3,4的两张卡片随机地分给丙、丁, 每人一张，事件“甲得1号纸片”与“丙得4号纸片”是()A.互斥但非对立事件B.对立事件C.相互独立事件D.以上答案都不对答案c解析 相互独立的两个事件彼此没有影响，可以同时发生，因此它们不可能互斥.(2)(多项选择)从1,2,3,，7这7个数中任取两个数，其中不是对立事件的是()A.恰有一个是偶数和恰有一个是奇数B.至少有一个是奇数和两个都是奇数C.至少有一个是奇数和两个都是偶数D至少有一个是奇数和至少有一个是偶数答案ABD解析 C中“至少有一个是奇数”，即“两个奇数或一奇一偶”，而从17中任取两个数， 根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件：“两个都是奇数” “一奇一偶” “两个都是偶 数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件. 反思感悟 事件间的关系的判断方法判断事件间的关系时，可把所有的试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从 而断定所给事件间的关系.对立事件一定是互斥事件，也就是说不互斥的两事件一定不是对立事件，在确定了两个事 件互斥的情况下，就要看这两个事件的和事件是不是必然事件，这是判断两个事件是否为对 立事件的基本方法.判断互斥事件、对立事件时，注意事件的发生与否都是对于同一次试验 而言的，不能在屡次试验中判断.(3)判断两事件是否相互独立，有两种方法：直接法；看P(A3)与P(A)P(8)是否相等，假设 相等，那么A, B相互独立，否那么不相互独立.跟踪训练3 (1)假设干个人站成一排，其中为互斥事件的是()“甲站排头”与“乙站排头”A. “甲站排头”与“乙不站排尾”“甲站排头”与“乙站排尾”B. “甲不站排头”与“乙不站排尾”答案A解析 由互斥事件的定义可得，“甲站排头”与“乙站排头”为互斥事件.(2)甲、乙两名射击手同时向一目标射击，设事件4 “甲击中目标”，事件b “乙击中目 标”，那么事件A与事件3()A.相互独立但不互斥B.互斥但不相互独立C.相互独立且互斥D.既不相互独立也不互斥答案A解析 对同一目标射击，甲、乙两射击手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与3相互 独立；对同一目标射击，甲、乙两射击手可能同时击中目标，也就是说事件A与3可能同时 发生，所以事件A与5不是互斥事件.四、相互独立事件概率的计算.相互独立事件的概率通常和互斥事件的概率综合在一起考查，这类问题具有一个明显的特 征，那就是在题目的条件中已经出现一些概率值，解题时先要判断事件的性质(是互斥还是相 互独立)，再选择相应的公式计算求解.1 .掌握相互独立事件的概率公式的应用，提升数学抽象和逻辑推理的数学素养.例4某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答以下问题者进入下一轮，否那么被 4 3 2淘汰.某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为今 且各轮问题能否 正确回答互不影响.求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；求该选手至多进入第二轮考核的概率.432解 记“该选手正确回答第i轮问题”为事件A(，=123),那么P(4)=不P(A2)=t,尸(4)=不 该选手进入第三轮才被淘汰的概率为4 3r 2、 36P(Ai& A 3)= P(4)P(A2)P( A 3) = 5X1Xl-d=Y.该选手至多进入第二轮考核的概率为P( A i+Ai A 2)=P( A i)+P(Ai)P( A 2)= (15) + 5x5)= 25,反思感悟解此类题的步骤如下(1)标记事件.判断事件的独立性.分清所涉及的事件及事件状态(互斥还是对立).(4)套用公式.跟踪训练4设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响，在某一小时内， 甲、乙都需要照顾的概率为0.05,甲、丙都需要照顾的概率为0.1,乙、丙都需要照顾的概率 为 0.125.分别求甲、乙、丙每台机器在这一小时内需要照顾的概率；计算这一小时内至少有一台机器需要照顾的概率.解 记甲、乙、丙三台机器在某一小时内需要照顾分别为事件4 B, C,那么4B,。两两 相互独立.(1)由题意得P(AB)=P(A)P(B)=0.05,尸(AC) = P(A)P(C) = 0.l,P(BC) = P(B)P(C) = 0.125,AP(A)=0.2, P= 025, P(C)=0.59,甲、乙、丙每台机器在这一小时内需要照顾的概率分别为020.25,05(2)VA, B,。两两相互独立,/. A , B , C两两相互独立，甲、乙、丙每台机器在一个小时内都不需要照顾的概率为P(A TT7 ) = P(A )P(9)P(C ) = 0.8 义 0.75 义 0.5 = 0.3,这一小时内至少有一台机器需要照顾的概率为P= 1-pCa BC)=1-0.3 = 0.7.实战高考超越创新真题体验1.(2020全国I )设。为正方形A3CZ)的中心，在。，A, B, C,。中任取3点，那么取到的3 点共线的概率为()A 4 B.t C.：D.t JJLJ答案A解析从。，A, B, C,。这5个点中任取3点，样本点有(。，A, B), (O, A, C), (。，A,D）, （。，B, C）, （。，B, D）, （0, C, O）, （A, B, C）, （A, B, D）, （A, C, O）, （B, C, D）,共1。个，其中取到的3点共线的只有（。，A, O, （0, B,。）这2个样本点，所以所求21概率为2 .（2021 .新高考全国I）有6个相同的球，分别标有数字1,2,345,6,从中有放回地随机取两 次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1"，乙表示事件“第二次取出 的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的 球的数字之和是7"，那么（）A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立答案B解析 事件甲发生的概率P（甲）=9，事件乙发生的概率尸（乙）=/ 事件丙发生的概率P（丙） =岛=京，事件丁发生的概率尸（丁）=含=1.事件甲与事件丙同时发生的概率为0,尸（甲 o x o 30o x o o丙）WP（甲）P（丙），故A错误；事件甲与事件丁同时发生的概率为白，P（甲丁）= O A 0 JO尸（甲）P（丁），故B正确；事件乙与事件丙同时发生的概率为七=白，P（乙丙）WP（乙）尸（丙）,O X 030故C错误；事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D错误.3 .（2020.江苏）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，那么点数和为5 的概率是.答案I点数的和共有36个样本点，其中和为5的共有4个样本点，由古典概型的概率公式可得点数41和为5的概率。=石=§.4. (2020.全国I)某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A, B, C, 。四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元, 50元，20元；对于。级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承 接加工业务.甲分厂加工本钱费为25元/件，乙分厂加工本钱费为20元/件.厂家为决定由 哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了 100件这种产品，并统计了这些产品的等级, 整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表等级八BCD频数40202020乙分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数28173421分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪 个分厂承接加工业务？40解(1)由表可知，甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为而=0.4,乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为喘j=0.28.(2)甲分厂加工100件产品的总利润为40X(90-25) + 20X(50-25)+20X(20-25)-20X(50+25)=1 500(%),所以甲分厂加工100件产品的平均利润为15元；乙分厂加工100件产品的总利润为28X(90-20)+17X(50-20) + 34X(20-20)-21X(50+20)=1 000(元),所以乙分厂加工100件产品的平均利润为10元.比拟甲、乙两分厂加工的产品的平均利润，厂家应选择甲分厂承接加工业务.