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    新高考一轮复习苏教版 基本不等式及其应用 作业.docx

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    新高考一轮复习苏教版 基本不等式及其应用 作业.docx

    一轮分层练案(四)基本不等式及其应用A级基础达标1 .以下不等式中,正确的选项是()4A. a+一 24B. a2+b24abaC. -/ab ?a.bD. X2+A 22小,X4【答案】D a<0,那么a+二24不成立,故A错;a=l, b=l, a2+b2<4ab,故B错, a, a ba=4, b= 16,那么,而<二厂,故C错;由基本不等式可知D项正确.2.假设x>0, y>0,贝1J ux + 2y = 2/2xy ”的一个充分不必要条件是()A. x = yB. x = 2yC. x = 2 且 y=lD. x = y 或 y=l【答案】C Vx>0, y>0, .x + 2y>2隹8 ,当且仅当x = 2y时取等号.故"x = 2且y=l ”是"x + 2y = 2吸药”的一个充分不必要条件.应选C.3.假设实数x, y满足xy + 6x=4(0<x<|),那么:+的最小值为()A. 4B. 8C. 16D. 32【答案】B实数x, y满足xy+6x=4(0<x<|"),,,x=y+63), .y>。,411441那么7 *"y =丫+6+, 22 + 6 = 8,当且仅当y= 1, x=时取等号.+"的最小值 为8.4.不等式(x+y)&+29对任意正实数x, y恒成立,那么正实数a的最小值为()A. 2B. 4D. 8C. 6【答案】B不等式(x+y)(:+j) 29对任意正实数x, y恒成立,那么(x+y)(:+j) 2(1 +Va当且仅当y=/a x时,取等号,22,即a24,故正实数a的最小值为4.5 .几何原本卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理 问题的重要依据,通过这一原理,很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之 为无字证明.现有如下图图形,点F在半圆0上,点C在直径AB上,且OFJ_AB,设O C BO C BAC = a, BC=b,那么该图形可以完成的无字证明为()A.a+bB. ax2 I- 6i= lnx+记q为负值,最小值不是2,不符合题意;对于C, 丫=许=衍+许'设t= yJx2+5,那么小,因为y=t+; (t>小)时为增函数,那么y2 y5其最小值不是2,不符合题意;对于D, y=4x+4*x=4x+ 22号 =2,当且仅当 x = o时取等号,其最小值为2,符合题意.应选A、D. 7.(多项选择)假设x2y,那么以下不等式中正确的选项是()+b22-/ab (a>0, b>0)C.C.2aba+b(a>0, b>0)b=a-b2D.D.a+b /a2+b2W 2-(a>°,b>0)a -ba -"F" b【答案】D 由AC = a, BC = b,可得圆O的半径r=一厂,又OC = OB BC=fa2+b2=2?(ab) 2(a+b) 2那么FC2=OC2+OF2=4 +4a+b /a2+b2再根据题图知FOWFC,即W ,当且仅当a=b时取等号.应选D.6 .(多项选择)以下四个函数中,最小值为2的是()A, 丫 = 5屋+看(ovxw5)B.B.(x>0, xWl)x2+6D. y=4x+4【答案】AD 对于A,因为OvxWf ,所以OvsinxWl, y = sin x+-22,当且仅 /sin x当sin 一,即sin x= 1时取等号,符合题意;对于B,当0<xvl时,In x<0,此时y sin xA. 2x,2yB. 2MC. x2y2D. x2+y22xy【答案】AD 由指数函数的单调性可知,当xy时,有2*22丫,故A正确;当0>x2y时,X: 不成立,故B错误;当02x2y时,x22y2不成立,故C错误;x2+y22xy = (x y)20 成立,即 x2+y22xy 成立,故 D 正确.8.(多项选择)假设a, b, c£R,且ab + bc+ca=l,那么以下不等式成立的是()A. a+b+cW小B. (a+b+c)23C. " +r +, N2小D. a2+b2+c2la b c v【答案】BD 由基本不等式可得a2+b222ab, b2+c22bc, c2 + a22ca,上述三个不等式全部相加得2(a2+b2+c2)2(ab+bc+ca) = 2, /.a2+b2+c2 1,当且 仅当a=b = c时,等号成立,A(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)3,:a+b+cW小 或 a+b+c> 小 ,假设 a=b=c=-W ,那么:+ +: =-3# <25, ja u L因此,A、C选项错误,B、D选项正确.应选B、D.9 .假设正实数x, y满足x+y = 2,且已NM恒成立,那么M的最大值为.(x+y) 222解析:因为正实数x, y满足x + y = 2,所以xyW= =1,当且仅当x = y=1时,等号成立,所以, 21.又工 2M恒成立,所以MW1,即M的最大值为1. xy xy【答案】110 .某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润 y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系为y=x2+18x25(xeN+),求每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值.解:每台机器运转x年的年平均利润为:=18(x+穹,而x>0,故182/25 = 8,当且仅当x = 5时等号成立,此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大,最大值为8 万元.B级综合应用11 .假设 a>0, b>0, lga+lgb = lg(a+b),那么 a+b 的最小值为()A. 8A. 8B. 6C. 4D. 2【答案】C 由 1g a+lg b = lg (a+b),得 1g (ab) = lg (a+b),即 ab = a+b,那么有! = 1, -a D所以 a+b=(:+§ (a+b)=2+ +£ >2+2, =4,当且仅当 a=b=2 时等号 成立,所以a+b的最小值为4.应选C.12 .假设向量 m = (a1, 2), n = (4, b),且m_Ln, a>0, b>0,那么 log'a+log3( 有( )A.最大值log3B.最小值log32C.最大值loggD.最小值0【答案】B 由mJ_n,得mn=0,即4(al)+2b=0,A2a+b=2, .2226而,.abW;(当且仅当2a=b时,等号成立).又 log扪+log3/ =log| a+log| b = log| ablog1| =log32,故 log方 a+log31故 log方 a+log31有最小值为log32.13 .(多项选择)如下图,一座小岛距离海岸线上最近的P点的距离是2 km,从P点沿海 岸正东12 km处有一个城镇.假设一个人驾驶的小船的平均速度为3 km/h,步行的速度为5 km/h,时间t(单位:h)表示他从小岛到城镇的时间,x(单位:km)表示此人将船停在海岸处距P点的距离.设11=山2+4 +x, v= 42 + 4 X,那么( )城髻<12-x小岛-12 km &/4A.函数v = f(u)为减函数B. 15tu4v = 32C.当x=1.5时,此人从小岛到城镇花费的时间最少D.当x=4时,此人从小岛到城镇花费的时间不超过3 h【答案】AC Vu=4?+4 +x, v= /x2+4 x,.V =中.V =中U V x= 2由题意uv=4,4v=g在(0,+8)上是减函数,A正确;t=dx2+412x u+v3+uv,整理得 15t=u+4v+36, B 错误;1 A由 A、B 得 15t=u+% +36>2A1u +36=44,当且仅当u=,即u=4时取等号,由1x2+4 +x=4,解得 x =3y =1.5, C 正确;2# , 8-x=4 时,t=U- +5 , t3 =25 71冲211515>0, t>3, D 错误.应选A、C.14 .假设a>0, b>0,且a+2b-4=0,那么ab的最大值为解析:Va>0, b>0,且 a+2b4=0, Aa+2b=4,2=2,2=2,A ab= a 2bW J X当且仅当a=2b,即a=2, b=l时等号成立,Aab的最大值为2.a+2b _14=45 +【答案】2ba+U =G+b9-415.函数f(x) =x2+ax+11x+1(a£R),假设对于任意的x£N» f(x)23恒成立,求a的取值范围.x2+ax+11/解:对任意x£N+, f(x)23,即口一 23恒成立,即aN x+q +3.Xi 1 X,Qo设 g(x) = x+: , x£N+,那么 g(x) = x+: 24也, AA当且仅当x = 2位 时等号成立,1717/8、Q又 g(2)=6, g(3)=y , Vg(2)>g(3), Ag(x)min=y,卜+0 +3.一,OO二a一g ,故a的取值范围是 一Q, +8).C级迁移创新16.a+b+c = 3,且a, b, c都是正数.1 i 13(1)求证:f; +H +-;a+b b + c c + a 2(2)是否存在实数m,使得关于x的不等式一x2+mx + 2Wa2+b?+c2对所有满足题设条 件的正实数a, b, c恒成立?如果存在,求出m的取值范围;如果不存在,请说明理由.解:(1)证明:因为a+b+c=3,且a, b, c都是正数,所以士 +2 +2a+b b+c c + a1< 1 . 1 , 1 A=61(a+b)+(b+c)+(c+a)E+4+河4 3 + (室+第+(陪+者+券+宏)6 1a+b b+cj c + a b+cy c + a a+byy132K (3+2+2+2)=5 ,当且仅当a=b=c=l时,取等号,也、,1.11、3所以而+而+E 2 (2)因为 a+b+c=3,所 (a+b+c)1 2 = a2+b2+c2+2ab+2bc + 2ca3(a2+b2+c2), 因此a2+b?+c2>3(当且仅当a=b = c= 1时,取等号),所以32 + b2 + c2)min = 3,由题意得一x2+mx + 2W3恒成立,即得X2mx+1 20恒成立,因此 A = m24W00一2WmW2.故存在实数m£ 2, 2使不等式成立.

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