五年级奥数.行程.多人相遇和追及问题.教师版(10页).doc

-五年级奥数.行程.多人相遇和追及问题.教师版-第 10 页多人相遇和追及问题 知识框架二是多人相遇追及问题，即在同一直线上，3个或3个以上的对象之间的相遇追及问题。所有行程问题都是围绕“”这一条基本关系式展开的，比如我们遇到的两大典型行程题相遇问题和追及问题的本质也是这三个量之间的关系转化由此还可以得到如下两条关系式：多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这两条公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解例题精讲【例 1】 有甲、乙、丙3人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走75米现在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇6分钟后，甲又与丙相遇. 那么，东、西两村之间的距离是多少米?【考点】行程问题 【难度】 【题型】解答 【解析】 甲、丙6分钟相遇的路程：(米)；甲、乙相遇的时间为：(分钟)；东、西两村之间的距离为：(米).【答案】米【巩固】 一条环形跑道长400米，甲骑自行车每分钟骑450米，乙跑步每分钟250米，两人同时从同地同向出发，经过多少分钟两人相遇？【考点】行程问题 【难度】 【题型】解答 【解析】 (分钟)【答案】分钟【例 2】 在公路上，汽车、分别以，的速度匀速行驶，若汽车从甲站开往乙站的同时，汽车、从乙站开往甲站，并且在途中，汽车在与汽车相遇后的两小时又与汽车相遇，求甲、乙两站相距多少千米？【考点】行程问题 【难度】 【题型】解答 【解析】 汽车在与汽车相遇时，汽车与汽车的距离为：千米，此时汽车与汽车的距离也是260千米，说明这三辆车已经出发了小时，那么甲、乙两站的距离为：千米【答案】千米【巩固】 甲、乙、丙三人每分分别行60米、50米和40米，甲从B地、乙和丙从A地同时出发相向而行，途中甲遇到乙后15分又遇到丙求A，B两地的距离【考点】行程问题 【难度】 【题型】解答 【解析】 甲遇到乙后15分钟，甲遇到了丙，所以遇到乙的时候，甲和丙之间的距离为：（6040）×151500（米），而乙丙之间拉开这么大的距离一共要1500÷（50-40）=150（分），即从出发到甲与乙相遇一共经过了150分钟，所以A、B之间的距离为：（60+50）×15016500（米）【答案】16500米【例 3】 小王的步行速度是千米/小时，小张的步行速度是千米/小时，他们两人从甲地到乙地去.小李骑自行车的速度是千米/小时，从乙地到甲地去.他们3人同时出发，在小张与小李相遇后5分钟，小王又与小李相遇.问：小李骑车从乙地到甲地需要多少时间？【考点】行程问题 【难度】 【题型】解答 【解析】 画一张示意图：图中A点是小张与小李相遇的地点，图中再设置一个B点，它是张、李两人相遇时小王到达的地点.5分钟后小王与小李相遇，也就是5分钟的时间，小王和小李共同走了B与A之间这段距离：（千米），这段距离也是出发后小张比小王多走的距离，小王与小张的速度差是（）千米/小时.小张比小王多走这段距离，需要的时间是：÷（）×60=130（分钟）.这也是从出发到张、李相遇时已花费的时间.小李的速度千米/小时是小张速度千米/小时的2倍.因此小李从A到甲地需要：130÷2=65（分钟）.从乙地到甲地需要的时间是：13065=195（分钟）3小时15分.小李从乙地到甲地需要3小时15分.【答案】3小时15分【巩固】 甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走65米，丙每分钟走70米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过1分钟与甲相遇，求东西两镇间的路程有多少米？【考点】行程问题 【难度】 【题型】解答 【解析】 那2分钟是甲和丙相遇，所以距离是（60+70）×1=130米，这距离是乙丙相遇时间里甲乙的路程差所以乙丙相遇时间=130÷（65-60）=26分钟，所以路程=26×（65+70）=3510米。【答案】3510米【例 4】 甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走80米，乙每分钟走90米，丙每分钟走100米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过5分钟与甲相遇，求东西两镇间的路程有多少米？【考点】行程问题 【难度】 【题型】解答 【解析】 那5分钟是甲和丙相遇，所以距离是（80+100）×5=900米，这距离是乙丙相遇时间里甲乙的路程差。所以乙丙相遇时间=900÷（90-80）=90分钟，所以路程=90×（90+100）=17100米。【答案】17100米【巩固】 小王的步行速度是5千米/小时，小张的步行速度是6千米/小时，他们两人从甲地到乙地去.小李骑自行车的速度是10千米/小时，从乙地到甲地去.他们3人同时出发，在小张与小李相遇后30分钟，小王又与小李相遇.问：小李骑车从乙地到甲地需要多少时间？【考点】行程问题 【难度】 【题型】解答 【解析】 30分钟是小王和小李相遇，所以距离是千米，这距离是小王和小李相遇时间里小张和小王的路程差。所以小李和小张相遇时间÷（6-5）小时，所以路程×（6+10）=120千米。120÷10=12（小时）【答案】12小时【例 5】 甲、乙两车的速度分别为 52 千米时和 40 千米时，它们同时从 A 地出发到 B 地去，出发后 6 时，甲车遇到一辆迎面开来的卡车，1 时后乙车也遇到了这辆卡车。求这辆卡车的速度。 【考点】行程问题 【难度】 【题型】解答 【解析】 甲乙两车最初的过程类似追及，速度差×追及时间路程差；路程差为 72 千米；72 千米就是1 小时的甲车和卡车的路程和，速度和×相遇时间路程和，得到速度和为 72 千米时，所以卡车速度为 72-40=32 千米时。 【答案】卡车速度为 32 千米时【巩固】 甲、乙、丙三人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走75米甲从东村，乙、丙从西村同时出发相向而行，途中甲、乙相遇后3分钟又与丙相遇求东西两村的距离【考点】行程问题 【难度】 【题型】解答 【解析】 先画示意图如下：甲、乙相遇后3分钟，甲、丙相遇甲、丙在3分钟内共走路程是(米)显然，这就是甲、乙相遇时，乙比丙多走的路程，乙比丙每分钟多走(米)所以，甲、乙相遇时离出发的时间是(分钟)两村间的距离是：(米)【答案】米【例 6】 张、李、赵3人都从甲地到乙地上午6时，张、李两人一起从甲地出发，张每小时走5千米，李每小时走4千米赵上午8时从甲地出发傍晚6时，赵、张同时达到乙地那么赵追上李的时间是几时?【考点】行程问题 【难度】 【题型】解答 【解析】 甲、乙之间的距离：张早上6时出发，晚上6时到，用了12小时，每小时5千米，所以甲、乙两地距离千米。赵的速度：早上8时出发，晚上6时到，用了10小时，走了60千米，每小时走千米。所以，赵追上李时用了：小时，即中午12时。【答案】中午12时【巩固】 甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去，出发后6分甲车超过了一名长跑运动员，2分后乙车也超过去了，又过了2分丙车也超了过去。已知甲车每分走1000米，乙车每分走800米，丙车每分钟走多少米？【考点】行程问题 【难度】 【题型】解答 【解析】 根据题意可知，甲车走了1000×6=6000米乙车走了800×8=6400米长跑运动员的速度（6400-6000）÷2=200米/分丙车速度（200×2+6400）÷10=680米/分【答案】680米/分【例 7】 甲、乙、丙三人同时从A向B跑，当甲跑到B时，乙离B还有20米，丙离B还有40米；当乙跑到B时，丙离B还有24米。问：（1） A， B相距多少米？（2）如果丙从A跑到B用24秒，那么甲的速度是多少？【考点】行程问题 【难度】 【题型】解答 1) 乙跑最后20米时，丙跑了40-2416（米）， 丙的速度是乙的。 因为乙到B时比丙多跑24米， 所以A、B相距米2) 甲跑120米，丙跑120-40=80米，丙的速度是甲的 甲的速度是（米/秒）【答案】（1）米；（2）米/秒【巩固】 甲乙丙三人同时从东村去西村，甲骑自行车每小时比乙快12公里，比丙快15公里，甲行小时到达西村后立刻返回.在距西村30公里处和乙相聚，问：丙行了多长时间和甲相遇？【考点】行程问题 【难度】 【题型】解答 【解析】 在距西村30公里处和乙相聚，则甲比乙多走60公里，而甲骑自行车每小时比乙快12公里，所以，甲乙相聚时所用时间是（小时），所以甲从西村到和乙相聚用了（小时），所以，甲速是（公里/小时），所以，丙速是（公里/小时），东村到西村的距离是：（公里），所以，甲丙相遇时间是：(小时).【答案】小时【例 8】 甲、乙、丙三车同时从A地沿同一公路开往B地，途中有个骑摩托车的人也在同方向行进，这三辆车分别用7分钟、8分钟、14分钟追上骑摩托车人。已知甲车每分钟行1000米，丙车每分钟行800米，求乙速车的速度是多少？【考点】行程问题 【难度】 【题型】解答 【解析】 甲与丙行驶7分钟的距离差为：（1000800）×71400（米），也就是说当甲追上骑摩托车人的时候，丙离骑摩托车人还有1400米，丙用了14-7=7（分）钟追上了这1400米，所以丙车和骑摩托车人的速度差为：1400÷（147）200（米分），骑摩托车人的速度为：800200600（米分），三辆车与骑摩托车人的初始距离为：（1000600）×72800（米），乙车追上这2800米一共用了8分钟，所以乙车的速度为：2800÷8600950（米分）。【答案】950米分【巩固】 快、中、慢3辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车人这3辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人现在知道快车每小时走24千米，中车每小时走20千米，那么，慢车每小时走多少千米? 【考点】行程问题 【难度】 【题型】解答 【解析】 快车追上骑车人时，快车（骑车人）与中车的路程差为(千米)，中车追上这段路用了(分钟)，所以骑车人与中车的速度差为(千米/小时).则骑车人的速度为(千米/小时)，所以三车出发时与骑车人的路程差为(千米).慢车与骑车人的速度差为（千米/小时），所以慢车速度为（千米/小时）.【答案】千米/小时【例 9】 甲从A地出发前往B地，1小时后，乙也从A地出发前往B地，又过1小时，丙从B地出发前往A地，结果甲和丙相遇在C地，乙和丙相遇在D地已知乙和丙的速度相同，丙的速度是甲的2倍,C、D两地之间的距离是50千米求乙出发1小时后距B地多少千米。【考点】行程问题 【难度】 【题型】解答 【解析】 根据题意可知：甲出发两小时后，甲乙在同一地点，假设此时距B为“1”，C、D两地之间的距离=，千米【答案】千米【巩固】 甲、乙、丙三人在学校到体育场的路上练习竞走，甲每分比乙多走10米，比丙多走31米。上午9点三人同时从学校出发，上午10点甲到达体育场后立即返回学校，在距体育场310米处遇到乙。问：（1）从学校到体育场的距离是多少？（2）甲与丙何时相遇（精确到秒）？【考点】行程问题 【难度】 【题型】解答 【解析】 （1） 9300米；（2） 10时6分40秒。提示：从出发到甲、乙相遇，甲比乙多走了620米，又甲比乙每分多走10米，所以从出发到甲、乙相遇共用62分。甲从体育场返回到与乙相遇用了6260=2（分），从而可求出甲每分走310÷2=155（米）。【答案】155米【例 10】 甲、乙、丙三人，甲每分钟走40米，丙每分钟走60米，甲、乙两人从A、B地同时出发相向而行，他们出发15分钟后，丙从B地出发追赶乙。此后甲、乙在途中相遇，过了7分钟甲又和丙相遇，又过了63分钟丙才追上乙，那么A、B两地相距多少米？【考点】行程问题 【难度】 【题型】解答 【解析】 根据题意可知， （40+60）×7=700（米），700÷（63+7）=10（米/分），乙的速度为50米/分，（15×50-700）÷10=5（分），（40+50）×（15+5）=1800（米）【答案】1800米【巩固】 甲、乙、丙三辆车同时从A地出发驶向B地，依次在出发后5小时、5小时、6小时与迎面驶来的一辆卡车相遇。已知甲、乙两车的速度分别是80千米/时和70千米/时，求丙车和卡车的速度。【考点】行程问题 【难度】 【题型】解答 【解析】 丙车和卡车的速度均是50千米/时。【答案】50千米/时课堂检测【随练1】 小轿车、面包车和大客车的速度分别为60千米时、48千米时和42千米时，小轿车和大客车从甲地、面包车从乙地同时相向出发，面包车遇到小轿车后30分又遇到大客车。问：甲、乙两地相距多远？【考点】行程问题 【难度】 【题型】解答 【解析】 270千米。提示：先求出面包车与小轿车相遇时，大客车与小轿车的距离（相遇问题），再求出从出发到面包车与小轿车相遇经过的时间（追及问题），最后求甲、乙两地的距离（相遇问题）。【答案】270千米【随练2】 甲、乙、丙三人，他们的步行速度分别为每分钟480、540、720米，甲、乙、丙3人同时动身，甲、乙二人从A地出发，向B地行时，丙从B地出发向A地行进，丙首先在途中与乙相遇，3分钟后又与甲相遇，求甲、乙、丙3人行完全程各用多长时间？【考点】行程问题 【难度】 【题型】解答 【解析】 方法一：乙与丙相遇时，乙比甲多行的距离可供丙、甲相向而行行3分钟的时间，这段距离为（米），（分），A、B之间的距离为（米），行完全程甲、乙、丙需要的时间分别如下：甲 乙 丙方法二：丙与乙相遇时，各行了（分），速度与时间成反比，所以，丙行完全程需要（分）；乙行完全程需要（分）.方法三：丙与乙相遇时，乙比甲多行了（米）；丙比甲多行了（米），所以A地与B地之间的距离为（米）.行完全程甲、乙、丙需要的时间分别如下：甲 乙 丙 【答案】甲 分；乙 分；丙 分【随练3】 甲、乙、丙三辆车同时从 A 地出发到 B 地去，甲、乙两车的速度分别为 60 千米时和 48千米时。有一辆迎面开来的卡车分别在他们出发后5时、6时、8 时先后与甲、乙、丙三辆车相遇。求丙车的速度。 【考点】行程问题 【难度】 【题型】解答 【解析】 甲车每小时比乙车快(千米)则5小时后，甲比乙多走的路程为(千米)也即在卡车与甲相遇时，卡车与乙的距离为60千米，又因为卡车与乙在卡车与甲相遇的小时后相遇，所以，可求出卡车的速度为(千米/小时)，卡车在与甲相遇后，再走(小时)才能与丙相遇，而此时丙已走了8个小时，因此，卡车3小时所走的路程与丙8小时所走的路程之和就等于甲5小时所走的路程由此，丙的速度也可求得，应为：(千米/小时)【答案】千米/小时【随练4】 甲、乙、丙三辆车先后从A地开往B地，乙比丙晚出发5分，出发后45分追上丙；甲比乙晚出发15分，出发后1时追上乙。甲和丙的速度比是多少？【考点】行程问题 【难度】 【题型】解答 【解析】 根据题意可知，乙和丙的时间比为45：50 =9：10 ，即速度比为10：9。甲和乙的时间比为60：75 =4：5 ，即速度比为5：4，甲、乙和丙的速度比为 25：20：18。甲和丙的速度比为25：18 【答案】25：18家庭作业作业检测【作业1】 甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走米，丙每分钟走75米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过2分钟与甲相遇，求东西两镇间的路程有多少米？【考点】行程问题 【难度】 【题型】解答 【解析】 那2分钟是甲和丙相遇，所以距离是（60+75）×2=270米，这距离是乙丙相遇时间里甲乙的路程差所以乙丙相遇时间=270÷（）=36分钟，所以路程=36×（67.5+75）=5130米。【答案】5130米【作业2】 甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走50米，乙每分钟走60米，丙每分钟走70米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过2分钟与甲相遇，求东西两镇间的路程有多少米？【考点】行程问题 【难度】 【题型】解答 【解析】 那2分钟是甲和丙相遇，所以距离是（60+70）×2=260米，这距离是乙丙相遇时间里甲乙的路程差所以乙丙相遇时间=260÷（60-50）=26分钟，所以路程=26×（60+70）=3380米。【答案】3380米【作业3】 甲乙丙三人沿环形林荫道行走，同时从同一地点出发，甲、乙按顺时针方向行走，丙按逆时针方向行走。已知甲每小时行7千米，乙每小时行5千米，1小时后甲、丙二人相遇，又过了10分钟，丙与乙相遇，问甲、丙相遇时丙行了多少千米？【考点】行程问题 【难度】 【题型】解答 【解析】 方法一：出发1小时后甲、丙相遇，这时甲领先乙千米；10分钟后丙、乙相遇，相向而行共行了2千米，其中乙行了千米，丙行了千米，丙每小时行千米，所以甲、丙相遇时，丙行了千米。方法二：丙1小时10分钟（与乙相遇）行的距离与1小时（与甲相遇）行的距离之差恰好等于甲1小时行的距离之差，所以丙的速度等于千米/小时，丙与甲相遇时，丙行了千米。【答案】千米【作业4】 甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去，甲、乙两车的速度分别为60千米时和48千米时。有一辆迎面开来的卡车分别在他们出发后 6时、7时、8时先后与甲、乙、丙三辆车相遇。求丙车的速度。【考点】行程问题 【难度】 【题型】解答 【解析】 39千米时。提示：先利用甲、乙两车的速度及与迎面开来的卡车相遇的时间，求出卡车速度为24千米时。【答案】卡车速度为24千米时【作业5】 李华步行以每小时4千米的速度从学校出发到20.4千米处的冬令营报到。半小时后，营地老师闻讯前往迎接，每小时比李华多走千米。又过了小时，张明从学校骑车去营地报到。结果三人同时在途中某地相遇。问骑车人每小时行驶多少千米？【考点】行程问题 【难度】 【题型】解答 【解析】 老师出发时，李华已经走了（千米）。接下来相遇所需要的时间为（小时）。相遇地点与学校的距离用李华的速度和时间进行计算：（千米）。所以张明要用小时感到距离学校10千米处，张明的速度为（千米/时）【答案】千米/时【作业6】 快、中、慢三辆车同时同地出发，沿同一公路去追赶前面一骑车人，这三辆车分别用6分、9分、12分追上骑车人。已知快、慢车的速度分别为60千米时和40千米时，求中速车的速度。【考点】行程问题 【难度】 【题型】解答 【解析】 根据题意可知，快车走了6千米慢车走了8千米骑车人的速度（8-6）÷（12-6）= 千米/小时，中速车速度（×3+6）÷= 千米/小时【答案】千米/小时