第13章立体几何初步【压轴题型专项训练】（解析版）.docx

2021-2022学年高一数学单元复习过过过【压轴题型专项训练】第13章立体几何初步一、选择题：此题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要 求的.1.在正方体48cogGA中，AB = 2,石为棱34的中点，那么平面AED1截正方体ABCQ - AgCQ的 截面面积为（）579A, -B. -C. 4D.-222【答案】D【解析】取用G的中点K,连接石K, D、K ,那么石K/3G， .Mu平面AER, 3GU平面AEQ, .,.BG/平面AEQ , ：BCAD,：. EK / / AD、, 平面AEQ截正方体ABCD-44GB的截面为等腰梯形AEKn ,等腰梯形的上底为0,下底长为2H高为卜、冷。半那么截面面积为弁+ 2ax等4应选D.2.如图：正三棱锥A-3CZ）中，ZBAD = 30°,侧棱长为2,过点。的平面截得。可口.那么CgR的周长的最小值为（）由余弦定理得 BD1 = BC； + DC； -2BC、- DC. cos/BC】D ,所以cosN3GD = J,所以3选项错误. 14对于C,分别将四边形与DD.BB,沿着棱耳3展开得到四边形A4QD ,|/。| + |朋4 |的最小值即为叫=汇+(2 + 2扬2 =2辰25 所以。选项正确.对于。，N到直线M与直线3C的距离相等，又NALAA，N4即为N到直线A41的距离，即N到点A直线8C的距离相等，根据抛物线的定义，所以。选项正确.应选ACD.12.如图，在直三棱柱ABC A, 5C中，AC = BC = 1 , 朋=2,。是棱A4,的中点，DC】_LBD,点E在34上，且g=4BE,那么以下结论正确的选项是()A.直线。G与所成角为90。B.三棱锥O-3CG的体积为， 3C. CE_L 平面 5G。d.直三棱柱A3。-age外接球的外表积为6不【答案】ABD【解析】对于4,在矩形ACGA中，因为A4,=2, AC = 1 ,。为棱用的中点，所以CQ = GQ = 3,那么 CD2 + £D2 = CG2，所以又因为BD(CD = D ,所以平面 3cD,那么C.D1BC,即直线G。与所成角为9()。，故A正确;对于3,在直三棱柱 ABCa4G 中，cc, Ibc ,又。g，3C, OGp|CG=G，所以平面。CCI,又。Cu平面。CG，所以。_L5C,那么 =匕 =LLx及xlx及 = L 故3正确；0-j C| -we lj 323对于C,由AB可知，AC, BC , CG两两垂直，如图，以。为原点建立空间直角坐标系,那么 B(0, 1, 0) , 0(1, 0, 1) , E(0, 1,-),那么屈=(0, 1, 1), BD = (1, -1 , 1),22所以酝.血 =1+' = ，w0, 22那么C£, BQ不垂直，所以CE不垂直平面5C；。，故C错误；对于。，连接45,那么线段A5即为直三棱柱ABC-AgG外接球的直径，那么AB=/mT7=",所以外接球的半径/?=告，所以直三棱柱ABC-AgG的外接球外表积为47rH2 = 64，故。正确；应选ABD.三、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分.13 .在AABC中，AB = AC = 2, cosA = -,将AABC绕3c旋转至ABCD的位置，使得AZ) =也，如图所 4示，那么三棱锥。-ABC外接球的体积为.D【答案】史兀63【解析】在 AA3C 中，AB = AC = 2, cosA = -,4那么502=22+2?2x2x2x- = 2, BC = V2 ,4在三棱锥OABC 中，AB = AC = DB = DC = 2, AD=BC =啦,将三棱锥Z）-MC放在长方体中，设长方体的长宽高分别是Q, b, C,三棱锥D-ABC外接球的半径为R，如图示：那么 a2 +。2 =4 , Z?2 -be2 =4 , a2 +c2 =2 ,贝I片 +/?2 + c2 = 5 ,贝=且，22故三棱锥。-外接球的体积V = 3乃心=九5"，36故答案为：正兀.14 .在三棱锥 ABCD 中，对棱 A3 = CO =石，AD = BC = W , AC = BD = A , 的某组对棱均平行时，那么三棱锥ABCD被平面a所截得的截面面积最大值为【答案】3当平面a与三棱锥ABCD（如以下图）,【解析】将四面体补成长，宽，高分别为4/ = 1, BH = 2, C = 3的长方体如图，当截面KZJW7V平行对棱NC, 4）时、由长方体的性质可证，截面为平行四边形可得KL+KN = AD = CB =岳,设异面直线与 4）所成的角为6 ,那么sine = sinNFB = sin/LKV,可求得sin6 = U,13二 S四边形mnkl = NK - KL , sin/NKL,（-厂-3，JL J乙同理可得当截面平行于对棱AC,班时截面的面积的最大值为2 ,2当截面平行于对棱AB, CD时截面的面积的最大值为1,所以三棱锥A3CD被平面。所截得的截面面积最大值为3故答案为：3.q15.圆柱和圆锥的底面重合，且母线长相等，设圆柱和圆锥的外表积分别为S-，那么立= .-52【答案】2【解析】设圆柱与圆锥的半径均为人 母线为/,故 & = 271rl + 2兀rl, S2 =兀r1 + 71rl,所以. = 2,S?故答案为：2.16 .如图，多面体ABCD所中，面A5CD为正方形，。£_1_平面ABCD, CF HDE,旦AB = DE = 2, CF = 1,G为棱3c的中点，”为棱DE上的动点，有以下结论：当”为棱DE的中点时，G"/平面ABE;存在点“，使得G/J_AC；三棱锥B-GHF的体积为定值；三棱锥A-BCF的外接球外表积为97r.其中正确的结论序号为.（填写所有正确结论的序号）【解析】如下图，取AE的中点连接MH, .”为DE的中点，.M"/ =，AO,=2. BG/ = -AD, ；,MHI IBG,，四边形为平行四边形，GH仁平面AB石，MBu平面 =2=当H为棱DE的中点时，GH/平面石.因此正确.连接3D, AC,平面ABCD为正方形，,.。石，平面A5CD ,D£_L 4C ,又03rp石=。,AC，平面班坦，点 £平面瓦）£, G史平面5DE, .G"平面G”与平面不平行，.,不存在点H,使得GH±AC,因此不正确.设点H到平面5CF的距离为d, -. DE/CF ,。£平面5。尸，CF u平面3cF ,二。£/平面3CF ,为定值.三棱锥3-GHF的体积=,又5,54为定值，因此正确.AB, BC , C尸两两垂直，棱锥A-5CF的外接球的直径为以CD, CB , CF为相邻的棱的长方体的对角线，三棱锥A-BCF的外接球的半径/? = lV22 +22 +l2=-,.三棱锥A-BCF的外接球外表积 22=4ttR2 = 9，因此正确.综上可得其中正确的结论序号为.故答案为：EEAFC四、解答题：此题共6小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图，在多面体产中，底面A3co是正方形，AF/DE, AF = AD = 2DE, 4b_1_底面(1)证明：3D/平面C£F;(2)假设AF = 4,求该多面体的体积.【答案】证明：(1)如图,连接AC,交BD于点、M ,取C厂的中点N,连接A/N, NE.因为底面ABCD是正方形，所以M是AC的中点，所以肱V/”，MN=-AF . 2又 AF / IDE, AF = 2DE,所以 MN/DE, MN = DE,故四边形阳VED是平行四边形，那么BD/NE.又仁平面CE/L NE u平面CEF ,所以3。/平面CE厂.解：(2)设该多面体的体积为V,那么丫 =匕_八研+%”科.因为Ab，底面ABCD,所以又AB_L5C, AF(AB = A,所以BC，平面ABb，同理可得C£>_L平面.ii32因为Ab = A3 = 4,所以5澳“=不'4><4 = 8,所以匕二鼻5»防BC =可因为。石=；"=2,所以必谢=；x(2 + 4)x4 = 12,所以-=9,尸CO = 16.乙乙J故该多面体的体积丫=2+ 16 =竺.3318.如图，在四棱锥尸A5CD 中，平面尸 COJ_ 平面 A3CD, AB/CD , AD = >J10 , CD = 2AB = 2 ,PA = PC = 3叵,ZPCD = ,E为棱PC的中点. 4(1)证明：3E/平面Q4O；(2)求四棱锥P-43CD的体积.【答案】(1)证明：取QD的中点/，连接£F,P在三角形尸DC中，EF/DC, EF = -DC, 2又 ABI /CD, AB/EF ,且 AB = EF,四边形AB£F为平行四边形，.AF/5E,又BEU平面PAD,.6£/平面Q4O；(2)解：过P作PHLDC,垂足为“，由于平面PC£>_L平面ABCD,且平面PCDC平面ABCD = CD,。，平面转。，在直角三角形 PWC 中，PC = 3yf2 , ZPCD = -, :.PH = CH = 3, 4在直角三角形中，PA = 3叵,AH=3,又 8 = 2, .DH = 1,又 AD二屈,：.ADr =DH2 +AH2 , AH LCD,*, P-ABCD Z PH*, P-ABCD Z PH(AB CD) AH 1 c (l + 2) 3 9二x 3 x= 232219.如图，在四棱锥8-AEDC中,平面A£DC,平面ABC,尸为3c的中点,AE/DC, AE = -DC, 2ZACD = 90° , DC = AC = AB.(1)证明：Ab_L平面BCD;(2)假设 NBAC = 90。，DC = 4,求=棱锥 £BDF 的体积.D【答案】(1)证明：由题意知AABC为等腰直角三角形,而尸为3c的中点，所以AF_L3C,又因为平面AEDC_L平面ABC,且NACD = 90。，所以平面ABC.而Abu平面ABC,所以AF_LOC,而所以平面3CD.连结尸/，那么pf/dc,pf=1dc , 2而 AE/OCAE。， 2所以AE/Pb，AE = PF , AFPE是平行四边形，因此£P/AF,故EPJ_平面5CZ).(2)解：因为EP，平面38,所以平面瓦加，EP是三棱锥石-瓦邛 的高.所以E尸=4尸=3C = "fZ = 2及, 22于是三棱锥E区户的体积为，Sa即EP = !xLSabdc 砂= 'x2夜x40 = 3.33 2r3320.如图1,在直角梯形ABCD中，AD/BC 9 AB±AD,点石为3c的中点，点、F在ADEF / / AB ,BC=EF = DF = 4,将四边形CD正沿EF边折起，如图2.(1)证明：图2中的A£/平面3CD;(2)在图2中，假设AD = 2«,求该几何体的体积.DEAB图2【答案】（1）证明：法一：取。尸中点G,连接AG, EG, CG. CE! IGF . CE = GF ,.二四边形 C瓦G 是平行四边形.:.CG/ /EFI /AB , CG = EF = AB, 四边形A5CG是平行四边形，.AG/3c.同理可知：四边形CEGD是平行四边形，.GE/DC.GEu 平面 AGE, AGp|G石=G, BC , OCu 平面 BCD, BC(DC = C , 平面AGE/平面BCD. .A£u平面AG石，:AE/平面3CZ).法二：连接M,交AE于点O,取&）的中点G,连接OG,CG. 点。是斯的中点OG/DF,OG = -DF .CE/ /DF,CE = -DF ， 22 四边形。石CG是平行四边形，.OE/CG.。石仁平面BCD, CGu平面68,.AE/平面/CD.(2)解：假设 49 = 26，因为 4F = 2, DF = 4, Ki DF2 = AD2 + AF2,故 AZ)J_AF, 从而AD, AB , AF两两垂直.连接DE ,该几何体分割为四棱锥O-ABEF和三棱锥D-BCE.那么 Vd_abef = T§矩形abef ' %。= x2x4x2y/3 = w/因为平面BCE/平面4）方，故_8支_v _1QV3 024G= VA-BCE =SM3CE9 AB = XX X4 = - '所以所以20 g3/>A. 2B. 2a/3C. 4D. 272【答案】D【解析】由题意可知，沿三棱锥A-3co的侧棱AC剪开所得侧面展开图是三个顶角为30。的等腰三角形,腰长为2,如下图，HH根据两点之间线段最短可得，截面。旦R与正三棱锥A-5CD侧面交线的周长的最小值为等腰直角三角形ACQ的斜边长，即+2? = 272.应选D.3.某同学用一个半径为100而腐2,圆心角为幽的扇形铁片卷成了一个简易的圆锥形状的容器（接缝处忽略不计），口朝上放在院子中间接雨水来测量降雨量（容器不漏），24/z所提供的雨水的高度到达容器高度的一半，然后将这些雨水倒入底面半径为100mm的圆柱形量D. 12.5mm杯中，那么量杯中水面高度为（）A. 37.5mmB. 25mmC. 5mm【答案】D【解析】设圆锥的高为，底面半径为人由题意得：2»r = ioojidx巫王，解得r = 100,弁=血00回）2一 1（X）2 =300,所以雨水的体积为V = ' X迎X 1（® ）2 = （"2）3， 3222设量杯中水面高度为，那么加0。2.”=（岑）3，解得 = 12.5,D21 .在如下图的圆锥中，PA.依是该圆锥的两条不同母线，M. N分别为94、依的中点，圆锥的局为，底面半径为r, h: r = 3:2 ,且圆锥的体积为327rm.(I )求证：直线MN平行于圆锥的底面;(II)求圆锥的全面积.【答案】(/)连接P由题可知M7V/AB,又.ABu圆锥的底面，圆锥的底面,朋可/圆锥的底面；(/)由题可知h_3_7 2 X7rr2 x h = 323那么 I PA = y/h2 + r2 = J36 + 16 = 2m ,那么圆锥的外表积为 7i r1 + 7rr- PA= 7rx42 + 7T x4x2/13 = 16 万 + 8/13(m2).22 .在如下图的几何体中，四边形ABCD是矩形，。石，平面ABCD, AF/DE , AD=DE = 2AB = 2AF = 2,。为AC与3。的交点，点”为棱CE的中点.(I )求证：OH/平面 ADEF；(II)求该几何体的体积.B【答案】(/)证明：如图，连接AE,因为四边形ABCD是矩形，AC(BD = O ,所以。是AC的中点.因为”是C石的中点，所以OH/A石.因为AEu平面ADE尸，0H仁平面ADEF,所以O"/平面ADE/L()因为四边形ABCD是矩形，所以CDLA。, 因为DEL平面AB8,所以CD_LD£,因为4。0|。石=。，所以8J平面4)£尸.由AE/D£,可知A尸_L平面ABCD.因为 Sm“c =-AB BC = -xx2 = .AF = ,2所以嚏棱锥f 3。= ! A/(X1X1 = :,在四棱锥C-4)£F匚S四边形A/圮尸=5 (4/ + DE) x AD = -x(1 + 2)x2 = 3, CD = AB = 1,所以/棱锥郎=-S四边物即CD = -x3x 1 = 1 ,_i 4所以该几何体的体积V =匕梭锥八abC + %枝锥。“附=, + 1=4令关注有礼(1今学科网中小学资源库扫码关注可免费领取180套PPT教学模版令海量教育资源一触即达令新鲜活动资讯即时上线学科网应选D.4 .三条不同的直线/,加，和两个不同的平面a, B ,以下四个命题中正确的选项是（）A.假设 m / a , n/a ,那么2/B.假设/。， mua，贝C.假设 al乃,lua,那么/_!_/?D.假设 1/la, /_!_/,那么 a_L【答案】D【解析】三条不同的直线/, m , 和两个不同的平面a , P ,对于A,假设m/la , n/a ,那么 2与相交、平行或异面，故4错误；对于假设/c, mua ,那么/与加平行或异面，故3错误；对于C,假设aJL/?, lua ,贝不一定垂直,，故C错误；对于。，假设/a, l【B ,那么由面面垂直的判定定理得二，故。正确.应选D.5 .如图是正方体的平面展开图，那么在这个正方体中：与£D平行；CN与班是异面直线；C7V与成60。角；DM与BN是异面直线.以上四个命题中，正确的命题序号是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】根据展开图，画出立体图形，3M与ED垂直，不平行，CV与3石是平行直线，CV与3M成60。，与3N是异面直线, 故正确.应选C.6 .在长方体ABC。-A4CR中，AO = S，AB = 4i0 ,例=1 ,过点5作直线/与直线AQ及直线AQ所成的角均为微，这样的直线/的条数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】ajd = ad-a9 aq=ab + ad + aa9贝ij丽宿=（加一丽）（屈+Z5+病）= ABAD + AD-ABA-AA =0 + 7-0-1 = 6,而|曾=77工1 = 2行，| 记|= J7 + 10 + 1 =3近,所以 cos < A。，所以 cos < A。，AC >=272x372 2所以直线4。和直线ag所成的角为-， 3将直线/、直线4。和直线ag平移至点P，那么当三条直线在同一平面时，直线/为角平分线;假设三条直线不在同一平面，那么这样的直线有两条.故这样的直线条数为3.应选C.7 .在三棱锥中，PB±AC, PA = PB = AB = 2, AC = 4, BC = 2 后,那么三棱锥 PABC 外接球的外表积是（）A. 52万A. 52万B.112乃2567r3【答案】B【解析I 由 A3 = 2,AC = 4,3C = 26,可得 3c2=AB2+4C2,所以又依_LAC, ABPB = B,且依，45u平面 B45,所以ACJL平面Q43, 故三棱锥C-PAB的外接球球心在过底面NPAB外接圆圆心旦垂直于底面NPAB的直线上,1 PA 7由正弦定理，可得AR钻外接圆的半径为-Lx9=, 2 sin 60° 6所以三棱锥C-B4B外接球的半径为R = 啜丫十/643所以三棱锥C-PAB外接球的外表积为S = 4乃中=4%x （心了 =史， 即三棱锥P-ABC外接球的外表积为S = 417?2 = 41x应选B.8.蹴鞠（如下图），5月20日,已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录.蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球，因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、 踢皮球的活动，类似今日的足球.某鞠（球）的外表上有四个点A、B、。、P,且球心。在PC上,AC=BC = 2, AC-LBC, tan ZPAB = tan ZPBA =,那么该鞠（球）的外表积为（）2B. 7 万rA. 5兀C. 9乃D. 14乃【答案】C【解析】如下图：在 A43C 中，因为 AC=3C = 2, ACA.BC,所以 AB? =4。2 + 3。2 =8 , gp AB = 272 ,在 APAB 中，tan ZPAB - tan ZPBA = 2，所以NE4B = NPB4,即AB4B是等腰三角形，过点。作PDLAB,那么3O = AO =夜，因为 tan /PAB =,BD 2所以 PD = ®x四= ®PB = dPD? + 必=6, 2又球心。在。上，故PC为球。的直径， 所以 ZPBC = APAC = 90°, PC = VPB2 + CB2 = 3 ,3即2R = 3,解得R = , 2所以该球的外表积是S = 4ttR2 =9兀.应选C.C二、选择题：此题共4小题，每题5分，共20分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，局部选对的得2分，有选错的得0分.9.正方体A8CO A4CQ 的棱长为2, £、尸、G分别为5C、CC, > 3旦的中点.那么（ABA.直线。Q与直线AF垂直B.直线AG与平面A£F平行gC.平面AE尸截正方体所得的截面面积为-24D.四面体43G。与四面体44cA的公共局部的体积是【答案】BCD【解析】对于A,由QO/GC,故直线OQ与直线AF所成角为NAFC,显然Z4FCw90。, 对于6,如下图，取gG的中点。，连接片。，GQ,由条件可知：GQ/EF, A.Q/AE,且EF(AE = E9又G。仁平面尸，EFu平面AEF,仁平面的尸，AEu平面尸,.GQ/平面 AEF, AQ/平面 A£F,又 6。|4。=。，所以平面AGQ/平面AEF,又因为4Gu平面AGQ, 所以AG/平面AE7"故3正确；对于C,因为£, F为BC, GC的中点，所以所/4',所以A, E, F , R四点共面，所以截面即为梯形AEF。，由题得该等腰梯形的上底Eb=血，下底A=2形,腰长为逐，所以梯形面积为2,故C正确；2四面体A3G。与四面体A8CR的公共局部是以正方体六个外表中心为顶点的正八面体，其棱长为1 L4所以其体积为2xx(&)2x1=2,。正确； 33应选BCD.10.如图，在正四棱柱ABC。-4旦£。中，AC与瓦交于点O, P是8G上的动点，以下说法中一定正 确的是()A. AC ± BD.B. gCJ.平面 ABCQC.点。在3c上运动时，三棱锥p-m。的体积为定值D.点夕在3G上运动时，PO始终与平面AgR平行【答案】ACD【解析】对于选项A,由条件得AC±BB9 BD(BB = B , BD, u平面, 所以AC_L平面3。2A.又因为5'u平面所以ACJ_8R,应选项A正确；对于选项3,由于正四棱柱A5C。-44cR的侧面不一定是正方形，所以不一定成立，所以旦C_L平面A8G2不一定成立，应选项5错误；对于选项。，易知Bq/平面钻。，所以点P到平面用。的距离为定值，所以三棱锥尸-明。的体积为定值，应选项C正:确；对于选项。，由于BG/AR, BD/ /BD , BC , BOu所以平面。田。，且AD, 5Qu 平面 ABQ,且所以平面G&)/平面入用2,点p在8G上运动时，pou平面Ga), 所以PO/平面AAR,应选项。正确. 应选ACD.11.如图，在直棱柱A3CD-A4G。中，各棱长均为2, ZABC =-,那么以下说法正确的选项是(A.三棱锥4-43C外接球的外表积为三乃 3B.异面直线A5与BG所成角的余弦值为，C.当点M在棱8月上运动时，IM0 + I% |最小值为2加+ 2百D. N是平面ABCD上一动点，假设N到直线M与的距离相等，那么N的轨迹为抛物线【答案】ACD2【解析】对于A,由题可知AABC是边长为2的等边三角形，那么外接圆半径=宝， 由代=(2 )2 +1 = |得外接球外表积为4万r2 =亭，所以a选项正确.对于5,连接。G，因为A4/OG，所以N3G。即为异面直线a片与8G所成角,由题可知 BC =CD = 2RbD = 26 ,